河北省廊坊市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年河北省廊坊市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 4分，共 48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1全集 U=0， 1， 2， 3， M=0， 1， 3， N=0， 3，则（ N=（ ） A B 2 C 1， 3 D 0， 2， 3 2已知 是第二象限角，其终边上一点 ，且 ，则 ） A B C D 3下列函数中与函数 y=x 相等的函数是（ ） A B y= C D y=如图所示， D 是 边 的中点，记 ， ，则向量 =（ ） A B C D 5已知 ，则 的值为（ ） A 4 B 4 C 8 D 8 6已知 m=n=p=这三个数的大小关系是（ ） A m n p B m p n C p m n D p n m 7下列函数中，是偶函数又在区间（ 0， +）上递增的函数为（ ） A y=2|x| B y=|C y= y=x 2 8已知 满足： ，则 （ ） A B C 3 D 2 9方程 2x=2 x 的根所在区间是（ ） A（ 1， 0） B（ 0， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 3） 第 2 页（共 18 页） 10圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（ ） A B C D 2 11若 ，且函数 ，则 f（ x）是（ ） A最小正周期为 的奇函数 B最小正周 期为 的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的偶函数 12给出下列四个命题： 函数 的一个对称中心坐标是 ； 函数 y=a（ 3 x） +1（ a 0 且 a1）的图象恒过定点（ 3， 2）； 函数 f（ x） =2x 单调减区间是 1， +）； 若函数 f（ x）的定义域（ 1， 1），则函数 f（ x+1）的定义域是（ 2， 0） ， 其中正确的命题个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分） 13幂函数 y=f（ x）的图象过点（ 2， ），则 f（ 4） = 14若 ， 都是锐角，且 ， 一 ） = ，则 15奇函数 f（ x）在（ ， 0）上单调递减，若 f（ 2） =0，则不等式 f（ x） 0的解集是 16已知函数 在 R 上单调，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6小题，共 56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知 且 0 （ 1）求 第 3 页（共 18 页） （ 2）求 的值 18已知集合 （ ）若 时，求 AB； （ ）若 AB=，求实数 a 的取值范围 19设函数 y=f（ x）是定义在上（ 0， +）的减函数，并且满足 f（ =f（ x） +f（ y）， （ 1）求 f（ 1）； （ 2）若存在实数 m，使得 f（ m） =1，求 m 的值； （ 3）若 f（ x 2） 1+f（ x），求 x 的取值范围 20已知函数 f（ x） = a 为常数）是奇函数 （ ）求 a 的值与函数 f（ x）的定义域； （ ）若当 x（ 1， +） 时， f（ x） +x 1） m 恒成立求实数 m 的取值范围 21在平面直角坐标系 ，已知四边形 等腰梯形， 点 M 满足 ，点 P 在线段 运动（包括端点），如图 （ ）求 余弦值； （ ）是都存在实数 ，使 ，若存在，求出满足条件的实数 的取值范围，若不存在，请说明理由 22已知函数 f（ x） =x+）（ 0， 0 ）的图象两相邻对称轴之间的距离是 ，若将 y=f（ x）的图象向右平移 个单位，所得函数 g（ x）为奇函数 （ 1）求函数 f（ x）的解析式及单调增区间； （ 2）设函数 ，求函数 y 的最小值 （ m） 第 4 页（共 18 页） 第 5 页（共 18 页） 2015年河北省廊坊市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 4分，共 48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1全集 U=0， 1， 2， 3， M=0， 1， 3， N=0， 3，则（ N=（ ） A B 2 C 1， 3 D 0， 2， 3 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 对应思想；定义法；集合 【分析】 根据补集的定义求出 计算（ N 【解答】 解：全集 U=0， 1， 2， 3， M=0， 1， 3， 2， 又 N=0， 3， （ N=0， 2， 3 故选： D 【点评】 本题考查了补集与并集的应用问题，是基础题目 2已知 是第二象限角，其终边上一点 ，且 ，则 ） A B C D 【考点】 任意角的三角函数的定义 【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值 【分析】 由题意结合任意角的三角函数的定义求得 x 值，进一步求出 P 到原点的距离，再由正弦函数的定义得答案 【解答】 解： 是第二象限角，且其终边上一点 ， 则 x 0， | ， ， 又 ， ， 解得： x= | ， 则 第 6 页（共 18 页） 故选： C 【点评】 本题考查任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的象限 符号，是基础的计算题 3下列函数中与函数 y=x 相等的函数是（ ） A B y= C D y=考点】 判断两个函数是否为同一函数 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 判断函数相等，先求出每个函数的定义域，然后判断与 y=x 的定义域是否相同，然后再判断解析式是否相同或可以化成相同的情况，即对应关系是否相同 y=|x| 【解答】 解：函数 y=x 的定义域为 R，对应关系为 y=x 对于 A，函数 y= 的定义域为 0， +），故与 y=x 不是相同函数，故 A 错误； 对于 B，函数解析式可化为 y=|x|，所以对应关系不同，故 B 错误； 对于 C定义域为（ 0， +），故 C 错误； 对于 D，易知函数 ，该函数的定义域为 R，所以该函数与 y=x 相同 故选 D 【点评】 本题考查了函数相等的概念，主要是从定义域、对应关系两个方面来考虑 4如 图所示， D 是 边 的中点，记 ， ，则向量 =（ ） A B C D 【考点】 向量加减混合运算及其几何意义 【专题】 平面向量及应用 【分析】 由 D 是 边 的中点，可得 在 ，利用向量的三角形法则可得 ，代入即可 【解答】 解： D 是 边 的中点， 在 ，由向量的三角形法则可得 = 故选 B 【点评】 熟练掌握向量共线定理和向量的三角形法则是解题的关键 5已知 ，则 的值为（ ） A 4 B 4 C 8 D 8 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 第 7 页（共 18 页） 【专题】 计算题；三角函数的求值 【分析】 先平方，可得 ，再切化弦 = ，可得结论 【解答】 解： ， 两边平方可得 1 2， ， = = 8， 故选： C 【点评】 本题考查同角三角函数关系，考查学生的计算能力，比较基础 6已知 m=n=p=这三个数的大小关系是（ ） A m n p B m p n C p m n D p n m 【考点】 对数值大小的比较；指数函数的单调性与特殊点 【专题】 计算题 【分析】 可从三个数的范围上比较大小 【解答】 解：设函数 f（ x） =g（ x） =h（ x） = f（ x）单调递减， g（ x）单调递增， h（ x）单调 递减 0 f（ =，即 0 m 1 g（ =，即 n 1 h（ =，即 p 0 p m n 故选 C 【点评】 本题考查对数值比较大小，可先从范围上比较大小，当从范围上不能比较大小时，可借助函数的单调性数形结合比较大小属简单题 7下列函数中，是偶函数又在区间（ 0， +）上递增的函数为（ ） A y=2|x| B y=|C y= y=x 2 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数 奇偶性的判断 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据指数函数的单调性，减函数的定义，偶函数定义域的特点，以及奇函数和偶函数的定义便可判断出每个选项的正误，从而找出正确选项 【解答】 解： A y=2|x|为偶函数，且 x 0 时， y=2|x|=2 即该函数在（ 0， +）上递增， 该选项正确； B y=|定义域为 x|x 0，不关于原点对称，不是偶函数， 该选项错误； C y= 该选项错误； D若 x（ 0， +）， x 增大时， x 2 减小，即 y 减小； y=x 2 在（ 0， +）上单调递减， 该选项错误 故选： A 第 8 页（共 18 页） 【点评】 考查指数函数的单调性，单调性的定义，偶函数定义域的特点，以及奇函数和偶函数的定义 8已知 满足： ，则 （ ） A B C 3 D 2 【考点】 平面向量数 量积的运算 【专题】 计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用 【分析】 利用（ a+b） 2=2（ a2+（ a b） 2，从而代入化简即可 【解答】 解： ， 2=2（ 2+ 2） 2 =2（ 4+1） 6=4， =2， 故选： D 【点评】 本题考查了完全平方公式的应用及平面向量数量积的应用 9方程 2x=2 x 的根所在区间是（ ） A（ 1， 0） B（ 0， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 3） 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 利用函数零点的判定定理即可判断出 【解答】 解：令 f（ x） =2x+x 2，则 f（ 0） =1 2= 1 0， f（ 1） =2+1 2=1 0， f（ 0）f（ 1） 0， 函数 f（ x）在区间（ 0， 1）上必有零点， 又 2x 0， 0， f（ x） =2 0， 函数 f（ x）在 R 上单调递增，至多有一个零点 综上 可知：函数 f（ x） =2x+x 2 在 R 有且只有一个零点 0， 1） 即方程 2x=2 x 的根所在区间是（ 0， 1） 故选： B 【点评】 熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键属于基础题 10圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（ ） A B C D 2 【考点】 弧度制的应用 【专题】 数形结合 【分析】 等边三角形 半径为 r 的圆 O 的内接三角形，则线 对的圆心角 ，求出 长度（用 r 表示），就是弧长，再由弧长公式求圆心角弧度数 【解答】 解：如图，等边三角形 半径为 r 的圆 O 的内接三角形， 则线 对的圆心角 ， 第 9 页（共 18 页） 作 足为 M，在 ， AO=r， ， r， r， l= r，由弧长公式 l=|r， 得， = = = 故选 C 【点评】 本题考查圆心角的弧度数的意义，以及弧长公式的应用，体现了数形结合的数学思想 11若 ，且函数 ，则 f（ x）是（ ） A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小 正周期为 的偶函数 【考点】 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；函数 y=x+）的图象变换 【专题】 转化思想；分析法；三角函数的图像与性质 【分析】 运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式，化简 f（ x） = 由周期公式和奇偶性的定义，即可得到所求结论 【解答】 解：由 ， 函数 =221） = 可得最小正周期 T= = ， 由 f（ x） = 4x） = 即有 f（ x）为奇函数 第 10 页（共 18 页） 故选： A 【点评】 本题考查向量的数量积的坐标表示和三角函数的化简，同时考查函数的奇偶性和周期性，属于中档题 12给出下列四个命题： 函数 的一个对称中心坐标是 ； 函数 y=a（ 3 x） +1（ a 0 且 a1）的图象恒过定点（ 3， 2）； 函数 f（ x） =2x 单调减区间是 1， +）； 若函数 f（ x）的定义域（ 1， 1），则函数 f（ x+1）的定义域是（ 2， 0）， 其中正确的命题个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 命题的真假判断与应用 【专题】 综合题；函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数对称性的性质进行判断即可 根据指数函数过定点的性质进行判断 根据复合函数单调性和定义域之间的关系进行判断 根据复合函数定义域之间的关系进行判断 【解答】 解： 函数 =2x+ ） +1， 当 x= ，则 f（ ） =1，即函数的一个对称中心坐标为（ ， 1），故 错误； 当 x=3 时， y=1+1=2，即函数 y=a（ 3 x） +1（ a 0 且 a1）的图象恒过定点（ 3， 2）；故正确， 由 2x 0 得 0 x 2，即函数的定义域为（ 0， 2），则函数 f（ x） =2x 单调减区间是 1， +）错误；故 错误， 若函数 f（ x）的定义域（ 1， 1），则由 1 x+1 1 得 2 x 0， 则函数 f（ x+1）的定义域是（ 2， 0），正确，故 正确， 故正确的是 ， 故选： B 【点评】 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的性质，指数函数，复合函数单调性，综合性较强，难度不大 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分） 13幂函数 y=f（ x）的图象过点（ 2， ），则 f（ 4） = 【考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【专题】 函 数的性质及应用 【分析】 利用幂函数的定义即可求出 【解答】 解：设幂函数 f（ x） = 幂函数 y=f（ x）的图象过点（ 2， ）， =2a， 第 11 页（共 18 页） 解得 a= ， f（ x） = ， f（ 4） = = ， 故答案为： 【点评】 熟练掌握幂函数的定义是解题的关键 14若 ， 都是锐角，且 ， 一 ） = ，则 【考点】 两角和与差的余弦函数 【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值 【分析】 由已知角的范围结合已知求出 ）的值，然后利用两角和与差的余弦得答案 【解答】 解： 0 ， ， ， 又 ， 一 ） = ， ， 一 ） = （ ） = ） + ） = = 故答案为： 【点评】 本题考查两角和与差的余弦，关键是 “拆角配角 ”方法的运用，是中档题 15奇函数 f（ x）在（ ， 0）上单调递减，若 f（ 2） =0，则不等式 f（ x） 0 的解集是 （ 2， 0） （ 2， +） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 计算题；数形结合；转化法；函数的性质及应用 【分析】 根据条件判断函数的单调性，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，作出函数 f（ x）的图象，利用数形结合将不等式进行转化即可解不等式即可 【解答】 解： 奇函数 f（ x）在（ ， 0）上单调递减，若 f（ 2） =0 函数 f（ x）在（ 0， +）上单调递减，若 f（ 2） = f（ 2） =0， 作出函数 f（ x）的图象如图： 则不等式 f（ x） 0 的解集是（ 2， 0） （ 2， +）， 故答案为：（ 2， 0） （ 2， +） 第 12 页（共 18 页） 【点评】 本题主要考查不等式的解集，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键 16已知函数 在 R 上单调，则实数 a 的取值范围是 1， 2 【考点】 分段函数的应用 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 由于函数 f（ 上单调，可得函数在 有 ，即可求出实数 a 的取值范围 【解答】 解：由于函 数 f（ x 在定义域 R 上单调，可得函数在 R 上单调递减， 故有 ，解得 1a2，即 1， 2 故答案为： 1， 2 【点评】 本题考查分段函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键 三、解答题（本大题共 6小题，共 56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17已知 且 0 （ 1）求 （ 2）求 的值 【考点】 三角函数的化简求值 【专题】 计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 （ 1）由已知先利用同角三角函数关系式求出 求出 （ 2）利用诱导公式求解 【解答】 解：（ 1） 且 0， = ， 第 13 页（共 18 页） = =2 （ 2） ， = = = 5 【点评】 本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意诱导公式和同角三角函数关系式的合理运用 18已知集合 （ ）若 时，求 AB； （ ）若 AB=，求实数 a 的取值范围 【考点】 交集及其运算；集合的包含关系判断及应用 【专题】 计算题；转化思想；集合 【分析】 （ ）把 a 的值代入确定出 A，求出 A 与 B 的交集即可； （ ）分 A=与 A两种情况，求出 a 的范围即可 【解答】 解：（ ）当 a= 时， A=x| x 2， B=x| x 1 则 AB=x| x 1； （ ）当 a 2 时， a 12a+1，即 A=，此时 AB=，符合题意； 当 a 2 时，由 AB=，得到 a 11 或 2a+1 ， 解得： a2 或 2 a ， 综上所述，实数 a 的取值范围是（ ， 2， +） 【点评】 此题考查了交集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 19设函数 y=f（ x）是定义在上（ 0， +）的减函数，并且满足 f（ =f（ x） +f（ y）， （ 1）求 f（ 1）； （ 2）若存在实数 m，使得 f（ m） =1，求 m 的值； （ 3）若 f（ x 2） 1+f（ x），求 x 的取值范围 【考点】 抽象函数及其应用 【专题】 综合题；函数思想；转化法； 函数的性质及应用 【分析】 （ 1）利用赋值法令 x=y=1，代入求解即可 第 14 页（共 18 页） （ 2）根据抽象函数的关系进行求解即可 （ 3）根据函数单调性以及抽象函数的关系解不等式即可 【解答】 解：（ 1）令 x=y=1，则 f（ 1） =f（ 1） +f（ 1）， f（ 1） =0 （ 2） f（ ） = ， f（ ） =f（ ） =f（ ） +f（ ） = + =1， m= ； （ 3） f（ x 2） 1+f（ x）， f（ x 2） f（ ） +f（ x） =f（ x）， 函数 y=f（ x）是定义在（ 0， +）上的减函数， 即 ，得 2 x ， x 的取值范围 2 x 【点评】 本题主要考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，考查基本的运算能力 20已知函数 f（ x） = a 为常数）是奇函数 （ ）求 a 的值与函数 f（ x）的定义域； （ ）若当 x（ 1， +） 时， f（ x） +x 1） m 恒成立求实数 m 的取值范围 【考点】 函数恒成立问题；函数的定义域及其求法 【专题】 函数的性质及应用；不等式的解法及应用 【分析】 （ ）直接由奇函数的定义列式求解 a 的值，然后由对数式的真数大于 0 求解 x 的取值集合得答案； （ ）化简 f（ x） +x 1）为 1+x），由 x 的范围求其值域得答案 【解答】 解 ：（ ） 知函数 f（ x） =奇函数， f（ x） = f（ x）， ， 即 ， a=1 令 ，解得： x 1 或 x 1 函数的定义域为： x|x 1 或 x 1； 第 15 页（共 18 页） （ ） f（ x） +x 1） =1+x）， 当 x 1 时， x+1 2， 1+x） ， x（ 1， +）， f（ x） +x 1） m 恒成立， m1， m 的取值范围是（ ， 1 【点评】 本题考查了函数奇偶性的性质，考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，是中档题 21在平面直角坐标系 ，已知四边形 等腰梯形， 点 M 满足 ，点 P 在线段 运动（包括端点），如图 （ ）求 余弦值； （ ）是都存在实数 ，使 ，若存在，求出满足条件的实数 的取值范围，若不存在，请说明理由 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；分类讨论；转化思想；向量法；平面向量及应用 【分析】 （ ）由已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用数量积求夹角公式得答案； （ ）设出 P 的坐标 ，由 ，可得其数量积为 0，转 化为关于 t 的函数式求解 【解答】 解：（ ）由题意可得 ， ， ， 故 = ； （ ）设 ，其中 1t5， ， ， ， 若 ，则 ，即 12 2t+3=0， 可得（ 2t 3） =12 若 t= ，则 不存在； 第 16 页（共 18 页） 若 t ，则 ， t1， ） （ ，