高中数学 第二章 2.2.2 事件的相互独立性课件 新人教A版选修23.ppt

2 2 2事件的相互独立性 事件的相互独立性1 定义 设a b为两个事件 如果p ab 则称事件a与事件b相互独立 2 性质 a与b是相互独立事件 则也相互独立 p a p b 判断 正确的打 错误的打 1 不可能事件与任何一个事件相互独立 2 必然事件与任何一个事件相互独立 3 如果事件a与事件b相互独立 则p b a p b 4 p ab p a p b 是 事件a b相互独立 的充要条件 提示 1 正确 不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响 2 正确 必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响 3 正确 如果事件a与事件b相互独立 则p b a p b 4 正确 如果事件a与事件b相互独立 则有p b a p b 又从而p ab p a p b a p a p b 即p ab p a p b 是事件a b相互独立的充要条件 答案 1 2 3 4 知识点拨 1 对事件相互独立性的理解 1 前提 在应用公式p ab p a p b 时 一定要注意公式成立的条件 即各事件必须相互独立 2 推广 一般地 如果事件a1 a2 an相互独立 那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积 即p a1a2 an p a1 p a2 p an 2 相互独立事件与互斥事件的区别 类型一相互独立性的判断 典型例题 1 下列事件中 a b是相互独立事件的是 a 一枚硬币掷两次 a 第一次为正面 b 第二次为反面 b 袋中有2白 2黑的小球 不放回地摸两球 a 第一次摸到白球 b 第二次摸到白球 c 掷一枚骰子 a 出现点数为奇数 b 出现点数为偶数 d a 人能活到20岁 b 人能活到50岁 2 分别掷两枚质地均匀的骰子 设a 第一枚朝上点数为1 b 第二枚朝上点数为1 c 两枚朝上点数相同 指出a b c中相互独立的事件 解题探究 1 判断两个事件是否相互独立的依据是什么 2 判断两个事件是否相互独立最常用的方法是什么 探究提示 1 两个事件相互独立的定义 2 判断两个事件是否相互独立的最常用的方法是利用p ab p a p b 若相等 则两个事件相互独立 若不相等 则这两个事件不相互独立 解析 1 选a 把一枚硬币掷两次 对于每次而言是相互独立的 其结果不受先后影响 故a是独立事件 b中是不放回地摸球 显然a事件与b事件不相互独立 对于c a b应为互斥事件 不相互独立 d是条件概率 事件b受事件a的影响 2 掷两枚骰子 基本事件总数为36个 a发生与否不影响b的发生及概率大小 a的基本事件个数为6 b的基本事件个数为6 则ab的基本事件个数为1 即 1 1 因为所以p ab p a p b 所以a b相互独立 c的基本事件个数为6 ac即为 1 1 bc即为 1 1 所以所以p ac p a p c p bc p b p c 所以a与c b与c也相互独立 拓展提升 判断两个事件是否相互独立的方法 1 直接法 由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响 2 定义法 如果事件a b同时发生的概率等于事件a发生的概率与事件b发生的概率的积 则事件a b为相互独立事件 3 条件概率法 当p a 0时 可用p b a p b 判断 变式训练 掷3枚质地均匀的硬币 设a表示事件第一枚正面朝上 事件b表示3枚结果相同 试判定a与b独立吗 解析 掷3枚硬币 基本事件总数为8 事件a的基本事件个数为4 所以b的基本事件个数为2 所以ab基本事件为 正 正 正 所以而所以a b相互独立 类型二相互独立事件同时发生的概率 典型例题 1 同时转动如图所示的两个转盘 记转盘甲得到的数为x 转盘乙得到的数为y 构成数对 x y 则所有数对 x y 中满足xy 4的概率为 2 甲 乙两人独立地破译密码的概率分别为求 1 两个人都译出密码的概率 2 两个人都译不出密码的概率 3 恰有一人译出密码的概率 4 至多一人译出密码的概率 5 至少一人译出密码的概率 解题探究 1 题1中满足xy 4的事件有几个 2 利用事件之间的关系求概率的关键是什么 探究提示 1 题1中满足xy 4的事件有3个 分别为 1 4 2 2 4 1 2 利用事件之间的关系求概率的关键是要弄清 发生 还是 不发生 发生几个 还要明确事件之间的关系 是彼此互斥 还是相互独立 合理运用概率的加法公式和乘法公式求解 解析 1 选c 满足xy 4的所有可能如下 x 1 y 4 x 2 y 2 x 4 y 1 所以 所求事件的概率p p x 1 y 4 p x 2 y 2 p x 4 y 1 2 记a为 甲独立地译出密码 b为 乙独立地译出密码 1 两个人都译出密码的概率为 2 两个人都译不出密码的概率为 3 恰有一人译出密码分为两类 甲译出乙译不出 乙译出甲译不出 即所以 4 至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码 所以 5 至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码 所以 拓展提升 与相互独立事件有关的概率问题求解策略明确事件中的 至少有一个发生 至多有一个发生 恰好有一个发生 都发生 都不发生 不都发生 等词语的意义 一般地 已知两个事件a b 它们的概率分别为p a p b 那么 1 a b中至少有一个发生为事件a b 2 a b都发生为事件ab 3 a b都不发生为事件 4 a b恰有一个发生为事件 5 a b中至多有一个发生为事件 它们之间的概率关系如表所示 变式训练 2013 沈阳高二检测 某售货员负责在甲 乙 丙三个柜台上售货 如果在某一小时内各柜台需要售货员照顾的概率分别为0 9 0 8 0 7 假定各个柜台是否需要照顾相互之间没有影响 求这个小时内 1 只有丙柜台需要售货员照顾的概率 2 三个柜台至少有一个需要售货员照顾的概率 3 三个柜台至多有一个需要售货员照顾的概率 解析 1 只有丙柜台需要售货员照顾的概率p 1 0 9 1 0 8 0 7 0 014 2 三个柜台至少有一个需要售货员照顾的概率p 1 1 0 9 1 0 8 1 0 7 1 0 006 0 994 3 三个柜台至多有一个需要售货员照顾的概率p 1 0 9 1 0 8 1 0 7 0 9 1 0 8 1 0 7 0 8 1 0 9 1 0 7 0 7 1 0 9 1 0 8 0 006 0 054 0 024 0 014 0 098 类型三多个事件的相互独立性 典型例题 1 加工某一零件经过三道工序 设第一 二 三道工序的次品率分别为且各道工序互不影响 则加工出来的零件的次品率为 2 已知a b c三个事件独立 若事件a发生的概率为事件b发生的概率为事件c发生的概率为求以下发生的概率 1 事件a b c都发生的概率 2 事件a b c都不发生的概率 3 事件a b c不都发生的概率 4 事件a b c至少有一个发生的概率 5 事件a b c恰有一个发生的概率 解题探究 1 多个事件相互独立的概率公式是什么 2 对于多个较复杂的事件 解题关键是什么 探究提示 1 利用 如果事件a1 a2 an相互独立 则p a1a2 an p a1 p a2 p an 来求 2 可先恰当地分类 互斥事件 在每类中 用独立事件计算 解析 1 因为第一 二 三道工序的次品率分别为所以第一 二 三道工序的正品率分别为所以加工出来的零件的次品率为答案 2 1 记事件a1为 事件a b c都发生 因为a b c是三个独立事件 所以 2 记事件a2为 事件a b c都不发生 因为a b c是三个独立事件 故也相互独立 所以 3 记事件a3为 事件a b c不都发生 则从而 4 记事件a4为 事件a b c至少有一个发生 则从而 5 记事件a5为 事件a b c恰有一个发生 则有三种情况 第一种 事件a发生 事件b c不发生 即第二种 事件b发生 事件a c不发生 即第三种 事件c发生 事件a b不发生 即而这三种情况不可能同时发生 即彼此互斥 所以 拓展提升 应用相互独立事件的概率公式求概率的步骤 1 确定诸事件是相互独立的 2 确定诸事件是否会同时发生 3 先求出每个事件发生的概率 再求其积或和 变式训练 在一个选拔项目中 每个选手都需要进行4轮考核 每轮设有一个问题 能正确回答者进入下一轮考核 否则被淘汰 已知某选手能正确回答第一 二 三 四轮问题的概率分别为且各轮问题能否正确回答互不影响 1 求该选手进入第三轮才被淘汰的概率 2 求该选手至多进入第三轮考核的概率 3 该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为x 求随机变量x的分布列 解析 设事件ai i 1 2 3 4 表示 该选手能正确回答第i轮问题 由已知 1 设事件b表示 该选手进入第三轮被淘汰 则 2 设事件c表示 该选手至多进入第三轮考核 则 3 x的可能取值为1 2 3 4 所以 x的分布列为 相互独立事件概率的实际应用1 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关 只要其中有1个开关能够闭合 线路就能正常工作 假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0 7 则在这段时间内线路正常工作的概率是 2 在一袋中装有2只红球和8只白球 每次从袋中任取一球 取后放回 直到取得红球为止 求取球次数x的分布列 解析 1 由题意 分别记这段时间内开关ja jb jc能够闭合为事件a b c 这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响 根据相互独立事件的概率乘法公式 这段时间内3个开关都不能闭合的概率是 1 p a 1 p b 1 p c 1 0 7 1 0 7 1 0 7 0 027 所以这段时间内至少有1个开关能够闭合 从而使线路能正常工作的概率是答案 0 973 2 x的所有可能取值为1 2 i 令ai表示 第i次取得红球 则由于各次取球相互独立 且取到红球的概率为p 0 2 于是得 0 8 0 8 0 8 0 2 0 2 0 8i 1 所以其分布列为 拓展提升 系统可靠性问题的求解策略由于该类问题常常与物理知识相联系 在考查知识纵向联系的同时 重点考查事件独立性的综合应用 求解时可先从系统的构造出发 分析所给的系统是单纯的串 并 联还是串并联混合体结构 1 直接法 把所求的事件分成若干个互斥事件之和 根据互斥事件的概率公式求解 2 间接法 当所涉及的事件较多 而其对立事件所涉及的事件较少时 可根据对立事件的概率公式求解 易错误区 对事件类型判断不明导致错误 典例 甲 乙两人参加环保知识竞赛 在10道备选试题中 甲能答对其中的6道题 乙能答对其中的8道题 现规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试 至少答对2题为合格 则甲 乙两人至少有一人考试合格的概率为 解析 设甲 乙两人考试合格的事件分别为a b 事件a b相互独立 所以甲 乙两人考试均不合格的概率为故甲 乙两人至少有一人考试合格的概率答案 误区警示 防范措施 1 注意事件类型的甄别在解决概率相关问题时 要理清事件间的关系 强化事件概型及关系的判断 明确事件是互斥事件还是独立事件 然后合理选择公式 如本例中的事件a b是相互独立的 所以选择独立事件的概率公式 2 明确求解问题的思路一是直接法 即求解时先把待求事件分解成彼此互斥的事件的和事件 在此基础上求相应事件的概率 二是间接法 利用对立事件的知识求解 采用的是 正难则反 的解题原则 如本例中求 至少一人 的问题 采用其对立事件求解更加方便 类题试解 2013 福州高二检测 甲 乙两人独立解某一道数学题 已知该题被甲独立解出的概率为0 6 被甲 乙同时解出的概率为0 48 则该题被解出的概率为 a 0 92b 0 08c 0 14d 0 8 解析 选a 令事件a b分别表示甲 乙两人分别独立解出某一道数学题 由题意可知p a 0 6 p ab 0 48 又a b相互独立 故p ab p a p b 所以p b 0 8 从而该题被解出的概率p p a p b p ab 0 8 0 6 0 48 0 92 1 若事件a b相互独立 且则p ab 解析 选c 因为事件a b相互独立 故 2 甲 乙两人投球命中率分别为甲 乙两人各投一次 恰好命中一次的概率为 解析 选a 3 国庆节放假 甲去北京旅游的概率为乙 丙去北京旅游的概率分别为假定三人的行动相互之间没有影响 那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 解析 选b 因为甲 乙 丙去北京旅游的概率分别为因此 他们不去北京旅游的概率分别为所以 至少有1人去北京旅游的概率为 4 两人射击命中目标的概率分别为现两人同时射击目标 则目标被命中的概率为 解析 目标被命中的概率答案 5 有一批书共100本 其中文科书40本 理科书60本 按包装可分精装 平装两种 精装书70本 某人从这100本书中任取一书 恰是文科书 放回后再任取1本 恰是精装书 则这一事件的概率是 解析 设 任取一书是文科书 为事件a 任取一书是精装书 为事件b 则a b是相互独立的事件 所求概率为p ab 据题意可