高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.3 直线与圆的位置关系课件 新人教B版必修2.ppt

2 3 3直线与圆的位置关系 1 明确直线与圆的三种位置关系 2 根据给定的直线 圆的方程 会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系 3 能根据直线与圆的位置关系 解决有关切线 弦长等问题 归纳总结代数法和几何法研究直线与圆的位置关系各有特点 几何法 更多地侧重于 形 更多地结合了图形的几何性质 代数法 则侧重于 数 它倾向于 坐标 与 方程 做一做1 直线4x 3y 40 0与圆x2 y2 64的位置关系是 a 外离b 相切c 相交d 相切或外离答案 b 答案 d 做一做3 过点a 4 1 的圆c与直线x y 1 0相切于点b 2 1 则圆c的方程为 答案 x 3 2 y2 2 1 2 1 过点 x0 y0 的切线方程的求法剖析 1 当点 x0 y0 在圆x2 y2 r2上时 切线方程为x0 x y0y r2 2 当点 x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2上时 切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 3 点 x0 y0 在圆外 假设切线的斜率存在 则可设切线方程为y y0 k x x0 变成一般式kx y y0 kx0 0 因为与圆相切 所以可利用圆心到直线的距离等于半径 解出k 注意若此方程只有一个实根 则还有一条斜率不存在的直线也是切线 不能忽略 1 2 2 直线与圆相交时弦长的求法 1 2 另外 还可以从方程的角度用两点间距离公式去计算 当直线ab的斜率存在时 这时结合根与系数的关系 进行整体代换即可求得 即将直线ab y kx m代入 x x1 2 y y1 2 r2 消去y得关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 设直线与圆的交点a x2 y2 b x3 y3 则x2 x3是上述方程的两个根 由根与系数的关系 得 1 2 当直线ab的斜率不存在时 将直线ab x n代入 x x1 2 y y1 2 r2 解得a b的纵坐标ya yb 则 ab ya yb 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例1 求当 为何值时 直线 x y 1 0与圆x2 y2 4x 2y 1 0相交 相切 相离 分析 可根据直线与圆的方程构成的方程组的解的情况 或圆心到直线的距离与圆半径之间的关系 列条件求解 的值或 的取值范围 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思判断直线与圆的位置关系可以从代数法和几何法两种角度入手 但用几何法解决更简便 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练1 判断下列圆与直线的位置关系 1 圆x2 y2 8x 2y 8 0 直线4x 3y 6 0 2 圆x2 y2 4x 3 0 直线2x y 5 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例2 已知圆c的方程为 x 3 2 y 1 2 1 试分别求经过下列各点的圆c的切线方程 分析 1 可判断点a在圆上 故可用直接法求切线方程 2 点p在圆外 可用待定系数法求切线方程 3 点b也在圆外 可用待定系数法求切线方程 但应注意切线斜率不存在的情况 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思由于过圆外一点可以作圆的两条切线 因此在求圆的切线方程时 如果点在圆外 设切线方程为点斜式时却只得到一条切线方程 则另一条切线的斜率不存在 应单独讨论 如本例中的 3 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练2 1 已知圆c x 1 2 y 2 2 2 求过点p 2 3 的圆的切线方程 2 过点a 1 4 作圆 x 2 2 y 3 2 1的切线l 求切线l的方程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例3 求直线y x被圆 x 2 2 y 4 2 10所截得的弦长 分析 求直线被圆所截得的弦长的方法 一是利用弦心距 半径和半弦所构成的直角三角形 二是用弦长公式 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 方法二 联立方程y x与 x 2 2 y 4 2 10 得2x2 12x 10 0 设两个交点坐标为a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2是方程 的两根 于是由根与系数的关系 得x1 x2 6 x1 x2 5 反思求直线被圆所截得的弦长问题多利用半弦 半径 圆心到直线的垂线段构成的直角三角形来处理 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例4 已知o为坐标原点 o1 x2 y2 x 6y c 0与直线x 2y 3 0的两个交点分别为p q 那么当c取何值时 op oq 分析 利用代数方法 即联立直线与圆的方程 利用根与系数的关系对op oq进行转化 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思当圆中的几何特征不明显时 往往采用代数法 即联立方程的思想 体现了解析几何的本质特征 这也是解决解析几何的重要方法 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练4 设点o为坐标原点 曲线x2 y2 2x 6y 1 0上的p q两点关于直线x my 4 0对称 且op oq 1 求m的值 2 求直线pq的方程 解 1 曲线方程为 x 1 2 y 3 2 9 其表示圆心为 1 3 半径为3的圆 点p q在圆上且关于直线x my 4 0对称 直线x my 4 0过圆心 1 3 代入直线方程得m 1 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例5 求圆 x 3 2 y 3 2 9上到直线l 3x 4y 11 0的距离为1的点有几个 分析 此题应从圆心到直线l的距离与圆的半径3之间的关系入手分析求解 解 方法一 圆 x 3 2 y 3 2 9的圆心o1 3 3 半径r 3 设圆心o1到直线3x 4y 11 0的距离为d 如图 在圆心o1同侧 与直线3x 4y 11 0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点 这两个交点符合题意 又r d 3 2 1 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 与直线3x 4y 11 0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意 符合题意的点共有3个 方法二 符合题意的点是平行于直线3x 4y 11 0 且与之距离为1的直线和圆的交点 设所求直线方程为3x 4y m 0 则 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思解决有关直线与圆的问题要有作图意识 准确作图能帮助我们更快更准地分析题意 另外 要善于挖掘题目的切入点 找出临界位置是关键 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解 因为圆心到直线的距离为d 2 半径为3 所以圆上各点到直线距离的最大值是5 故圆上各点到直线距离等于3的点有2个 故圆上各点到直线距离等于5的点有1个 故圆上各点到直线距离等于7的点有0个 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 易错点 忽视讨论直线的斜率不存在的直线致错 例6 若直线l过点p 2 3 且与圆 x 1 2 y 2 2 1相切 求直线l的方程 错解 设直线l y 3 k x 2 即kx y 3 2k 0 因为直线l与圆 x 1 2 y 2 2 1相切 错因分析 忘记讨论直线的斜率不存在时的情况 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 1 2 3 4 5 1 直线x y 5和圆o x2 y2 4y 0的位置关系是 a 相离b 相切c 相交但直线不过圆心d 相交且直线过圆心 答案 a 1 2 3 4 5 答案 b 1 2 3 4 5 3 已知直线l ax y b 0 圆c x2 y2 2ax 2by 0 则l与c在同一平面直角