福建省厦门市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1设集合 A= 2， 1， 1， B=xZ| 1x1，则 A B=（ ） A 1， 1 B 0， 1 C 2， 1， 1 D 2， 1， 0， 1 2已知 f（ x 1） =2x，则 f（ 3） =（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 3在区间 1， 3内任选一个实数，则 x 恰好在区间 1， 3内的概率是（ ） A B C D 4某产品的广告费 x（万元）与销售额 y（万元）的统计数据如表： 广告费用 x 2 3 5来源 : 6 销售额 y 20 30 40 50 由最小二乘法可得回归方程 =7x+a，据此预测，当广告费用为 7 万元时，销售额约为（ ） A 56 万元 B 58 万元 C 68 万元 D 70 万元 5运行如图的程序，若输入的数为 1，则输出的数是（ ） A 2 B 0 C 1 D 3 6已知 a=b=c=（ ） A b a c B a b c C c b a D c a b 7已知函数 f（ x） =3x，对于定义域内任意的 x1给出如下结论： f（ x1+=f（ f（ f（ x1=f（ +f（ 0 f（ +f（ =f（ +f（ 其中正确结论的序号是（ ） A B C D 8甲、乙两位运动员 6 场比赛的茎叶图如图所示，记甲、乙的平均成绩分别为 ， ，下列判断正确的是 （ ） A ，甲比乙成绩稳定 B ，乙比甲成绩稳定 C ，甲比乙成绩稳定 D ，乙比甲成绩稳定 9在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从 A， B， C， D 四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（ ） A B C D 10函数 f（ x） =2 的图象大致是（ ） A B C D 11阅读如图所示的程序框图，若输出 d=a=0， b=输 出的结果是（ ） 参考数据： x f（ x） =2x 3x A 2已知 t表示不超过 t 的最大整数，例如 1， 2=2，若关于 x 的方程 =a 在（ 1， +）恰有 2 个不同的实数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A 2， +） B（ 2， +） C（ ， 2 D ， 2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 . 13一个田径队中有男运动员 56 人，女运动员 42 人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为 28 人的样本，其中男运动员应抽取 人 14已知函数 f（ x） =2x+3 的定义域为 0， 3，则函数 f（ x）的值域为 15在不同的进位制之间的转化中，若 132（ k） =42（ 10） ，则 k= 16已知函数 f（ x） =| g（ x） = ，若对任意 xa， +），总存在两个 ， 4，使得 g（ x） f（ =1，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知 R 为实数集，集合 A=x|， B=x|x a 4 （ ）若 a=2，求 A（ （ ）若 A B=B，求实数 a 的取值范围 18某校举行一次安全知识教育检查活动，从全校 1500 名学生中随机抽取 50 名参加笔试，测试成绩的频率分布表如下： 分组（分数段） 频数（人数） 频率 50， 60） a 60， 70） 13 70， 80） 16 80， 90） 10 90， 100） b c 合计 50 ）请根据频率分布表写出 a， b， c 的值，并完成频率分布直方图； （ ）根据（ ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么？ 19已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时， f（ x） =aR），函数 f（ x）的图象经过点（ 4， 2） （ 1）求函数 f（ x）的解析 式； （ 2）解不等式 f（ f（ x2+x 1） 0 20联合国教科文组织规定：一个国家或地区 60 岁以上的人口占该国或该地区人口总数的 10%以上（含 10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为 P（ x） = （万）， 60 岁以上的人口数可近似表示为 L（ x）=101+k%（ x 2010） （万）（ x 为年份， W， k 为常数），根据第六次全国人口普查公报， 2010年该地区人口共计 105 万 （ ）求 W 的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破 142 万 ，并说明理由； （ ）已知该地区 2013 年恰好进入老龄化社会，请预测 2040 年该地区 60 岁以上人口数（精确到 1万） 参考数据 “139420= 21某港口船舶停靠的方案是先到先停 （ ）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从 1， 2， 3， 4， 5 中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由 （ 2）根据已往经验，甲船将于早上 7： 00 8： 00 到达，乙 船将于早上 7： 30 8： 30 到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记 X， Y 都是 0 1 之间的均与随机数，用计算机做了 100 次试验，得到的结果有 12 次，满足 X Y 6 次满足 X 2Y 22设函数 f（ x） = （ ）若 a=1，在直角坐标系中作出函数 f（ x）的大致图象； （ ）若 f（ x） 2 x 对任意 x1， 2恒成立，求实数 a 的取值范围； （ ）若函数 f（ x）恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围 来源 :Z,xx, 2015年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1设集合 A= 2， 1， 1， B=xZ| 1x1，则 A B=（ ） A 1， 1 B 0， 1 C 2， 1， 1 D 2， 1， 0， 1 【考点】 并集及其运算 【专题】 计算题；集合 【分析】 列举出 B 中的元素确定出 B，找出 A 与 B 的并集即可 【解答】 解： A= 2， 1， 1， B=xZ| 1x1= 1， 0， 1， A B= 2， 1， 0， 1， 故选： D 【点评】 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键 2已知 f（ x 1） =2x，则 f（ 3） =（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【考点】 函数的值 【专题】 计算题；函数思想；同一法；函数的性质及应用 【分析】 令 x 1=3，求出 x 的值，代入可得答案 【解答】 解： f（ x 1） =2x， 令 x 1=3，则 x=4， f（ 3） =24=8， 故选： D 【点评】 本题考查的知识点是函数的值，难度不大，属于基础题 3在区间 1， 3内任选一个实数，则 x 恰好在区间 1， 3内的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【专题】 计算题；方程思想；综合法；概率与统计 【分析】 本题利用几何概型求概率，解得的区间长度，求比值即得 【解答】 解：利用几何概型，其测度为线段的长度， 区间 1， 3的长度为 4，区间 1， 3长度为 2， 由几何概型公式得 x 恰好在区间 1， 3内的概率是为 = 故选： C 【点评】 本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或 体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 4某产品的广告费 x（万元）与销售额 y（万元）的统计数据如表： 广告费用 x 2 3 5 6 销售额 y 20 30 40 50 由最小二乘法可得回归方程 =7x+a，据此预测，当广告费用为 7 万元时，销售额约为（ ） A 56 万元 B 58 万元 C 68 万元 D 70 万元 【考点】 线性回归方程 【专题】 函数思想；综合法；概率与统计 【分析】 求出数据中心（ ， ），代入回归方程求出 ，再将 x=7 代入回归方程得出答 案 【解答】 解： = =4， = =35 35=47+ ，解得 =7 回归方程为 =7x+7 当 x=7 时， y=77+7=56 故选： A 【点评】 本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题 5运行如图的程序，若输入的数为 1，则输出的数是（ ） A 2 B 0 C 1 D 3 【考点】 伪代码；程序框图 【专题】 计算题；阅读型；分类讨论；算法和程序框图 【分析】 模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出 y= ，由 x=1 满足条件 x0，执行输出 y=2x+1 即可得 解 【解答】 解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出 y= ， x=1，满足条件 a0，执行 y=2x+1=3，输出 y 的值为 3 故选： D 【点评】 本题考查的知 识点是条件结构，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题 6已知 a=b=c=（ ） A b a c B a b c C c b a D c a b 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用 【分析】 利用对数函数的单调性比较 a， b，再以 1 为媒介比较 b， c 得答案 【解答】 解： ， ， a b c 故选： B 【点评】 本题考查对数值的大小比较，考查了对数函数与指数函数的单调性，是基础题 7已知函数 f（ x） =3x，对于定义域内任意的 x1给出如下结论： f（ x1+=f（ f（ f（ x1=f（ +f（ 0 f（ +f（ =f（ +f（ 其中正确 结论的序号是（ ） A B C D 【考点】 指数函数的图象与性质 【专题】 数形结合；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据指数的运算法则即可 正确， 错误， 错误； 根据函数 f（ x） =3正确 【解答】 解：关于函数 f（ x） =3x，对于定义域内任意的 x1 f（ x1+= = =f（ f（ 正确； f（ x1= + =f（ +f（ 错误； f（ x） =3f（ x） =k= 0， 正确； f（ +f（ = + + =f（ +f（ 错误； 综上，正确结论的序号是 故选： A 【点评】 本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合指数的运算性质与函数图象分析结论中式子的几何意义，再进行判断，是基础题目 8甲、乙两位运动员 6 场比赛的茎叶图如图所示，记甲、乙的平均成绩分别为 ， ，下列判断正确的是（ ） A ，甲比乙成绩稳定 B ，乙比甲成绩稳定 C ，甲比乙成绩稳定 D ，乙比甲成绩稳定 【 考点】 茎叶图 【专题】 对应思想；定义法；概率与统计 【分析】 计算甲、乙二人得分的平均数与方差，即可得出正确的结论 【解答】 解： 6 场比赛甲的得分为 16、 17、 18、 22、 32 和 33， 乙的得分为 14、 17、 24、 2 8、 28 和 33； = （ 16+17+18+22+32+33） =23， = （ 14+17+24+28+28+33） =24， ； 又 = （ 49+36+25+1+81+100） = ， = （ 100+49+0+16+16+81） = ，乙比甲成绩稳定些 故选： D 【点评 】 本题利用茎叶图中的数据计算平均数与方差的问题，也考查了计算能力，是基础题目 9在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从 A， B， C， D 四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（ ） A B C D 【考点】 互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式 【专题】 计算题；方程思想；综合法；概率与统计 【分析】 先求出基本事件总数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果 【解答】 解：由已知基本 事件总数 n= =15， 他随机作答，则他答对的概率 p= 故选： C 【点评】 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用 10函数 f（ x） =2 的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用 【分析】 根据指数函数和对数的函数的图象和性质即可判断 【解答】 解：因为 t=函数为增函数，且函数值的变化越来越慢，即图象的变化越来越趋向于平缓， 又因为 y=2图象的变化是函数值的变化越来越慢， 故选： B 【点评】 本题考查了指数函数和对数的函数的图象和性质，属于基础题 11阅读如图所示的程序框图，若输出 d=a=0， b=输出的结果是（ ） 参考数据： x f（ x） =2x 3x 考点】 程序框图 【专题】 计算题； 图表型；数学模型法；算法和程序框图 【分析】 根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当 |a b|=足条件 |a b| d，退出循环，输出 m 的值为 【解答】 解：模拟执行程序，可得： f（ x） =2x 3x， d=a=0， b=m= 不满足条件 f（ 0） f（ 0， a=|a b|=满足条件 |a b| d 或 f（ m） =0， m= 不满足条件 f（ f（ 0， a=|a b|=满足条件 |a b| d 或 f（ m） =0，m= 不满足条件 f（ f（ 0， a=|a b|=足条件 |a b| d，退出循环，输出 m 的值为 故选： B 【点评】 本题考查了循环结构的程序框图，根据表中函数的值，按照程序框图的顺序进行执行求解即可，考查了用二分法方程近似解的方法步骤，属于基础题 12已知 t表示不超过 t 的最大整数，例如 1， 2=2，若关于 x 的方程 =a 在（ 1， +）恰有 2 个不同的实数解 ，则实数 a 的取值范围 是（ ） A 2， +） B（ 2， +） C（ ， 2 D ， 2 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【专题】 计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用 【分析】 化为解 y=x与 y=a（ x 1）在（ 1， +）上恰有 2 个不同的交点，从而作图求解即可 【解答】 解： 关于 x 的方程 =a 在（ 1， +）恰有 2 个不同的实数解， y=x与 y=a（ x 1）在（ 1， +）上恰有 2 个不同的交点， 作函数 y=x与 y=a（ x 1）在（ 1， +）上的图象如下， ， 结合图象可知， ， ， 实数 a 的取值范围是（ ， 2， 故选 C 【点评】 本题考查了方程的解与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 . 13一个田径队中有男运动员 56 人，女运动员 42 人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为 28 人的样本，其中男运动员应抽取 16 人 【考点】 分层抽样方法 【专题】 计算题 【分析】 先求出样本容量与总人数的比，在分层抽样中，应该按比例抽取，所以只需让男运动员人数乘以这个比值，即为男运动员应抽取的人数 【解答】 解： 运动员总数有 98 人，样本容量为 28，样本容量占总人数的 男运动员应抽取 56 =16； 故答案为 16 【点评】 本题主要考查了抽样方法中的分层抽样，关键是找到样本容量与总人数的比 14已知函数 f（ x） =2x+3 的定义域为 0， 3，则函数 f（ x）的值域为 2， 6 【考点】 函数的值域 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 配方得到 f（ x） =（ x 1） 2+2，而 f（ x）的定义域为 0， 3，这样便可求出 f（ x）的最大值和最小值，从而求出 f（ x）的值域 【解答】 解： f（ x） =（ x 1） 2+2； x0， 3； x=1 时， f（ x）取最小值 2； x=3 时， f（ x）取最大值 6； f（ x）的值域为 2， 6 故答案为： 2， 6 【点评】 考查函数定义域、值域的概念，以及配方求二次函数值域的方法 15在不同的进位制之间的转化中，若 132（ k） =42（ 10） ，则 k= 5 【考点】 进位制 【专题】 计算题；方程思想；转化思想；算法和程序框图 【分析】 由已知中 132（ k） =42（ 10） ，可得： k+2=42，解得答案 【解答】 解： 132（ k） =42（ 10） ， k+2=42， 解得： k=5，或 k= 8（舍去）， 故答案为： 5 【点评】 本题考查的知识点是进位制，难度不大，属于基础题 16已知函数 f（ x） =| g（ x） = ，若对任意 xa， +），总存在两个 ， 4，使得 g（ x） f（ =1，则实数 a 的取值范围是 2， +） 【考点】 对数函数的图象与性质 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据 g（ x）的值域和 g（ x） f（ =1 得出 f（ 范围，结合 f（ x）的图象得出 f（ 范围解出 a 【解答】 解： f（ = = ， xa， +）， f（ ， 作出 f（ x）在 ， 4上的函数图象如图： 对任意 xa， +），总存在两个 ， 4，使得 g（ x） f（ =1， 0 1，解得 a2 故答案为 2， +） 【点评】 本题考查了对数函数的图象与性质，结合函数图象是解题关键 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知 R 为实数集，集合 A=x|， B=x|x a 4 （ ）若 a=2， 求 A（ （ ）若 A B=B，求实数 a 的取值范围 【考点】 集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题；集合思想；综合法；集合 【分析】 （ ）若 a=2，求出 A， 可求 A（ （ ）若 A B=B，则 AB，即可求实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ ） ， x2，即 A=2， +）， a=2， B=x|x 6， ， 6， A（ =2， 6； （ ） A B=B， AB， A=2， +）， B=x|x a+4， a+4 2， a 2 【点评】 本题考查集合的交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题 18某校举行一次安全知识教育检查活动，从全校 1500 名学生中随机抽取 50 名参加笔试，测试成绩的频率分布表如下： 分组（分数段） 频数（人数） 频率 50， 60） a 60， 70） 13 70， 80） 16 80， 90） 10 90， 100） b c 合计 50 ）请根据频率分布表写出 a， b， c 的值，并完成频率分布直方图； （ ）根据（ ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么？ 【考点】 众数、中位数、平均数；频率分布直方图 【专题】 对应思想；综合法；概率与统计 【分析】 （ ）由题意知分别求出 a， b， c 的值即可，由频率分布表能作出频率分布直方图 （ ）根据频率分布直方图，能估计出全校学生成绩的中位数 【解答】 解：（ ） a=50， b=50 10 16 13 4=7， c= 如图示： ； （ ）根据（ ）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数约是 80 分， 选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是：不准确，很笼统 【点评】 本题考查频率分布直方图的作法，考查中位数的估计，是基础题，解题时要认真审题 19已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时， f（ x） =aR），函数 f（ x）的图象经过点（ 4， 2） （ 1）求函数 f（ x）的解析式； （ 2）解不等式 f（ f（ x2+x 1） 0 【考点】 函数奇偶性的性质；指数函数的图象与 性质 【专题】 综合题；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用 【分析】 （ 1）根据函数 f（ x）的图象经过点（ 4， 2）可得 a 值，结合 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，可得函数的解析式； （ 2）不等式 f（ f（ x2+x 1） 0 可化为： | | x2+x 1|，即 x+1，解得答案 【解答】 解：（ 1） 函数 f（ x）的图象经过点（ 4， 2） 4a=2，解得： a= ， 故当 x0 时， f（ x） = ， 当 x 0 时， x 0， 由 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，可得此时 f（ x） =f（ x） = ， 综上可得： f（ x） = （ 2）若 f（ f（ x2+x 1） 0， 则 f（ f（ x2+x 1）， 则 | | x2+x 1|， 即 x+1， 解得： x 1 【点评】 本题考查的知识点是函数奇偶性性质，不等式的解法，函数解析式的求法，难度中档 20联合国教科文组织规定：一个国家或地区 60 岁以上的人口占该国或该地区人口总数的 10%以上（含 10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为 P（ x） = （万）， 60 岁以上的人口数 可近似表示为 L（ x）=101+k%（ x 2010） （万）（ x 为年份， W， k 为常数），根据第六次全国人口普查公报， 2010年该地区人口共计 105 万 （ ）求 W 的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破 142 万，并说明理由； （ ）已知该地区 2013 年恰好进入老龄化社会，请预测 2040 年该地区 60 岁以上人口数（精确到 1万） 参考数据 “139420= 【考点】 函数模型的选择与应用 【专题】 应用题；函数思想；综合法；函数的 性质及应用 【分析】 （ ）利用 2010 年该地区人口共计 105 万求 W 的值，利用 142，即可判断未来该地区的人口总数是否有可能突破 142 万； （ ）利用该地区 2013 年恰好进入老龄化社会，求出 k% ，即可预测 2040 年该地区 60 岁以上人口数 【解答】 解：（ ） 2010 年该地区人口共计 105 万， x=2010， P= =105， W142 令 142， x 20100 无解， 未来该地区的人口总数不可能突破 142 万； （ ） 该地区 2013 年恰好进入老龄化社会， 101+k%（ 2013 2010） =10% ， k% ， x=2040， L（ 2040） 101+ （ 2040 2010） =20 万 【点评】 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，正确理解题意是关键 21某港口船舶停靠的方案是先到先停 （ ）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从 1， 2， 3， 4， 5 中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由 （ 2）根据已往经验，甲船将于早上 7： 00 8： 00 到达，乙船将于早上 7： 30 8： 30 到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记 X， Y 都是 0 1 之间的均与随机数，用计算机做了 100 次试验，得到的结果有 12 次，满足 X Y 6 次满足 X 2Y 【考点】 模拟方法估计概率；几何概型 【专题】 应用题；对应思想；转化