安徽省黄山市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年安徽省黄山市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1若 x|x2a， aR，则 a 的取值范围是（ ） A 0， +） B （ 0， +） C（ ， 0 D（ ， 0） 2角 终边上有一点（ a， 2a）（ a 0），则 ） A B C D 3已知点 P（ 3， 4）， Q（ 2， 6），向量 =（ 1， ），若 =0，则实数 的值为（ ） A B C 2 D 2 4若 ，则 的值为（ ） A B 0 C D 5求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ） A f（ x） = f（ x） =（ x ） C f（ x） =1 D f（ x） =|2x 3| 6将函数 y=4x ）图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移 个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ） A B x= C x= D x= 7已知定义 在区间 0， 2上的函数 y=f（ x）的图象如图所示，则 y=f（ 2 x）的图象为（ ） A B C D 8已知 （ 0， ）， a= b=c=（ ） A c a b B b a c C a c b D b c a 9在边长为 1 的正三角形 ，设 ， ，则 =（ ） A B C D 10设 xR，若函数 f（ x）为单调递增函数，且对任意实数 x，都有 ff（ x） e+1（ e 是自然对数的底数），则 f（ 值等于（ ） A 1 B e+l C 3 D e+3 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分 .、共 25 分 . 11化简： = 12已知函数 f（ x） = 的值为 13函数 y=2x）的单调减区间是 14已知幂函数 f（ x） =x （ kZ）满足 f（ 2） f（ 3），若函数 g（ x） =1 q， f（ x） +（ 2q 1） x 在区间 1， 2上是减函数，则非负实数 q 的取值范围是 15已知函数 f（ x） =x ） +2其中 为常数），给出下列五个命题： 存在 ，使函数 f（ x）为偶函数； 存在 ，使函数 f（ x）为奇函数； 函数 f（ x）的最小值为 3； 若函数 f（ x）的最大值为 h（ ），则 h（ ）的最大值为 3； 当 = 时，（ ， 0）是函数 f（ x）的一个对称中心 其中正确的命题序号为 （把所有正确命题的选号都填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16已知集合 A=x|33x27， B=x|1 （ 1）求（ A； （ 2）已知集合 C=x|1 x a，若 CA，求实数 a 的取值范围 17已知函数 f（ x） =最小正周期为 ， xR， 0 是常数 （ 1）求 的值； （ 2）若 f（ + ） = ， （ 0， ），求 18在 ， ， +1， 5，点 P 满足： =（ 1 ） + （ 0）， （ 1）求 的值； （ 2）求实数 的值 19已知向量 ，向量 （ ）若 ，且 0， 2），将 m 表示为 的函数，并求 m 最小值及相应的 值； （ ）若 ，且 m=0，求 的值 20已知函数 g（ x） =2+b（ a 0）在区间 0， 3上有最大值 4 和最小值 1设 f（ x） = ， （ 1）求 a、 b 的值； （ 2）若不等式 f（ 2x） k2x0 在 x 1， 1上有解，求实数 k 的取值范围 21如图，在平面直角坐标系 ，点 A（ 单位圆 O 上， ，且 （ ， ） （ 1）若 + ） = ，求 值； （ 2）若 B（ 是单位圆 O 上的点，且 过点 A、 B 分别 做 x 轴的垂线，垂足为C、 D，记 面积为 面积为 f（ ） =2，求函数 f（ ）的最大值 2015年安徽省黄山市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 .来源 :学 *科 *网 1若 x|x2a， aR，则 a 的取值范围是（ ） A 0， +） B（ 0， +） C（ ， 0 D（ ， 0） 【考点】 集合关系中的参数取值问 题 【专题】 计算题 【分析】 由题意可得 x|x2a， aR，从而得到 a0 【解答】 解： x|x2a， aR， x|x2a， aR， a0 故选 A 【点评】 本题主要考查集 合关系中参数的取值范围问题，得到 x|x2a， aR，是解题的关键，属于基础题 2角 终边上有一点（ a， 2a）（ a 0），则 ） A B C D 【考点】 任意角的三角函数的定义 来源 :学科网 Z X X K 【专题】 三角函数的求值 【分析】 由条件利用任意角的三角函数的定义，求得 【解答】 解：根据角 终边上有一点（ a， 2a）（ a 0），可得 x= a， y=2a， r= a， 故 = = ， 故选： A 【点评】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 3已知点 P（ 3， 4）， Q（ 2， 6），向量 =（ 1， ），若 =0，则实数 的值为（ ） A B C 2 D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用 【分析】 根据向量的坐标运算以及向量 的数量积即可求出 【解答】 解： P（ 3， 4）， Q（ 2， 6）， =（ 1， 2）， 向量 =（ 1， ）， =0， 1（ 1） +2=0， = ， 故选： B 【点评】 本题考查了向量的坐标运算和向量数量积的运算，属于基础题 4若 ，则 的值为（ ） A B 0 C D 【考点】 三角函数的化简求值 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由 ，两边平方可得： 2 再利用和差公式、同角三角函数 基本关系式即可得出 【解答】 解： ， 1+2， 2 = = =2 故选： D 【点评】 本题考查了和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 5求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ） A f（ x） = f（ x） =（ x ） C f（ x） =1 D f（ x） =|2x 3| 【考点】 二分法的定义 【专题】 计算题；函数思想；定义法；函数的性质及 应用 【分析】 求出函数的值域，即可判断选项的正误； 【解答】 解： f（ x） =是单调函数， y0，不能用二分法求零点， f（ x） = 是单调函数， yR，能用二分法求零点 f（ x） =1 不是单调函数， y0，不能用二分法求零点 f（ x） =|2x 3|，不是单调函数 y0，不能用二分法求零点 故选： A 【点评】 本题考查函数零点判断，二分法的应用，是基础题 6将函数 y=4x ）图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移 个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称 轴的方程是（ ） A B x= C x= D x= 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 利用函数 y=x+）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为 y=8x ），利用正弦函数的对称性即可求得答案 【解答】 解：将函数 y=4x ）图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到的函数解析式为： g（ x） =2x ）， 再将 g（ x） =2x ）的图象向左平移 个单位（纵坐标不变）得到 y=g（ x+ ） =（ x+ ） =2x+ ） =2x+ ）， 由 2x+ =（ kZ），得： x= + ， kZ 当 k=0 时， x= ，即 x= 是变化后的函数图象的一条对称轴的方程， 故选： A 【点评】 本题考查函数 y=x+）的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题 7已知定义在区间 0， 2上的函数 y=f（ x）的图象如图所示，则 y=f（ 2 x）的图象为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 计算 题 【分析】 由（ 0， 2）上的函数 y=f（ x）的图象可求 f（ x），进而可求 y=f（ 2 x），根据一次函数的性质，结合选项可可判断 【解答】 解：由（ 0， 2）上的函数 y=f（ x）的图象可知 f（ x） = 当 0 2 x 1 即 1 x 2 时， f（ 2 x） =2 x 当 12 x 2 即 0 x1 时， f（ 2 x） =1 y=f（ 2 x） = ，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项 A 正确 故选 A 【点评】 本题主要考查了一次函数的性质在函数图象中的应用，属于基础试题 8已知 （ 0， ）， a= b=c=（ ） A c a b B b a c C a c b D b c a 【考点】 指数函数的图象与性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据指数函数对数函数三角图象和性质即可判断 【解答】 解： （ 0， ）， 0 1， a= 0， y= 0， b c a， 故选： D 【点评】 本题考查了指数函数对数函数三角图象和性质，属于基础题 9在边长为 1 的正三角形 ，设 ， ，则 =（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 根据向量加法及条件便有： ， ，由条件可得到 三向量的长度及其夹角，从而进行数量积的运算即可 【解答】 解：如图，根据条件： = = = = 故选 A 【点评】 考查向量加法的几何意义，向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，注意正确确定向量的夹角 10设 xR，若函数 f（ x）为单调递增函数，且对任意实数 x，都有 ff（ x） e+1（ e 是自然对数的底数），则 f（ 值等于（ ） A 1 B e+l C 3 D e+3 【考点】 函数单调性的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 利用换元法 将函数转化为 f（ t） =e+1，根据函数的对应关系求出 t 的值，即可求出函数 f（ x）的表达式，即可得到结论 【解答】 解：设 t=f（ x） 则 f（ x） =ex+t，则条件等价为 f（ t） =e+1， 令 x=t，则 f（ t） =et+t=e+1， 函数 f（ x）为单调递增函数， 函数为一对一函数，解得 t=1， f（ x） =， 即 f（ =2+1=3， 故选： C 【点评】 本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分 .、共 25 分 . 11化简： = 【考点】 向量加减混合运算及其几何意义 【专题】 计算题 【分析】 利用向量加法的三角形法则即可求得答案 【解答】 解： =（ ）（ + ） = = ， 故答案为： 【点评】 本题考查向量加减混合运算及其几何意义，属基础题 12已知函数 f（ x） = 的值为 【考点】 对数的运算性质 【专题】 计算题 【分析】 首先求出 f（ ） = 2，再求出 f（ 2）的值即可 【解答】 解： 0 f（ ） = 2 2 0 f（ 2） =2 2= 故答案为 【点评】 本题考查了对数的运算性质，以及分段函数求值问题，分段函数要注意定义域，属于基础题 13函数 y=2x）的单调减区间是 （ ， 0） 【考点】 对数函数的单调性与特殊点；对数函 数的定义域 【专题】 计算题 【分析】 先求函数的定义域设 u（ x） =2x 则 f（ x） =x），因为对数函数的底数 3 1， 则对数函数为单调递增函数，要求 f（ x）函数的减区间只需求二次函数的减区间即可 【解答】 解：由题意可得函数 f（ x）的定义域是 x 2 或 x 0， 令 u（ x） =2x 的增区间为（ ， 0） 3 1， 函数 f（ x）的单调减区间为（ 2， 1 故答案：（ ， 0） 【点评】 此题考查学生求对数函数及二次函数增减性的能力，以及会求复合函数的增减性的能力 14已知幂函数 f（ x） =x （ kZ）满足 f（ 2） f（ 3），若函数 g（ x） =1 q， f（ x） +（ 2q 1） x 在区间 1， 2上是减函数，则非负实数 q 的取值范围是 0q 【考点】 函数单调性的判断与证明 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 先表示出函数 g（ x）的表达式，结合函数的单调性通过讨论 q 的范围，从而得到答案 【解答】 解：依题意可知， k2+k+2 0，解得： 1 k 2， 又 kZ，所以 k=0 或 1，则 k2+k+1=2， 所以： f（ x） = g（ x） = 2q 1） x+1，（ q0）， 当 q=0 时， g（ x） = x+1 在 1， 2单调递减成立； 当 q 0 时， g（ x） = 2q 1） x+1 开口向下，对称轴右侧单调递减， 所以 1，解得 0 q ； 综上所述， 0q ， 故答案为： 0q 【点评】 本题考查了函数解析式的求法，考查函数的单调性问题，是一道基础题 15已知函数 f（ x） =x ） +2其中 为常数），给出下列五个命题： 存在 ，使函数 f（ x）为偶函数； 存在 ，使函数 f（ x）为奇函数； 函数 f（ x）的最小值为 3； 若函数 f（ x）的最大值为 h（ ），则 h（ ）的最大值为 3； 当 = 时，（ ， 0）是函数 f（ x）的一个对称中心 其中正确的命题序号为 （把所有 正确命题的选号都填上） 【考点】 三角函数的化简求值 【专题】 计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 推导出 f（ x） =5 4x+），对于 ，当 =2（ kZ）， f（ x） = 3为偶函数；对于 ， f（ x）不为奇函数；对于 ， f（ x）的最小值为 5 4于 ， f（ x）的最大值为 h（ ） =5 4h（ ）的最大值为 3；对于 ，（ ， 0）是函数 f（ x）的一个对称中心 【解答】 解：函数 f（ x） =x ） +22 = 2 2x+）（ 为辅助角） =5 4x+） 对于 ，由 f（ x） =2 当 =（ kZ）， ， 1， f（ x） = 3为偶函数则 对； 对于 ，由 f（ x） =2 可得 2 1， 3，即 系数不可能为 0， 则 f（ x）不为奇函数，则 错； 对于 ， f（ x）的最小值为 5 4 错； 对于 ， f（ x）的最大值为 h（ ） =5 4 1 时， h（ ）的最大值为 3，则 对； 对于 ，当 = 时， f（ x） =2 = x+ ）， 当 x= ， f（ x） =3 + ） =0，即有（ ， 0）是函数 f（ x）的一个对称中心，则 对 故答案为： 【点评】 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 . 16已知集合 A=x|33x27， B=x|1 （ 1）求（ A； （ 2）已知集合 C=x|1 x a，若 CA，求实数 a 的取值范围 【考点】 集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题；集合思想；综合法；集合 【分析】 （ 1）解指数不等式我们可以求出集合 A，解对数不等式，我们可以求集合 B，再由集合补集的运算规则，求出 而由并集的运算法则，即可求出（ A； （ 2）由（ 1）中集合 A，结合集合 C=x|1 x a，我们分 C=和 C两种情况，分别求出对应的实数 a 的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案 【解答】 解：（ 1） A=x|33x27=x|1x3（ 1 分） B=x|1=x|x 2（ 3 分） （ A=x|x2 x|1x3=x|x3（ 6 分） （ 2）当 a1 时， C=，此时 CA（ 8 分） 当 a 1 时， CA，则 1 a3（ 10 分） 综上所述， a 的取值范围是（ ， 3（ 12 分） 【点评】 本题考查的知识点是集合交、并、补集的混合运算，集合关系中的参数取值问题， 指数不等式的解法，对数不等式的解法，其中解指数不等式和对数不等式求出集合 A， B 是解答本题的关键，在（ 2）的解答中易忽略 C 为空集也满足条件而错解为（ 1， 3，也容易忽略最后要的结果为集合，不能用不等式的形式表达 17已知函数 f（ x） =最小正周期为 ， xR， 0 是常数 （ 1）求 的值； （ 2）若 f（ + ） = ， （ 0， ），求 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【专题】 三角函数的求值；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）由两角和的正弦公 式化简解析式可得 f（ x） =2x+ ），由已知及周期公式即可求 的值 （ 2）由已知及三角函数中的恒等变换应用可得 f（ + ） =2，可得 （ 0， ），可得 【解答】 解：（ 1） f（ x） =x+ ）， 函数 f（ x） =最小正周期为 ， T= ，解得： =2 （ 2） f（ + ） =2（ + ） + =2+ ） =2， ， （ 0， ）， ， 2 = 【点评】 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的周期性，属于基本知识的考查 18在 ， ， +1， 5，点 P 满足： =（ 1 ） + （ 0）， （ 1）求 的值； （ 2）求实数 的值 【考点】 平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义 【专题】 计算题；转化思想；定义法；平面向量及应用 【分析】 （ 1）根据向量的数量积的 运算即可求出； （ 2）根据向量的加减的几 何意义得到即 = ，即可求出答案 【解答】 解：（ 1） =| | | （ +1） （ ） = +1， （ 2） =（ 1 ） + ， =（ ），即 = ， 0， = = 【点评】 本题考查了向量的数量积的运算和向量的加减的几何意义，属于基础题 19已知向量 ，向量 （ ）若 ，且 0， 2），将 m 表示为 的函数，并求 m 最小值及相应的 值； （ ）若 ，且 m=0，求 的值 【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积 判断两个平面向量的垂直关系 【 分析】 （ 1）利用平行关系直接计算即可 （ 2）表示垂直关系，求得 后化简代数式，可求值 【解答】 解：（ 1） a b， =0， ， 又 R， 时， 2 又 0， 2），所以 （ 2） ，且 m=0， = = = 【点评】 本题考查平面向量坐标运算，平行与垂直的判断方法，是中档题 20已知函数 g（ x） =2+b（ a 0）在区间 0， 3上有最大值 4 和最小值 1设 f（ x） = ， （ 1）求 a、 b 的值； （ 2）若不等式 f（ 2x） k2x0 在 x 1， 1上有解，求实数 k 的取值范围 【考点】 函数恒成立问题；二次函数的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 （ 1）由 a 0 可知二次函数的图象是开口向上的抛物线，求出对称轴方程，根据函数在区间0， 3上有最大值 4 和最小值 1 列式求解 a， b 的值； （ 2）利用（ 1）中求出的函数解析式，把不等式 f（ 2x） k2x0 在 x 1， 1上有解转化为在 x 1， 1上有解，分离变量 k 后，构造辅 助函数，由 k 小于等于