2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（全国Ⅰ.理）含详解

第 1 页 共 11 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修 +选修） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 （非选择题）两部分第 I 卷 1 至 2 页，第 3 至 9 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 考生注意： 1答题前，考生在答题卡上务必用 米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2 每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24 如果事件 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 34 3VRn 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 ) ( 0 1 , 2 )k k n k C P P k n ， ， ， 一、选择题 1函数 ( 1 )y x x x 的定义域为（ ） A |0 B |1 C | 1 0 D | 0 1 2汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是（ ） 第 2 页 共 11 页 3在 中， ABc ， ACb 若点 D 满足 2C ，则 （ ） A 2133523321331233 aR ，且 2()a i i 为正实数，则 a （ ） A 2 B 1 C 0 D 1 5已知等差数列 ，3510，则它的前 10 项的和10S （ ） A 138 B 135 C 95 D 23 6若函 数 ( 1)y f x的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 () ） A 21 B 2 C 21 D 22 7设曲线 11xy x 在点 (32)， 处的切线与直线 10ax y 垂直，则 a （ ） A 2 B 12C 12D 2 8为得到函数 c o s 23的图像，只需将函数 的图像（ ） A向左平移 512个长度单位 B向右平移 512个长度单位 C向左平移 56个长度单位 D向右平移 56个长度单位 9设奇函数 ()0 )， 上为增函数，且 (1) 0f ，则不等式 ( ) ( ) 0f x f 的解集为（ ） A ( 1 0 ) (1 ) ， ， B ( 1) ( 0 1) ， ， C ( 1 ) (1 ) ， ， D ( 1 0) (0 1) ， ， 10若直线 1通 过点 (c o s s M ， ，则（ ） A 221 B 221 C22111 D22111 11已知三棱柱1 1 1A B C A B C的侧棱与底面边长都相等，1的射影为s t O A s t O s t O s t O B C D 第 3 页 共 11 页 的中心，则 1底面 成角的正弦值等于（ ） A 13B 23C 33D 2312如图，一环形花坛分成 A B C D， ， ， 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A 96 B 84 C 60 D 48 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修 选修 ） 第 卷 注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径 米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2第 卷共 7 页，请用直径 米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 3本卷共 10 小题，共 90 分 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 （注意： 在试题卷上作答无效 ） 13若 满足约束条件03003 ， 则 2z x y的最大值为 14已知抛物线 2 1y 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 15在 中， C ， 7若以 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率 e 16等边三角形 正方形 一公共边 二面角 C 的余弦值为33 ， 分别是 C， 的中点，则 N， 所成角的余弦值等于 D B C A 第 4 页 共 11 页 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 设 的内角 A B C， ， 所对的边长分别为 a b c， ， ，且 3c o s c o b A c （ ）求 （ ）求 )的最大值 18（本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 四棱锥 A 中，底面 矩形，侧面 底面 2， 2，C （ ）证明： E ； （ ）设 平面 成的角为 45 ，求二面角 C 的大小 19（本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 已知函数 32( ) 1f x x a x x ， aR （ ）讨论函数 () （ ）设函数 ()133，内是减函数，求 a 的取值范围 20（本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血 液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止 C D E A B 第 5 页 共 11 页 方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这 3只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验 （ ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （ ） 表示依方案乙所需化验次数，求 的期望 21 （本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为12经过右焦点 F 垂直于1 两 点已知 O A A B O B、 、 成等差数列，且 向 （ ）求双曲线的离心率； （ ）设 双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程 22 （本小题满分 12 分） （注意： 在试题卷上作答无效 ） 设函数 ( ) x x x x 数列 ，1 ()f a （ ）证明：函数 ()01)， 是增函数； （ ）证明：1 1； （ ）设1( 1)，整数11 证明： 1 第 6 页 共 11 页 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修 +选修）参考答案 1. C. 由 1 0 , 0 , 1, 0 ;x x x x x 得 或 2. A 根据汽车加速行驶 212s 匀速行驶 s ，减速行驶 212s 结合函数图像可知； 3. A. 由 2A D A B A C A D ， 3 2 2A D A B A C c b ， 1233A D c b； 4. D. 2 222 1 2 1 0 , 1a i i a a i i a a i a ； 5. C. 由2 4 3 5 1 1 0 14 , 1 0 4 , 3 , 1 0 4 5 9 5a a a a a d S a d ； 6. B. 由 2 1 2 1 2l n 1 , 1 ,yx xy x x e f x e f x e ； 由 321 2 2 11 , , | , 2 , 21 1 21 y y a x ； 55c o s 2 s i n 2 s i n 2 ,3 6 1 2y x x x 只需将函数 的图像向 左平移 512个单位得到函数 c o s 23的图像 . 奇函数 () ) ( ) 2 ( ) 0f x f x f ，而 (1) 0f ，则 ( 1) (1) 0 ，当 0x 时， ( ) 0 (1)f x f ；当 0x 时， ( ) 0 ( 1)f x f ，又 ()0 )， 上为增函数，则 奇函数 () ,0) 上为增函数， 0 1 , 1 0 或 . 题意知直线 1与圆 221有交点，则22221 1 1 111 1, . 另解：设向量 11( c o s , s i n ) , ( , )m = n =，由题意知 c o s s i n 1由 m n m n 可得22c o s s i n 11a b a b 1 题意知三棱锥1A 正四面体，设棱长为 a ， 则1 3AB a，棱柱的高 第 7 页 共 11 页 2 2 2 21 2 3 6()3 2 3A O a A O a a a （即点 1B 到底面 距离），故 1底面 成角的正弦值为 1123 另解：设1,C 一组基底，1,C 60 长度均为 a ，平面 法向量为11 1133O A A A A B A C ,11A B A B A A21 1 1 126, , 333O A A B a O A A B 则1成角的正弦值为 111123O A A A B . 两种花有 24三种花有 342四种花有 44共有2 3 44 4 42 8 4A A A . 另解：按 A B C D 顺序种花，可分 同色与不同色有 4 3 (1 3 2 2 ) 8 4 9如图，作出可行域， 作出直线0 : 2 0l x y，将0 处 时，函数 2z x y有最大值 9. 14. 答案： 1y 的焦点坐标为 1(0, 1)4a 为坐标原点得， 14a ，则 21 14 与坐标轴的交点为 ( 0 , 1 ) , ( 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) ，则以这三点围成的三角形的面积为 1 4 1 22 C， 7则 2 2 2 252 c o A B B C A B B C B 53， 5 8 2 32 1 , 2 1 ,3 3 2 8ca c e a . ，作 C O A B D E 面 ， B ，则 B ， 为二面角 C 的平面角 3 , c o s 1C H O H C H C H O ，结合等边三角形 与正方形 知此四棱锥为正四棱锥，则 3A N E M C H (3, 3)A 200 30 O 3x 13 题图 H o M B D E C N A 16 题图（ 1） 第 8 页 共 11 页 11( ) ,22A N A C A B E M A C A E , 11( ) ( )22A N E M A B A C A C A E 12 故 N， 所成角的余弦值 16A N E E M 另解：以 O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点 ( 1 , 1 , 0 ) , (1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 )A B E C , 1 1 2 1 1 2( , , ) , ( , , )2 2 2 2 2 2 , 则 3 1 2 1 3 2 1( , , ) , ( , , ) , , 32 2 2 2 2 2 2A N E M A N E M A N E M , 故 N， 所成角的余弦值 16A N E E M . ）在 中，由正弦定理及 3c o s c o b A c可得 3 3 3 3s i n c o s s i n c o s s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i 5 5A B B A C A B A B A B 即 s i n c o s 4 c o s s i A B ，则 ； （ ）由 得 ta n 4 ta n 0 2t a n t a n 3 t a n 3t a n ( ) 1 t a n t a n 1 4 t a n c o t 4 t a B B B B 34 当且仅当 14 t a n c o t , t a n , t a n 22B B B A 时，等号成立， 故当 1t a n 2 , t a 时， )的最大值为 34. 18解：（ 1）取 点 F ，连接 点 O ， C ， C ， 又面 面 面 E 2t a n t a n 2C E D F D C ， 90O E D O D E ， 90 ，即 F ， 面 D （ 2）在面 过 C 点作 垂线，垂足为 G D ， D ， 面 D， 则 即为所求二面角的平面角 z y H B D E C N A x 16 题图（ 2） F O G A C D E B 18 题图 第 9 页 共 11 页 233A C C D， 63， 22 303E G D E D G ， 6， 则 2 2 2 10c o s 2 1 0C G G E C E C G G E ， 10 a r c c o E ，即 二面角 C 的大小 10 a r c c o 19. 解：（ 1） 32( ) 1f x x a x x 求导： 2( ) 3 2 1f x x a x 当 2 3a 时， 0 ， ( ) 0 ， () 上递增 当 2 3a ， ( ) 0 求得两根为 2 33 即 () 33 ， 递增， 223333a a a a ， 递减， 2 33 ，递增 （ 2）2232333133 ，且 2 3a 解得： 74a20解： （ ） 解：设1A、2 次、 2 次。 1B、2 次、 3次； A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。 依题意知212A A A B1 2 14 4 21 2 21 2 3 15 5 5 31 1 1 2( ) , ( ) , ( )5 5 5A C P A P C C 1 2 2 1 2 2 1 1 2 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 2 5P A P A A B P A P A P B 8( ) 1 ( ) 0 . 7 225P A P A （） 的可能取值为 2， 3。 第 10 页 共 11 页 3244123 3 15 5 332( ) , ( )55 P C ； 1232( 2 ) ( ) , ( 3 ) ( )55P P B P P B 3 2 1 22 3 2 . 45 5 5E （次） 21. 解：（ ）设 OA m d， AB m ， OB m d 由勾股定理可得： 2 2 2( ) ( )m d m m d 得： 14 ta n ， 4t a n t a n 23 B A O F 由倍角公式 22 431，解得 12则离心率 52e （ ）过 F 直线方程为 ()ay x ,与双曲