高中数学 3.5数列的综合应用配套课件 理 新人教A版.ppt

第五节数列的综合应用 三年16考高考指数 1 能综合运用数列的概念 等差数列 等比数列的概念 公式解决有关综合问题 2 能运用数列的概念 公式 性质等解决简单的实际问题 1 数列的综合应用常以递推关系为背景 考查等差数列 等比数列的通项公式和前n项和公式 2 常在与其他知识的交汇处命题 考查学生的转化化归能力 如数列与函数 不等式 解析几何 三角等交汇考查 3 各种题型都有可能出现 1 与数列有关的实际应用问题 1 现实生活中涉及银行利率 存款利息 企业股金 产品利润 人口增长 产值 产量等问题 常常考虑用数列的知识去解决 2 银行储蓄利息的计算公式 单利公式 本金为a元 每期利率为r 存期为x 则利息为arx元 本利和为y arx a a 1 rx 复利公式 本金为a元 每期利率为r 存期为x 则每期的利息都是变化的 本利和为y a 1 r x 3 产值模型原来产值为n 基础数 平均增长率为p 则对于时间x的总产值是y n 1 p x 4 实际问题的分类 涉及到增长率的问题 一般要用等比数列 涉及到依次增加或减少问题 要用到等差数列 列出实际问题的有关表达式 转化为等差或等比数列求解 5 解决有关数列实际问题的一般思路在建立数列问题的模型时 一般有两种途径 从特例入手 归纳猜想 推广到一般结论 从一般入手 找到递推关系 再进行求解 2 数列与函数 不等式 解析几何的综合问题 1 数列是自变量为正整数的特殊函数 数列的通项公式相当于函数的解析式 因此可以用函数的观点来研究数列 例如 判断数列的单调性 周期性 可以通过研究其通项公式所对应的函数的单调性 周期性来实现 注意数列与函数的不同点 即自变量的取值的不同 2 数列公式与函数的关系在等差数列中 通项公式an a1 n 1 d dn a1 d 与一次函数y a x b的类比 前n项和公式sn na1 与二次函数y a x2 b x的类比 在等比数列中 通项公式an a1qn 1 与函数y a ax类比 前n项和公式sn 与函数y aax b类比 3 数列与不等式的综合问题是高考考查的热点内容 通常有三种考查方式 一是判断数列问题中的一些不等关系 二是以数列为载体 考查不等式的恒成立问题 三是考查与数列问题有关的不等式的证明问题 4 数列与解析几何的综合题数列与解析几何的综合问题 尤其是与解析几何中的点列问题更是高考的热点问题 解决点列问题的关键是充分利用解析几何的有关性质 公式 建立数列的递推关系或通项公式 再利用数列的有关知识解决问题 即时应用 1 思考 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型 提示 单利公式 设本金为a元 每期利率为r 存期为n 则本利和an a 1 rn 属于等差模型 复利公式 设本金为a元 每期利率为r 存期为n 则本利和an a 1 r n 属于等比模型 2 小王每月除去所有日常开支 大约结余a元 小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来 每月月初存入银行a元 存期1年 存12次 到期取出本金和利息 假设一年期零存整取的月利率为r 每期存款按单利计息 那么 小王存款到期利息为 元 解析 由题意知 小王存款到期利息为12ar 11ar 10ar 2ar ar 78ar 答案 78ar 3 有一种细菌和一种病毒 每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个 现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒 假设病毒不繁殖 则细菌将病毒全部杀死至少需要 秒钟 解析 设需要n秒钟 则1 21 22 2n 1 100 n 7 答案 7 等差 等比数列的综合应用 方法点睛 解答数列综合问题的注意事项 1 要重视审题 善于联系 2 将等差 等比数列与函数 不等式 方程 应用性问题等联系起来 3 对于等差 等比数列的综合问题 应重点分析等差 等比数列的通项 前n项和 以及等差 等比数列项之间的关系 往往用到转化与化归的思想方法 例1 已知等差数列 an 的前n项和为sn 公差d 0 且s3 s5 50 a1 a4 a13成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设是首项为1 公比为3的等比数列 求数列 bn 的前n项和tn 解题指南 1 列出关于a1 d的方程组 求出a1 d 2 先求 再利用 1 中所得an求bn 最后用错位相减法求tn 规范解答 1 依题意得解得 an a1 n 1 d 3 2 n 1 2n 1 即an 2n 1 2 由题得 3n 1 bn an 3n 1 2n 1 3n 1 tn 3 5 3 7 32 2n 1 3n 13tn 3 3 5 32 7 33 2n 1 3n 1 2n 1 3n则 2tn 3 2 3 2 32 2 3n 1 2n 1 3n tn n 3n 反思 感悟 1 解答本题 1 时 列出关于a1 d的方程组是关键 求解本题 2 时 求出bn是关键 2 利用等比数列前n项和公式时 注意公比q的取值 同时对等差 等比数列的性质 要熟悉它们的推导过程 合理使用性质 可降低题目的难度 解题时有时还需利用条件得方程 组 求解 变式训练 数列 an 是首项a1 4的等比数列 其前n项和为sn 且s3 s2 s4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn log2 an n n 设tn为数列的前n项和 求证 tn 解析 设数列 an 的公比为q 1 若q 1 则s3 12 s2 8 s4 16 显然s3 s2 s4不成等差数列 与题设条件矛盾 所以q 1 由s3 s2 s4成等差数列 得化简 得q2 q 2 0 q 2或q 1 舍去 an 4 2 n 1 2 n 1 2 bn log2 an log2 2 n 1 n 1 当n 1时 tn 当n 2时 则tn 综上可知tn 对任意n n 恒成立 数列的实际应用 方法点睛 1 解答数列应用题的步骤具体解题步骤用框图表示如下 实际应用题 构建数列模型 与数列有关的数学问题 数学问题的解 2 数列应用题常见模型 1 等差模型 如果增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 2 等比模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个固定的数就是公比 3 递推数列模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定 随项的变化而变化时 应考虑是an与an 1的递推关系 还是前n项和sn与前n 1项和sn 1之间的递推关系 提醒 求解数列应用题时 首先要确定问题属于哪一种类型 是等差数列 还是等比数列 还是一般数列问题 其次 确定是求通项问题 求项数问题 还是求和问题 第三 题中有哪些量 哪些是已知量 哪些是未知量 这些量之间的关系是什么 例2 从经济效益出发 某地投入资金进行生态环境建设 并以此发展旅游产业 根据规划 本年度投入800万元 以后每年投入将比上年减少 本年度当地旅游业估计收入400万元 由于该项建设对旅游业的促进作用 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 1 设n年内 本年度为第一年 总投入为an万元 旅游业总收入为bn万元 写出表达式 2 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入 解题指南 解决本题 1 的关键是正确理解题意 根据题意找出第一年投入的金额和旅游业的收入 第二年投入的金额和旅游业的收入 从而根据等比数列写出表达式 在解决第 2 问时 首先列出不等关系式 然后利用换元法求解 规范解答 1 第一年投入为800万元 第二年投入为万元 第n年的投入为万元 所以 n年内的总投入为 an 800 4000 第一年旅游业收入为400万元 第二年旅游业收入为万元 第n年旅游业收入为万元 所以 n年内的旅游业总收入为bn 400 2 设经过n年旅游业的总收入超过总投入 由此bn an 0 即化简得设 x 代入上式 得5x2 7x 2 0 解此不等式 得x 或x 1 舍去 即由此得n 5 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入 反思 感悟 1 数列实际应用题的解题策略解等差 等比数列应用题时 首先要认真审题 深刻理解问题的实际背景 理清蕴含在语言中的数学关系 把应用问题抽象为数学中的等差 等比数列问题 使关系明朗化 标准化 然后用等差 等比数列知识求解 这其中体现了把实际问题数学化的能力 也就是所谓的数学建模能力 2 解答本题时 理解题意是关键 其中an bn是等比数列的前n项和 而非第n项 3 此类问题往往从应用题给出的初始条件入手 推出若干项 逐步探索数列通项或前n项和或前后两项的递推关系 从而建立数列模型 4 与等比数列联系较大的是 增长率 递减率 的概念 在经济上多涉及利润 成本 效益的增减问题 在人口数量的研究中也要研究增长率问题 金融问题更多涉及复利的问题 这都与等比数列有关 变式训练 流行性感冒 简称流感 是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病 某市去年11月份曾发生流感 据资料统计 11月1日 该市新的流感病毒感染者有20人 此后 每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人 由于该市医疗部门采取措施 使该种病毒的传播得到控制 从某天起 每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人 到11月30日止 该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8670人 问11月几日 该市感染此病毒的新患者人数最多 并求出这一天的新患者人数 解析 设从11月1日起第n n n 1 n 30 日感染此病毒的新患者人数最多 则从11月1日至第n日止 每日新患者人数依次构成一个等差数列 这个等差数列的首项为20 公差为50 前n日的患者总人数即该数列的前n项之和sn 50 25n2 5n 从第n 1日开始 至11月30日止 每日的新患者人数依次构成另一等差数列 这个等差数列的首项为 20 n 1 50 30 50n 60 公差为 30 项数为 30 n 30 n 日的患者总人数为 30 n 65n 495 65n2 2445n 14850 依题意 得sn t30 n 8670 即 25n2 5n 65n2 2445n 14850 8670 化简得n2 61n 588 0 解得n 12或n 49 1 n 30 n 12 第12日的新患者人数为20 12 1 50 570 11月12日 该市感染此病毒的新患者人数最多 且这一天的新患者人数为570人 变式备选 气象学院用3 2万元买了一台天文观测仪 已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用 第n天的维修保养费为元 n n 使用它直至报废最合算 所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少 为止 一共使用了 a 600天 b 800天 c 1000天 d 1200天 解析 选b 由第n天的维修保养费为元 n n 可以得出观测仪的整个耗资费用 由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值 设一共使用了n天 则使用n天的平均耗资为当且仅当时 取得最小值 此时n 800 数列与函数 不等式的综合应用 方法点睛 1 数列与函数的综合问题 1 已知函数条件 解决数列问题 一般是利用函数的性质 图象研究数列问题 2 已知数列条件 解决函数问题 一般要充分利用数列的范围 公式 求和方法对式子化简变形 2 数列与不等式的综合问题 1 以数列为背景的不等式恒成立问题 多与数列求和相联系 最后利用函数的单调性求解 2 以数列为背景的不等式证明问题 多与数列求和有关 有时利用放缩法证明 例3 已知函数f x 数列 an 满足a1 1 an 1 n n 1 求数列 an 的通项公式 2 令tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1 求tn 3 令bn n 2 b1 3 sn b1 b2 bn 若sn 对一切n n 成立 求最小正整数m 解题指南 1 可由已知得an 1与an的关系 从而判断出数列的类型 2 利用等差数列的性质及裂项相消法去求解第 2 3 问 规范解答 1 an 1 an 是以为公差的等差数列 又a1 1 an 2 tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1 a2 a1 a3 a4 a3 a5 a2n a2n 1 a2n 1 3 当n 2时 又b1 3 sn b1 b2 bn 对一切n n 成立 递增 且 即m 2012 最小正整数m 2012 反思 感悟 1 在求最小正整数m的值时 把问题转化为不等式恒成立问题 而sn最值的求法使用了数列的单调性 2 数列是特殊的函数 以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点 该类综合题的知识综合性强 能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力 因而一直成为高考命题者的首选 变式训练 已知数列 an bn 其中a1 数列 an 的前n项和sn n2an n n 数列 bn 满足b1 2 bn 1 2bn 1 求数列 an bn 的通项公式 2 是否存在自然数m 使得对于任意n n n 2 有恒成立 若存在 求出m的最小值 解析 1 因为sn n2an n n 当n 2时 sn 1 n 1 2an 1 所以an sn sn 1 n2an n 1 2an 1 所以 n 1 an n 1 an 1 即 又a1 所以当n 1时 上式也成立 故an 因为b1 2 bn 1 2bn 所以 bn 是首项为2 公比为2的等比数列 故bn 2n 2 由 1 知 bn 2n 则 假设存在自然数m 使得对于任意n n n 2 有恒成立 即恒成立 由解得m 16 所以存在自然数m 使得对于任意n n n 2 有恒成立 此时m的最小值为16 创新探究 数列与函数的综合应用解答题的规范解答 典例 12分 2011 陕西高考 如图 从点p1 0 0 作x轴的垂线交曲线y ex于点q1 0 1 曲线在q1点处的切线与x轴交于点p2 再从p2作x轴的垂线交曲线于点q2 依次重复上述过程得到一系列点 p1 q1 p2 q2 pn qn 记pk点的坐标为 xk 0 k 1 2 n 1 试求xk与xk 1的关系 k 2 n 2 求 p1q1 p2q2 p3q3 pnqn 解题指南 1 求出曲线y ex在点qk 1 xk 1 处的切线方程 令y 0可得xk与xk 1的关系 2 把线段长转化为点的纵坐标 利用等比数列求和公式求解 规范解答 1 设点pk 1的坐标是 xk 1 0 y ex y ex 3分 qk 1 xk 1 在点qk 1 xk 1 处的切线方程是y x xk 1 令y 0 则xk xk 1 1 k 2 n 6分 2 x1 0 xk xk 1 1 xk k 1 pkqk e k 1 9分于是有 p1q1 p2q2 p3q3 pnqn 1 e 1 e 2 e n 1 即 p1q1 p2q2 p3q3 pnqn 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 防城港模拟 已知数列 an 的前n项和为sn 过点p n sn 和q n 1 sn 1 n n 的直线的斜率为3n 2 则a2 a