中考数学一轮复习 第五章 圆 5.1 圆的性质及圆的有关位置关系（试卷部分）课件.ppt

第五章圆 5 1圆的性质及圆的有关位置关系 中考数学 江苏专用 考点1圆的有关概念与性质 a组2014 2018年江苏中考题组 五年中考 1 2018无锡 8 3分 如图 矩形abcd中 g是bc的中点 过a d g三点的圆o与边ab cd分别交于点e 点f 给出下列说法 1 ac与bd的交点是圆o的圆心 2 af与de的交点是圆o的圆心 3 bc与圆o相切 其中正确说法的个数是 a 0b 1c 2d 3 答案c如图 连接dg ag 作gh ad于h 如图 g是bc的中点 易证 dcg abg ag dg gh垂直平分ad 点o在gh上 ad bc gh bc bc与圆o相切 og od oh 点o不是gh的中点 圆心o不是ac与bd的交点 由 dae 90 知de为直径 af与de的交点是圆o的圆心 1 错误 2 3 正确 故选c 思路分析连接dg ag 作gh ad于h 先确定ag dg 则gh垂直平分ad 则可判断点o在gh上 再根据gh bc可判定bc与圆o相切 接着利用og od可判断圆心o不是ac与bd的交点 由 dae 90 知de为直径可判断af与de的交点是圆o的圆心 2 2017南京 6 2分 过三点a 2 2 b 6 2 c 4 5 的圆的圆心坐标为 a b 4 3 c d 5 3 答案a如图 过c作ce ab于e 设所求圆的圆心为d 半径为r 连接ad a 2 2 b 6 2 圆心d在直线x 4上 d的横坐标为4 c 4 5 ce 3 cd r de 3 r 在rt dae中 ae2 de2 ad2 即22 3 r 2 r2 r d的纵坐标为5 d 故选a 思路分析本题求过三点的圆的圆心坐标 先根据圆的对称性确定圆心的横坐标 再根据勾股定理求出半径 进而求出圆心的坐标 3 2016无锡 6 3分 如图 ab是 o的直径 ac切 o于点a bc交 o于点d 若 c 70 则 aod的度数为 a 70 b 35 c 20 d 40 答案d因为ab是 o的直径 ac是 o的切线 所以ac ab 又因为 c 70 所以 b 20 所以 aod 40 故选d 4 2014镇江 16 3分 如图 abc内接于半径为5的 o 圆心o到弦bc的距离等于3 则 a的正切值等于 a b c d 答案d连接co并延长交 o于点d 则cd为 o的直径 连接bd 则bo bc 作oe bc交bc于点e 则oe bd 依题意可得bd 2oe 6 又cd 2 5 10 所以bc 8 所以tand 又因为 a d 所以tana 故选d 评析本题综合考查圆周角定理 垂径定理 解直角三角形等有关知识 属中等难度题 5 2018连云港 14 3分 如图 ab是 o的弦 点c在过点b的切线上 且oc oa oc交ab于点p 已知 oab 22 则 ocb 答案44 解析连接ob 6 2017扬州 15 3分 如图 已知 o是 abc的外接圆 连接ao 若 b 40 则 oac 答案50 解析连接oc b 40 aoc 80 oa oc oac oca 50 7 2016常州 16 3分 如图 在 o的内接四边形abcd中 a 70 obc 60 则 odc 答案50 解析由条件 得 bod 2 a 140 bcd 180 a 110 因为 obc 60 所以 odc 360 110 60 140 50 8 2016扬州 16 3分 如图 o是 abc的外接圆 直径ad 4 abc dac 则ac长为 答案2 解析连接dc abc adc abc dac adc dac ac dc ad为 o直径 acd 90 acd为等腰直角三角形 ad 4 ac 4 sin45 2 9 2016南京 13 2分 如图 扇形aob的圆心角为122 c是上一点 则 acb 答案119 解析如图 在扇形aob所在圆优弧ab上取一点d 连接da db aob 122 d 61 acb d 180 acb 119 10 2015南京 15 2分 如图 在 o的内接五边形abcde中 cad 35 则 b e 答案215 解析连接ao co do 则 cod 2 cad 70 又因为 b aod cod e aoc cod 所以 b e aod cod aoc cod 360 70 215 评析本题考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系 11 2017苏州 27 10分 如图 已知 abc内接于 o ab是直径 点d在 o上 od bc 过点d作de ab 垂足为e 连接cd交oe于点f 1 求证 doe abc 2 求证 odf bde 3 连接oc 设 doe的面积为s1 四边形bcod的面积为s2 若 求sina的值 解析 1 证明 ab是 o的直径 acb 90 de ab deo 90 deo acb od bc doe abc doe abc 2 证明 doe abc ode a a和 bdc是所对的圆周角 a bdc ode bdc odf bde 3 doe abc 即s abc 4s doe 4s1 oa ob s boc s abc 即s boc 2s1 s2 s boc s doe s dbe 2s1 s1 s dbe s dbe s1 be oe 即oe ob od sina sin ode 解题关键本题主要考查相似三角形的性质和判定 圆周角定理 平行线的性质 能综合运用知识进行推理是解此题的关键 12 2016苏州 26 10分 如图 ab是 o的直径 d e为 o上位于ab异侧的两点 连接bd并延长至点c 使得cd bd 连接ac交 o于点f 连接ae de df 1 证明 e c 2 若 e 55 求 bdf的度数 3 设de交ab于点g 若df 4 cosb e是的中点 求eg ed的值 解析 1 证明 连接ad ab是 o的直径 adb 90 即ad bc cd bd ad垂直平分bc ab ac b c 又 b e e c 2 四边形aedf是 o的内接四边形 e 180 afd 又 cfd 180 afd cfd e 55 又 e c 55 bdf c cfd 110 3 连接oe cfd e c fd cd bd 4 在rt abd中 cosb bd 4 ab 6 e是的中点 ab是 o的直径 aoe 90 ao oe 3 ae 3 e是的中点 ade bae 又 aeg dea aeg dea 即eg ed ae2 18 思路分析 1 连接ad 则 adb 90 结合已知可得ad垂直平分bc 从而可得 b c 进而得 e c 2 由圆内接四边形的对角互补 结合 1 可知 c cfd 55 从而可得 bdf的度数 3 结合 1 2 及已知条件可得 aeg dea 从而得eg ed的值 考点2与圆有关的位置关系 1 2016连云港 8 3分 如图 在网格中 每个小正方形的边长均为1个单位 选取9个格点 格线的交点称为格点 如果以a为圆心 r为半径画圆 选取的格点中恰好有3个在圆内 则r的取值范围为 a 2 r b r 3c r 5d 5 r 答案b如图 连接p1a p2a p8a 根据勾股定理得p1a 5 p2a 3 p3a p4a 5 p5a p6a p7a 5 p8a 2 p8a p3a p6a p2a p1a p4a p7a p5a 除点a外恰好有三个格点在圆内 这三个格点为p3 p6 p8 r 3 解题关键本题主要考查点与圆的位置关系及无理数的大小比较 根据8个格点到a点的距离判断出除a点外的三个在圆内的格点是解本题的关键 属于中档题 2 2015南京 6 2分 如图 在矩形abcd中 ab 4 ad 5 ad ab bc分别与 o相切于e f g三点 过点d作 o的切线交bc于点m 切点为n 则dm的长为 a b c d 2 答案a在矩形abcd中 o分别与边ad ab bc相切 又dm为 o的切线 所以由切线长定理得ae af bf bg de dn mn mg 且易知bg 2 dn 3 设mn mg x 在rt dcm中 dm2 mc2 dc2 即 3 x 2 3 x 2 42 解得x 则dm 3 故选a 3 2018泰州 16 3分 如图 abc中 acb 90 sina ac 12 将 abc绕点c顺时针旋转90 得到 a b c p为线段a b 上的动点 以点p为圆心 pa 长为半径作 p 当 p与 abc的边相切时 p的半径为 答案或 解析如图1 当 p与直线ac相切于点q时 连接pq 图1设pq pa r pq ca r 如图2 当 p与ab相切于点t时 易证a b t共线 图2易证 a bt abc a t r a t 综上所述 p的半径为或 思路分析分两种情形分别求解 当 p与直线ac相切于点q时 当 p与ab相切于点t时 解题关键本题考查切线的性质 勾股定理 锐角三角函数 相似三角形的判定和性质 平行线分线段成比例定理等知识 解题的关键是学会添加辅助线 构造直角三角形解决问题 4 2018南京 16 2分 如图 在矩形abcd中 ab 5 bc 4 以cd为直径作 o 将矩形abcd绕点c旋转 使所得矩形a b cd 的边a b 与 o相切 切点为e 边cd 与 o相交于点f 则cf的长为 答案4 解析连接oe 延长eo交cd 于点g 作oh b c于点h 则 oeb ohb 90 矩形abcd绕点c旋转得矩形a b cd b b cd 90 ab cd 5 bc b c 4 四边形oeb h和四边形eb cg都是矩形 oe oc 2 5 b h oe 2 5 ch b c b h 1 5 cg b e oh 2 四边形eb cg是矩形 ogc 90 即og cd cf 2cg 4 故答案为4 解后反思本题主要考查圆的切线的性质 解题的关键是掌握矩形的判定与性质 旋转的性质 切线的性质 垂径定理等知识点 5 2017连云港 14 3分 如图 线段ab与 o相切于点b 线段ao与 o相交于点c ab 12 ac 8 则 o的半径长为 答案5 解析连接ob ab切 o于b ob ab abo 90 设 o的半径长为r 由勾股定理得r2 122 8 r 2 解得r 5 思路分析连接ob 根据切线的性质得 abo 90 在rt abo中 由勾股定理即可求出 o的半径长 解题关键本题考查了切线的性质和勾股定理的应用 解题关键是得到直角三角形abo 6 2015镇江 10 2分 如图 ab是 o的直径 oa 1 ac是 o的弦 过点c的切线交ab的延长线于点d 若bd 1 则 acd 答案112 5 解析连接oc 因为dc是 o的切线 所以oc cd 因为oc ob oa 1 od ob bd 所以dc 1 所以oc cd 所以 cod 45 所以 aco cod 22 5 所以 acd 22 5 90 112 5 7 2014苏州 18 3分 如图 直线l与半径为4的 o相切于点a p是 o上的一个动点 不与点a重合 过点p作pb l 垂足为b 连接pa 设pa x pb y 则 x y 的最大值是 答案2 解析解法一 连接ao并延长交 o于点c 连接pc 因为 o与l相切于点a 所以 pab pac 90 因为ac为 o的直径 所以 apc 90 所以 pac c 90 所以 pab c 又因为 apc abp 90 所以 pab acp 所以 即 即y 所以x y x x 4 2 2 所以当x 4时 x y取最大值2 解法二 连接ao并延长交 o于点c 连接pc 设 pab 因为 o与l相切于点a 所以 pab pac 90 因为ac为 o的直径 所以 apc 90 所以 pac c 90 所以 pab c 在rt apb中 sin pab 所以y x sin 在rt apc中 sinc 所以x 8 sin 所以y x sin 8sin2 所以x y 8sin 8sin2 8 2 所以当sin 时 x y取最大值2 8 2017南京 24 8分 如图 pa pb是 o的切线 a b为切点 连接ao并延长 交pb的延长线于点c 连接po 交 o于点d 1 求证 po平分 apc 2 连接db 若 c 30 求证 db ac 证明 1 如图 连接ob pa pb是 o的切线 oa ap ob bp 又oa ob po平分 apc 4分 2 oa ap ob bp cap obp 90 c 30 apc 90 c 90 30 60 po平分 apc opc apc 60 30 pob 90 opc 90 30 60 又od ob odb是等边三角形 obd 60 dbp obp obd 90 60 30 dbp c db ac 8分 9 2017盐城 25 10分 如图 在平面直角坐标系中 rt abc的斜边ab在y轴上 边ac与x轴交于点d ae平分 bac交边bc于点e 经过点a d e的圆的圆心f恰好在y轴上 f与y轴相交于另一点g 1 求证 bc是 f的切线 2 若点a d的坐标分别为 0 1 2 0 求 f的半径 3 试探究线段ag ad cd三者之间满足的等量关系 并证明你的结论 解析 1 证明 连接ef ae平分 bac fae cae fa fe fae fea fea eac fe ac feb c 90 又 ef为半径 bc是 f的切线 2 连接fd 设 f的半径为r 在rt fod中 fd2 fo2 od2 即r2 r 1 2 22 解得r 即 f的半径为 3 ag ad 2cd 证明 作fr ad于r 则 frc 90 又 fec c 90 四边形rcef是矩形 ef rc rd cd fr ad af fd ar rd ef rd cd ad cd ag 2fe ad 2cd 10 2016南京 26 8分 如图 o是 abc内一点 o与bc相交于f g两点 且与ab ac分别相切于点d e de bc 连接df eg 1 求证 ab ac 2 已知ab 10 bc 12 求四边形dfge是矩形时 o的半径 解析 1 证明 o与ab ac分别相切于点d e ad ae ade aed de bc b ade c aed b c ab ac 4分 2 如图 连接ao 交de于点m 延长ao交bc于点n 连接oe dg 设 o的半径为r 四边形dfge是矩形 dfg 90 dg是 o的直径 o与ab ac分别相切于点d e od ab oe ac 又 od oe an平分 bac 由 1 知ab ac an bc bn bc 6 在rt abn中 an 8 od ab an bc ado anb 90 又 oad ban aod abn 即 ad r bd ab ad 10 r od ab gdb anb 90 又 b b gbd abn 即 r 四边形dfge是矩形时 o的半径为 8分 方法总结解决含有切线的解答题时 首先要想到的是作辅助线 由此获得更多的条件 一般作辅助线的方法为 见切点 连圆心 从而构造直角三角形 然后利用勾股定理 相似三角形的性质等进行证明或计算 11 2015连云港 24 10分 已知如图 在平面直角坐标系xoy中 直线y x 2与x轴 y轴分别交于a b两点 p是直线ab上一动点 p的半径为1 1 判断原点o与 p的位置关系 并说明理由 2 当 p过点b时 求 p被y轴所截得的劣弧的长 3 当 p与x轴相切时 求出切点的坐标 解析 1 由直线ab的函数关系式y x 2 得其与两坐标轴的交点a 2 0 b 0 2 图1在直角 oab中 tan oba oba 30 如图1 过点o作oh ab交ab于点h 在 oba中 oh ob sin oba 因为 1 所以原点o在 p外 3分 2 如图2 当 p过点b 点p在y轴右侧时 p被y轴所截得的劣弧所对圆心角为120 所以该劣弧长为 图2 b组2014 2018年全国中考题组 考点1圆的有关概念与性质 1 2018湖北武汉 10 3分 如图 在 o中 点c在优弧上 将弧折叠后刚好经过ab的中点d 若 o的半径为 ab 4 则bc的长是 a 2b 3c d 答案b连接ao 并延长交 o于点d 则 abd 90 连接bd cd dd dd 交bc于点e 连接od ob oc d为ab的中点 od ab ab 4 bd ab 2 ob od 1 bd 2od 2 即bd bd 显然点d与点d 关于直线bc对称 abd 90 abc cbd 45 根据圆周角定理得 aoc 90 d oc 90 cd oc cbd 45 bd 2 be ed 根据勾股定理得ce 2 所以bc be ce 3 故选b 方法指导在求解涉及圆的性质的问题时 通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段或角或垂直关系 求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形 利用勾股定理等知识进行求解 2 2017甘肃兰州 4 4分 如图 在 o中 点d在 o上 cdb 25 则 aob a 45 b 50 c 55 d 60 答案b连接oc cdb 25 cob 50 又 aob cob 50 故选b 3 2017福建 8 4分 如图 ab是 o的直径 c d是 o上位于ab异侧的两点 下列四个角中 一定与 acd互余的角是 a adcb abdc bacd bad 答案d ab是 o的直径 adb 90 bad b 90 易知 acd b bad acd 90 故选d 4 2015山东临沂 8 3分 如图 a b c是 o上的三个点 若 aoc 100 则 abc等于 a 50 b 80 c 100 d 130 答案d如图 在优弧ac上任取一点d 连接ad cd aoc 100 adc aoc 50 adc abc 180 abc 180 50 130 故选d 5 2015广西南宁 11 3分 如图 ab是 o的直径 ab 8 点m在 o上 mab 20 n是的中点 p是直径ab上一动点 若mn 1 则 pmn周长的最小值为 a 4b 5c 6d 7 答案b pmn的周长为pm pn mn的和 其中mn 1 所以只要pm pn的和最小即可 如图 取n关于ab的对称点c 连接mc交ab于p 此时pm pn的和最小 pm pn的和就是mc的长度 连接om on oc mab 20 mob 40 n为的中点 nob 20 直径ab cn cob 20 moc 60 om oc moc为等边三角形 ab 8 mc om 4 pmn的周长的最小值为1 4 5 故选b 6 2018湖北黄冈 11 3分 如图 abc内接于 o ab为 o的直径 cab 60 弦ad平分 cab 若ad 6 则ac 答案2 解析连接bd 因为ab为 o的直径 所以 adb 90 因为 cab 60 弦ad平分 cab 所以 bad 30 因为 cos30 所以ab 4 在rt abc中 ac ab cos60 4 2 7 2016重庆 15 4分 如图 oa ob是 o的半径 点c在 o上 连接ac bc 若 aob 120 则 acb 度 答案60 解析根据圆周角定理 知 acb aob 120 60 8 2015甘肃兰州 20 4分 已知 abc的边bc 4cm o是其外接圆 且半径也为4cm 则 a的度数是 答案30 解析 ob oc bc 4cm obc为等边三角形 boc 60 故 a 30 9 2015陕西 14 3分 如图 ab是 o的弦 ab 6 点c是 o上的一个动点 且 acb 45 若点m n分别是ab bc的中点 则mn长的最大值是 答案3 解析依题意得 知mn ac 且当ac为 o的直径时 mn的长度最大 连接ob acb 45 aob 90 设 o的半径为r 则r 6 解得r 3 故mn的最大值为3 解题关键解本题的关键是确定mn取最大值时ac的位置 难度不大 10 2014湖北黄冈 14 3分 如图 在 o中 弦cd垂直于直径ab于点e 若 bad 30 且be 2 则cd 答案4 解析连接od 则oa od 所以 oda oad 30 因为 bod是 oad的外角 所以 bod oda oad 60 所以 ode 30 在rt ode中 设oe x 则od 2oe 2x 因为ob od 所以2x x 2 所以x 2 所以oe 2 od 4 根据勾股定理得 de 2 因为ab是直径 ab cd 所以cd 2de 4 11 2018福建 24 12分 已知四边形abcd是 o的内接四边形 ac是 o的直径 de ab 垂足为e 1 延长de交 o于点f 延长dc fb交于点p 如图1 求证 pc pb 2 过点b作bg ad 垂足为g bg交de于点h 且点o和点a都在de的左侧 如图2 若ab dh 1 ohd 80 求 bde的大小 图1图2 解析 1 证明 ac是 o的直径 abc 90 又 de ab dea 90 dea abc bc df f pbc 四边形bcdf是圆内接四边形 f dcb 180 又 pcb dcb 180 f pcb pbc pcb pc pb 2 连接od ac是 o的直径 adc 90 又 bg ad agb 90 adc agb bg dc 又由 1 知bc de 四边形dhbc为平行四边形 bc dh 1 在rt abc中 ab tan acb acb 60 cab 30 从而bc ac od dh od 在等腰三角形doh中 doh ohd 80 odh 20 设de交ac于n bc de onh acb 60 noh 180 onh ohd 40 doc doh noh 40 cbd oad 20 bc de bde cbd 20 一题多解 1 证明 易证df bc 从而cd bf 且 1 pb pc 2 连接od 设 bde x 则 ebd 90 x 易证四边形bcdh为平行四边形 bc dh 1 ab cab 30 ac 2 adb acb 60 od oa 1 dh odh 180 2 ohd 180 2 80 20 oad oda adb odh x 60 20 x 40 x 又 aod 2 abd 180 2 40 x 2 90 x 解得x 20 即 bde 20 解后反思本题考查圆的有关性质 等腰三角形的判定与性质 平行线的判定与性质 平行四边形的判定与性质 解直角三角形等基础知识 考查运算能力 推理能力 空间观念与几何直观 考查化归与转化思想 12 2015山东威海 22 9分 如图 在 abc中 ab ac 以ac为直径的 o交ab于点d 交bc于点e 1 求证 be ce 2 若bd 2 be 3 求ac的长 四边形aced为 o的内接四边形 bed bac 又 b b bed bac 7分 be ce 3 bc 6 又 bd 2 ab 9 8分 ac 9 9分 评析本题是一道几何综合题 除考查圆的相关知识外 还考查了转化思想及构造法 13 2014黑龙江哈尔滨 25 8分 如图 o是 abc的外接圆 弦bd交ac于点e 连接cd 且ae de bc ce 1 求 acb的度数 2 过点o作of ac于点f 延长fo交be于点g de 3 eg 2 求ab的长 解析 1 在 o中 a d 1分 aeb dec ae de aeb dec 2分 eb ec 3分 又 bc ce be ce bc ebc为等边三角形 acb 60 4分 2 of ac af cf 5分 ebc为等边三角形 gef 60 egf 30 eg 2 ef 1 6分 又 ae ed 3 cf af 4 ac 8 ce 5 bc 5 7分 作bm ac于点m bcm 60 mbc 30 cm bm am ac cm ab 7 8分 考点2与圆有关的位置关系 1 2018福建 9 4分 如图 ab是 o的直径 bc与 o相切于点b ac交 o于点d 若 acb 50 则 bod等于 a 40 b 50 c 60 d 80 答案d由bc与 o相切于点b 可得 abc 90 由三角形内角和为180 及 acb 50 可得 bac 40 由oa od得 oda bac 40 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 bod oda oad 80 2 2014湖北武汉 10 3分 如图 pa pb切 o于a b两点 cd切 o于点e 交pa pb于c d 若 o的半径为r pcd的周长等于3r 则tan apb的值是 a b c d 答案b连接oa ob op 延长bo交pa于点f pa pb切 o于a b两点 cd切 o于点e oap obp 90 ca ce db de pa pb pcd的周长 pc ce de pd pc ac pd db pa pb 3r pa pb r 在rt oaf和rt bfp中 rt afo rt bfp af fb 在rt fbp中 pf2 pb2 fb2 pa af 2 pb2 fb2 bf2 解得bf r tan apb 故选b 评析本题主要考查切线的性质 相似三角形的判定及三角函数的定义 属难题 3 2014天津 7 3分 如图 ab是 o的弦 ac是 o的切线 a为切点 bc经过圆心 若 b 25 则 c的大小等于 a 20 b 25 c 40 d 50 答案c连接oa o中 oa ob 所以 b bao 25 因为 aoc是 oab的外角 所以 aoc b bao 50 又因为ac是 o的切线 所以oa ac 在rt oac中 c 90 aoc 40 故选c 4 2014黑龙江哈尔滨 7 3分 如图 ab是 o的直径 ac是 o的切线 连接oc交 o于点d 连接bd c 40 则 abd的度数是 a 30 b 25 c 20 d 15 答案b ab是 o的直径 ac是 o的切线 ba ac c 40 aoc 50 abd aod 25 故选b 5 2015辽宁沈阳 11 4分 如图 在 abc中 ab ac b 30 以点a为圆心 以3cm为半径作 a 当ab cm时 bc与 a相切 答案6 解析作ad bc于点d 当bc与 a相切时 ad 3cm 在rt abd中 ad 3cm b 30 ab 6cm 当ab 6cm时 bc与 a相切 6 2015浙江宁波 17 4分 如图 在矩形abcd中 ab 8 ad 12 过a d两点的 o与bc边相切于点e 则 o的半径为 答案 解析连接eo 并延长交ad于点h 连接ao 四边形abcd是矩形 o与bc边相切于点e eh bc ad bc eh ad 根据垂径定理 得ah dh ab 8 ad 12 ah 6 he 8 设 o的半径为r 则ao r oh 8 r 在rt oah中 由勾股定理得 8 r 2 62 r2 解得r o的半径为 7 2014浙江绍兴 12 5分 把球放在长方体纸盒内 球的一部分露出盒外 其主视图如图 o与矩形abcd的边bc ad分别相切和相交 e f是交点 已知ef cd 8 则 o的半径为 答案5 解析连接oe 作oh ef于点h 设oe r 则oh 8 r ef 8 eh ef 8 4 由勾股定理得r2 42 8 r 2 解这个方程得r 5 即 o的半径为5 8 2014广西南宁 18 3分 如图 abc是等腰直角三角形 ac bc a 以斜边ab上的点o为圆心的圆分别与ac bc相切于点e f 与ab分别交于点g h 且eh的延长线和cb的延长线交于点d 则cd的长为 答案a 解析连接oe of 设 o的半径为r 由题意知oe ac of bc oe of ae bf ce cf oh r a 在rt aoe和rt bof中 由勾股定理得oa ob r a bh ob oh a r a a a 又 c 90 bc ac 又oe ac oe bc bdh oeh 即 bd bh a cd bc bd a a a 也可利用平行线性质 对顶角相等和等腰三角形的性质与判定证明bd bh 解题关键本题是一道综合性较强的几何计算题 主要考查了圆的切线的性质 相似三角形的判定与性质 勾股定理等知识 解题关键是通过三角形相似 得到bd bh 从而求出线段cd的长 属较难题 9 2018湖北武汉 21 8分 如图 pa是 o的切线 a是切点 ac是直径 ab是弦 连接pb pc pc交ab于点e 且pa pb 1 求证 pb是 o的切线 2 若 apc 3 bpc 求的值 解析 1 证法一 连接op ob 在 oap和 obp中 oap obp oap obp pa是 o的切线 obp oap 90 pb是 o的切线 证法二 连接ob pa是 o的切线 pao 90 oa ob pa pb oab oba pab pba pbo pao 90 pb是 o的切线 2 连接bc 设op交ab于点f ac是 o的直径 abc 90 pa pb是 o的切线 po垂直平分ab po平分 apb bc po opc pcb apc 3 bpc opc bpc pcb bpc bc bp 设of t 则bc bp 2t 由 pbf pob 得pb2 pf po 即 2t 2 pf pf t 解得pf t 取正值 pfe cbe 解题技巧对于含有切线的解答题 首先要想到的是作 辅助线 由此获得更多能够证明题目要求的条件 一般作 辅助线 的方法为 见切点 连圆心 构造直角三角形 或垂直 然后利用切线性质及直角三角形的边角关系 勾股定理进行证明或计算 10 2017北京 24 5分 如图 ab是 o的一条弦 e是ab的中点 过点e作ec oa于点c 过点b作 o的切线交ce的延长线于点d 1 求证 db de 2 若ab 12 bd 5 求 o的半径 解析 1 证明 bd是 o的切线 obd 90 ce oa ace 90 oba ebd a aec 90 oa ob a oba ebd aec 又 aec bed bed ebd db de 2 如图 连接oe 则oe ab ae be 6 11 2016北京 25 5分 如图 ab为 o的直径 f为弦ac的中点 连接of并延长交于点d 过点d作 o的切线 交ba的延长线于点e 1 求证 ac de 2 连接cd 若oa ae a 写出求四边形acde面积的思路 解析 1 证明 连接oc 如图 oa oc f为ac的中点 od ac de是 o的切线 od de ac de 2 求解思路如下 在rt ode中 由oa ae od a 可得 ode ofa为含30 角的直角三角形 由 acd aod 30 可知cd oe 由ac de 可知四边形acde是平行四边形 由 ode ofa为含有30 角的直角三角形 可求de df的长 进而可求四边形acde的面积 12 2015内蒙古呼和浩特 24 9分 如图 o是 abc的外接圆 p是 o外的一点 am是 o的直径 pac abc 1 求证 pa是 o的切线 2 连接pb与ac交于点d 与 o交于点e f为bd上的一点 若m为的中点 且 dcf p 求证 证明 1 连接cm pac abc m abc pac m am为直径 acm 90 m mac 90 pac mac 90 即 map 90 ma ap pa是 o的切线 3分 2 连接ae m为的中点 am为 o的直径 am bc am ap ap bc adp cdb 5分 ap bc p cbd cbd cae p cae p dcf dcf cae ade cdf ade cdf 7分 9分 13 2014北京 21 5分 如图 ab是 o的直径 c是的中点 o的切线bd交ac的延长线于点d e是ob的中点 ce的延长线交切线db于点f af交 o于点h 连接bh 1 求证 ac cd 2 若ob 2 求bh的长 解析 1 证明 连接bc ab是 o的直径 acb 90 c是的中点 ac bc cab cba 45 bd是 o的切线 abd 90 可得 cbd d 45 bc cd ac cd 2 连接oc oa oc oca cab 45 coe 90 e是ob的中点 oe be ceo feb rt coe rt fbe bf oc ob 2 bf 2 由勾股定理 得af 2 abf ahb 90 bh c组教师专用题组 考点1圆的有关概念与性质 1 2015吉林长春 7 3分 如图 四边形abcd内接于 o 若四边形abco是平行四边形 则 adc的大小为 a 45 b 50 c 60 d 75 答案c设 adc x 则 aoc 2x 四边形abco是平行四边形 b aoc b d 180 x 2x 180 x 60 adc 60 故选c 2 2015山东威海 9 3分 如图 已知ab ac ad cbd 2 bdc bac 44 则 cad的度数为 a 68 b 88 c 90 d 112 答案b ab ac ad abc acb 点b c d在以a为圆心的圆周上 bdc bac cad 2 cbd bac 44 bdc 22 cbd 2 bdc cbd 44 cad 2 cbd 88 故选b 解题关键本题考查了等腰三角形的性质 圆周角与圆心角的关系 解题的关键是要能发现点b c d在以a为圆心的圆周上 3 2015宁夏 6 3分 如图 四边形abcd是 o的内接四边形 若 bod 88 则 bcd的度数是 a 88 b 92 c 106 d 136 答案d因为 bod 88 所以 a 44 因为 a bcd 180 所以 bcd 136 故选d 4 2014山西 8 3分 如图 o是 abc的外接圆 连接oa ob oba 50 则 c的度数为 a 30 b 40 c 50 d 80 答案b根据圆周角定理得 c aob oba 50 oa ob aob 80 c 40 故选b 5 2014北京 7 4分 如图 o的直径ab垂直于弦cd 垂足是e a 22 5 oc 4 cd的长为 a 2b 4c 4d 8 答案c co ao coe 2 a 45 oc 4 ce oc sin coe 4 2 ab cd cd 2ce 4 故选c 6 2014甘肃兰州 13 4分 如图 cd是 o的直径 弦ab cd于e 连接bc bd 下列结论中不一定正确的是 a ae beb c oe ded dbc 90 答案c cd是 o的直径 且cd ab ae be cd是 o的直径 dbc 90 但不能得出oe de 故选c 评析本题考查了垂径定理 属容易题 7 2014内蒙古呼和浩特 6 3分 已知 o的面积为2 则其内接正三角形的面积为 a 3b 3c d 答案c如图所示 连接ob oc 过o作od bc于d o的面积为2 o的半径为 abc为正三角形 boc 2 60 120 bod boc 60 ob bd ob sin bod sin60 bc 2bd od ob cos bod cos60 boc的面积 bc od abc的面积 3s boc 3 故选c 评析本题考查三角形的外接圆与外心 属容易题 8 2014连云港 7 3分 如图 点p在以ab为直径的半圆内 连接ap bp 并延长分别交半圆于点c d 连接ad bc 并延长交于点f 作直线pf 下列说法一定正确的是 ac垂直平分bf ac平分 baf fp ab bd af a b c d 答案d因为ab是半圆的直径 所以 adb acb 90 所以bd ac是 abf的两条高 因为三角形的三条高相交于一点 所以pf ab 故 正确 故选d 9 2014山东济南 13 3分 如图 o的半径为1 abc是 o的内接等边三角形 点d e在圆上 四边形bcde为矩形 这个矩形的面积是 a 2b c d 答案b连接ob oc 作om bc于m 因为 abc为等边三角形 所以 a 60 所以 boc 120 因为ob oc 1 所以 ocb 30 所以om cm 在矩形bcde中 易得cd 2om 1 bc 2cm 所以s矩形bcde bc cd 10 2018吉林 13 3分 如图 a b c d是 o上的四个点 若 aob 58 则 bdc 度 答案29 解析连接oc 图略 aob boc 58 又点d在圆上 bdc boc 29 思路分析连接oc 由与相等可得圆心角 aob boc 再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得 bdc的度数 11 2018内蒙古呼和浩特 12 3分 同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 答案 1 解析设圆的半径为r 则内接正方形的边心距为r 内接正三角形的边心距为r 故r r 1 12 2015湖南郴州 14 3分 如图 已知ab是 o的直径 点c在 o上 若 cab 40 则 abc的度数为 答案50 解析 ab是 o的直径 acb 90 cab cba 90 abc 90 cab 90 40 50 13 2015内蒙古包头 18 3分 如图 o是 abc的外接圆 ad是 o的直径 若 o的半径是4 sinb 则线段ac的长为 答案2 解析连接cd 在 o中 因为ad为直径 所以 acd 90 因为 b d 所以ac ad sind 8 2 14 2015江西南昌 10 3分 如图 点a b c在 o上 co的延长线交ab于点d a 50 b 30 则 adc的度数为 答案110 解析在 o中 boc 2 a 2 50 100 所以 dob 180 boc 180 100 80 所以 adc b dob 30 80 110 评析本题考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系 三角形内角和定理的推论 属容易题 15 2014江西 12 3分 如图 abc内接于 o ao 2 bc 2 则 bac的度数为 答案60 解析连接ob oc 作od bc于点d 由垂径定理可得 bd cd od 1 sin obd obd 30 boc 120 则 bac boc 60 评析本题考查垂径定理和圆周角与圆心角之间的关系 属容易题 16 2014陕西 16 3分 如图 o的半径是2 直线l与 o相交于a b两点 m n是 o上的两个动点 且在直线l的异侧 若 amb 45 则四边形manb面积的最大值是 答案4 解析连接oa ob 四边形manb面积的最大值取决于三角形abm和三角形abn的面积的最大值 当点m n分别位于优弧ab和劣弧ab的中点时 四边形manb的面积取最大值 连接mn 此时mn为 o的直径 故mn 4 amb 45 aob 90 所以ab oa 2 故四边形manb面积的最大值为ab mn 4 2 4 17 2014南京 13 2分 如图 在 o中 cd是直径 弦ab cd 垂足为e 连接bc 若ab 2cm bcd 22 30 则 o的半径为cm 答案2 解析连接ac ao ob ab cd acb 2 bcd 45 aob 2 acb 90 又oa ob 由勾股定理知oa2 ob2 ab2 得oa ob 2cm o的半径为2cm 18 2014扬州 15 3分 如图 以 abc的边bc为直径的 o分别交ab ac于点d e 连接od oe 若 a 65 则 doe 答案50 解析因为 a 65 所以 b c 115 因为bo od co eo 所以 bdo b oec c 所以 bdo oec b c 115 所以 ado aeo 180 bdo 180 oec 360 bdo oec 245 在四边形adoe中 doe 360 a ado aeo 50 19 2014泰州 15 3分 如图 a b c d依次为一直线上4个点 bc 2 bce为等边三角形 o过a d e三点 且 aod 120 设ab x cd y 则y与x的函数关系式为 答案y 解析连接ae de aod 120 aed 120 则 ead eda 60 bce是等边三角形 eb ec bc 2 ebc ecb 60 abe ecd 120 eab aeb 60 aeb edc abe ecd 即 y 20 2018安徽 20 10分 如图 o为锐角 abc的外接圆 半径为5 1 用尺规作图作出 bac的平分线 并标出它与劣弧的交点e 保留作图痕迹 不写作法 2 若 1 中的点e到弦bc的距离为3 求弦ce的长 解析 1 尺规作图如图所示 4分 2 连接oe交bc于m 连接oc 因为 bae cae 所以 易得oe bc 所以em 3 rt omc中 om oe em 5 3 2 oc 5 所以mc2 oc2 om2 25 4 21 rt emc中 ce2 em2 mc2 9 21 30 所以弦ce的长为 10分 思路分析对于 2 连接oe交bc于点m 再连接oc 由 bae cae可得 可推出oe bc 最后利用勾股定理求出ce 21 2016河南 18 9分 如图 在rt abc中 abc 90 点m是ac的中点 以ab为直径作 o分别交ac bm于点d e 1 求证 md me 2 填空 若ab 6 当ad 2dm时 de 连接od oe 当 a的度数为时 四边形odme是菱形 解析 1 证明 在rt abc中 abc 90 点m是ac的中点 ma mb a mba 2分 四边形abed是圆内接四边形 ade abe 180 又 ade mde 180 mde mba 同理可证 med a 4分 mde med md me 5分 2 2 7分 60 或60 9分 22 2015河南 17 9分 如图 ab是半圆o的直径 点p是半圆上不与点a b重合的一个动点 延长bp到点c 使pc pb d是ac的中点 连接pd po 1 求证 cdp pob 2 填空 若ab 4 则四边形aopd的最大面积为 连接od 当 pba的度数为时 四边形bpdo是菱形 解析 1 证明 d是ac的中点 且pc pb dp ab dp ab cpd pbo 3分 ob ab dp ob cdp pob 5分 2 4 7分 60 注 若填为60 不扣分 9分 23 2015安徽 20 10分 在 o中 直径ab 6 bc是弦 abc 30 点p在bc上 点q在 o上 且op pq 1 如图1 当pq ab时 求pq长 2 如图2 当点p在bc上移动时 求pq长的最大值 解析 1 op pq pq ab op ab 在rt opb中 op ob tan abc 3 tan30 3分 如图 连接oq 在rt opq中 pq 5分 2 pq2 oq2 op2 9 op2 当op最小时 pq最大 此时 op bc 7分 op ob sin abc 3 sin30 pq长的最大值为 10分 24 2015贵州遵义 26 12分 如图 abc中 ab ac 以ab为直径作 o 交bc于点d 交ca的延长线于点e 连接ad de 1 求证 d是bc的中点 2 若de 3 bd ad 2 求 o的半径 3 在 2 的条件下 求弦ae的长