广东省河源市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年广东省河源市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， A=1， 3， 5， 7， B=2， 4， 5则 U（ A B）（ ） A 6， 8 B 5， 7 C 4， 6， 7 D 1， 3， 5， 6， 8 2函数 f（ x） = + 的定义域是 （ ） A 1， +） B 2， +） C 1， 2 D（ 1， 2） 3化简 值是（ ） A D 4下列函数中，在区间（ ， 0）上为减函数的是（ ） A f（ x） =2x B f（ x） =|x 1| C f（ x） = f（ x） =x+ 5已知函数 f（ x）是奇 函数，且当 x 0 时， f（ x） =，则 f（ 1） =（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 6幂函数 f（ x） =2， 4），那么函数 f（ x）的单调递增区间是（ ） A（ 2， +） B 1， +） C 0， +） D（ ， 2） 7设 f（ x） =2，则函数 f（ x）的零点位于区间（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 0） C（ 1， 2） D（ 2， 3） 8已知角 的终边经过点（ 3a， 4a）（ a 0）， 则 ） A B C D 9若 （ 0， ），且 ，则 ） A B C D 10将函数 的图象向左平移 m（ m 0）个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ） A B C D 第 2 页（共 15 页） 11设 ， ） A 3： 1 B 4： 1 C 5： 1 D 6： 1 12已知函数 f（ x） =| | +则一定在函数 y=f（ x）图象上的点事（ ） A（ x， f（ x） B（ x， f（ x） C（ x， f（ x） D （ x， f（ x） 二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分 .、共 20分 . 13函数 y=2x ）的单调递增区间是 14已知 | |=1， =（ 1， ），（ ） ，则向量 a 与向量 的夹角为 15已知 ，则 f（ f（ 3）的值为 16已知函数 f（ x） = m|x|有三个零点，则实数 m 的取值范围为 三、解答题：本大题共 6小题， 共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知集合 A=x|a 1 x 2a+1， B=x|0 x 1 （ 1）若 a= ，求 AB （ 2）若 AB=，求实数 a 的取值范围 18已知 | |=4， | |=2，且 与 夹 角为 120求： （ 1）（ 2 ） （ + ）； （ 2） 与 + 的夹角 19已知 ， 为第三象限角 （ 1）求 （ 2）求 + ）， 20已知函数 f（ x） =2x ） （ ）求 f（ x）的最小正周期； （ ）设 （ 0， ），且 f（ + ） = ，求 + ） 第 3 页（共 15 页） 21已知幂函数 f（ x） =（ 2m2+m+2） 为偶函数 （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）若函数 y=f（ x） 2（ a 1） x+1 在区间（ 2， 3）上为单调函数，求实数 a 的取值范围 22已知函数 f（ x） =|x|+ 1（ x0） （ 1）当 m=2 时，判断 f（ x）在（ ， 0）的单调性，并用定义证明 （ 2）若对任意 xR，不等式 f（ 2x） 0 恒成立，求 m 的取值范围； （ 3）讨论 f（ x）零点的个数 第 4 页（共 15 页） 2015年广东省河源市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1已知 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， A=1， 3， 5， 7， B=2， 4， 5则 U（ A B）（ ） A 6， 8 B 5， 7 C 4， 6， 7 D 1， 3， 5， 6， 8 【考点】 补集及其运算；并集及其运算 【专题】 计算题 【分析】 由已知中 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， A=1， 3， 5， 7， B=2， 4， 5，我们根据集合并集的运算法则求出 A B，再利用集合补集的运算法则即可得到答案 【解答】 解： U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， A=1， 3， 5， 7， B=2， 4， 5 A B=1， 2， 3， 4， 5， 7， A B） =6， 8 故选 A 【点评】 本题考查的知识点是集合补集及其运算，集合 并集及其运算，属于简单题型，处理时要 “求稳不求快 ” 2函数 f（ x） = + 的定义域是（ ） A 1， +） B 2， +） C 1， 2 D（ 1， 2） 【考点】 函数的定义域及其求法 【专题】 计算题 【分析】 直接由根式内部的代数式大于等于 0 联立不等式组得答案 【解答】 解：由 ，解得： 1x2 原函数的定义域为： 1， 2 故选： C 【点评】 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题 3化简 值是（ ） A D 【考点】 诱导公式的作用 【专题】 计算题；三角函数的求值 【分析】 利用诱导公式可求得 值 【解答】 解： 故选 D 【点评】 本题考查诱导公式 2） =+） = 于基础题 4下列函数中，在区间（ ， 0）上为减函数的是（ ） 第 5 页（共 15 页） A f（ x） =2x B f（ x） =|x 1| C f（ x） = f（ x） =x+ 【考点】 余弦函数的单调性 【专题】 数形结合；函数的性质及应用 【分析】 由指数函数的单调性判断 A； 作出函数的图象判断 B、 D； 由余弦函数的单调性判断 C 【解答 】 解： f（ x） =2 选项 A 不正确； f（ x） =|x 1|的图象如图所示， 由图可知， f（ x） =|x 1|在区间（ ， 0）上为减函数 选项 B 正确； f（ x） = ， 0上为增函数， 选项 C 不正确； f（ x） =x+ 的图象如图所示， 选项 D 不正确 故选： B 【点评】 本题考查基本初等函数的图象和 性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 5已知函数 f（ x）是奇函数，且当 x 0 时， f（ x） =，则 f（ 1） =（ ） A 2 B 0 C 1 D 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 函数的性质及应用 第 6 页（共 15 页） 【分析】 由奇函数定义得， f（ 1） = f（ 1），根据 x 0 的解析式，求出 f（ 1），从而得到f（ 1） 【解答】 解： f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ x） = f（ x）， f（ 1） = f（ 1）， 又当 x 0 时， f（ x） =， f（ 1） =12+1=2， f（ 1） = 2， 故选： A 【点评】 本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题 6幂函数 f（ x） =2， 4），那么函数 f（ x）的单调递增区间是（ ） A（ 2， +） B 1， +） C 0， +） D（ ， 2） 【考点】 幂函数的性质 【专题】 计算题 【分析】 利用点在幂函数的图象上，求出 的值，然 后求出幂函数的单调增区间 【解答】 解：幂函数 f（ x） =2， 4）， 所以 4=2，即 =2，所以幂函数为 f（ x） =0， +） 故选 C 【点评】 本题考查求幂函数的解析式，幂函数的单调性，是基础题 7设 f（ x） =2，则函数 f（ x）的零点位于区间（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 0） C（ 1， 2） D（ 2， 3） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由函数的解析式可得 f（ 0） 0， f（ 1） 0，根据函数零点的判定定理可 得，可得函数 f（ x）的零点 所在的区间 【解答】 解： f（ x） =2，可得 f（ 0） = 1 0， f（ 1） =e 2 0， 根据函数零点的判定定理可得，函数 f（ x）的零点位于区间（ 0， 1）上， 故选 A 【点评】 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题 8已知角 的终边经过点（ 3a， 4a）（ a 0），则 ） A B C D 【考点】 任意角的三角函数的定义 【专题】 计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 根据题意可得 r= 5a，再求得 得 值 【解答】 解： 角 的终边经过点（ 3a， 4a）（ a 0），则 r= 5a， = ， = ， ， 第 7 页（共 15 页） 故选： A 【点评】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，注意 a 的符号，属于中档题 9若 （ 0， ），且 ，则 ） A B C D 【考点】 三角函数的恒等变换及化简求值 【专题】 计算题 【分析】 通过对表达式平方，求出 后利用二倍角公式求出 到选项 【解答】 解：（ 2= ，而 0， 0 ， = = ， 故选 A 【点评】 本题是基础题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，本题的解答策略比较多，注意角的范围，三角函数的符号的确定是解题的关键 10将函数 的图象向左平移 m（ m 0）个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数；函数 y=x+）的图象变换 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 函数解析式提取 2 变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于 y 轴对称，即可求出 m 的最小值 【解答】 解： y= （ =2x+ ）， 图象向左平移 m（ m 0）个单位长度得到 y=2 x+m） + =2x+m+ ）， 所得的图象关于 y 轴对称， m+ =（ kZ）， 则 m 的最小值为 故选 B 【点评】 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数 y=x+）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键 11设 ， ） A 3： 1 B 4： 1 C 5： 1 D 6： 1 第 8 页（共 15 页） 【考点】 向量在几何中的应用 【专题】 计算题 【分析】 由题意，可作出示意图，令 D 是 中点，由 ，可得出 O 是 而得出 到 即可求出 【解答】 解：如图，令 D 是 中点，则有 又 ，即 C， O， D 三点共线，且 D O 到 距离是点 D 到 距离的 ， O 到 距离是点 B 到 距离的 ， 面积与 面积之比为 4 故选 B 【点评】 本题考查向量的线性运算及其几何意义，解题的关键是由所给的条件得出点 O 是上中线的中点，再由三角形底同时面积比即为高的比直接得出 答案 12已知函数 f（ x） =| | +则一定在函数 y=f（ x）图象上的点事（ ） A（ x， f（ x） B（ x， f（ x） C（ x， f（ x） D（ x， f（ x） 【考点】 正弦函数的奇偶性；函数奇偶性的性质；分段函数的应用 【专题】 计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 根据条件判断函数的奇偶性即可得到结论 【解答】 解： f（ x） =| | + f（ x） =| x） | | + x） |=| + | （ | |+ = f（ x）， 即函数 f（ x）是奇函数， 则（ x， f（ x）定在函数 y=f（ x）图象上， 故选： C 【点评】 本题主要考查函数奇偶性的性质，利用条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键 二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分 .、共 20分 . 第 9 页（共 15 页） 13函数 y=2x ）的单调递增区间是 ， ， kZ 【考点】 余弦函数的单调性 【专题】 计算题 【分析】 利用余弦函数的增区间是 2， 2 kz，列出不等式，求得自变量 x 的取值范围 【解答】 解：由题意，根据余弦函数的增区间是 2， 2 kz， 得： 22x 2 解得 x， 故答案为： ， ， kZ 【点评】 本题以余弦函数为载体，考查复合函数的单调性，关键是利用余弦函数的单调增区间，体现了换元法的应用 14已知 | |=1， =（ 1， ），（ ） ，则向量 a 与向量 的夹角为 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用 【分析】 求出 ，代入夹角 公式计算 【解答】 解： （ ） ， （ ） =0，即 = =1， | |= =2， = = = 故答案为 【点评 】 本题考查了平面向量的夹角计算，向量垂直与数量积的关系，属于基础题 15已知 ，则 f（ f（ 3）的值为 3 【考点】 函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法 【专题】 计算题 【分析】 先根据函数的解析式求出 f（ 3）的值，再把 f（ 3）看成自变量求出 f（ f（ 3） 【解答】 解： ， f（ 3） =9 6） =1， f（ f（ 3） =f（ 1） =3， 故答案为 3 第 10 页（共 15 页） 【点评】 本题考查求函数值的方法，关键是确定将自变量代入哪一个段得解析式进行运算 16已知函数 f（ x） = m|x|有三个零点，则实数 m 的取值范围为 m 1 【考点】 函数零点的判定定理；函数的图象 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 将求函数 f（ x）的零点问题转化为求两个函数的交点问题，画出函数的草图，求出即可 【解答】 解：函数 f（ x）有三个零点等价于 方程 =m|x|有且仅有三个实根 =m|x| =|x|（ x+2）， 作函数 y=|x|（ x+2）的图象，如图所示 ， ，由图象可知 m 应满足： 0 1， 故答案为： m 1 【点评】 本题考察了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知集合 A=x|a 1 x 2a+1， B=x|0 x 1 （ 1）若 a= ，求 AB （ 2）若 AB=，求实数 a 的取值范围 【考点】 集合关系中的参数取值问题；交集及其运算 【专题】 计算题；分类讨论 【分析】 （ 1）当 a= 时， A=x| ，可求 AB （ 2）若 AB=，则 A=时， A时，有 ，解不等式可求 a 的范围 【解答】 解：（ 1）当 a= 时， A=x| ， B=x|0 x 1 AB=x|0 x 1 第 11 页（共 15 页） （ 2）若 AB= 当 A=时，有 a 12a+1 a 2 当 A时，有 2 a 或 a2 综上可得， 或 a2 【点评】 本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由 AB=时，要考虑集合 A=的情况，体现了分类讨论思想的应用 18已知 | |=4， | |=2，且 与 夹角为 120求： （ 1）（ 2 ） （ + ）； （ 2） 与 + 的夹角 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 （ 1）先化简）（ 2 ） （ + ），再代入已知数据计算即可； （ 2）根据夹角公式，代入数据计算即可 【解答】 解： | |=4， | |=2，且 与 夹角为 120， ， ， =| | |42（ ） = 4， （ 1） ； （ 2） | + |2= =16+4 8=12， | + |=2 ， （ + ） = + =16 4=12， 设 与 的夹角为 ， ， 又 0180， 所以 =30， 与 的夹角为 30 【点评】 本题考查平面向量的数量积的运算，涉及模长公式和夹角公式，属基础题 19已知 ， 为第三象限角 （ 1）求 （ 2）求 + ）， 【考点】 二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用 第 12 页（共 15 页） 【专题】 三角函数的求值 【分析】 （ 1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得 而求得 （ 2）由（ 1）利用两角和的正弦 公式求得 + ）的值，再利用二倍角的正切公式求得 【解答】 解：（ 1） ， 为第三象限角， ， （ 2）由（ 1）得， 【点评】 本题主要考查同角三角函 数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于中档题 20已知函数 f（ x） =2x ） （ ）求 f（ x）的最小正周期； （ ）设 （ 0， ），且 f（ + ） = ，求 + ） 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 （ ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期公式求得函数的最小正周期 ）根据已知求得 而求得 后利用正切的两角和公式求得答案 【解答】 解：（ ） = = f（ x）的最小正周期为 （ ） ， 第 13 页（共 15 页） 由 可知， ， 【点评】 本题主要考查了两角和公式和二倍角公式的应用，三角函数图象与性质 要求学生对三角函数基础公式能熟练记忆 21已知幂函数 f（ x） =（ 2m2+m+2） 为偶函数 （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）若函数 y=f（ x） 2（ a 1） x+1 在区间（ 2， 3）上为单调函数，求实数 a 的取值范围 【考点】 函数奇偶性的性质；函数单调性的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 （ 1）根据幂函数的性质即可求 f（ x）的解析式； （ 2）根据函数 y=f（ x） 2（ a 1） x+1 在区间（ 2， 3）上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数 a 的取值范围 【解答】 解 ：（ 1）由 f（ x）为幂函数知 2m2+m+2=1， 即 2m 1=0， 得 m=1 或 m= ， 当 m=1 时， f（ x） =合题意； 当 m= 时， f（ x） = ，为非奇非偶函数，不合题意，舍去 f（ x） = （ 2）由（ 1）得 y=f（ x） 2（ a 1） x+1=2（ a 1） x+1， 即函数的对称轴为 x=a 1