2016年浙江省高考考前模拟文科数学试卷(5月份)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年浙江省高考数学考前模拟试卷（文科）（ 5 月份） 一、选择题（共 8小题，每小题 5分，满分 40分） 1已知全集 U=R，集合 P=x|2x0， Q=y|y=2x，则 PQ 为（ ） A 1， 2B 0， 2C 0， +） D 1， +） 2设 x 0，则 “a=1”是 “x+ 2 恒成立 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3为了得到函数的图象 y=3x+1），只需把函数 y=图象上所有的点（ ） A向左平移 1 个单位长度 B向右平移 1 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 4设 a、 b 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（ ） A若 a b， a ， b，则 b B若 a b， a ， b ，则 C若 a ， ，则 a 或 a D若 a ， ，则 a 5设 等比数列，下列结论中正确的是（ ） A若 a1+0，则 a2+0 B若 a1+0，则 a1+0 C若 0 2a1+ 0，则（ 0 6如图，正方体 ABCD中， M 为 的中点，点 P 在底面 ABCD和侧面 上运动并且使 那么点 P 的轨迹是（ ） A两段圆弧 B两段椭圆弧 C两段双曲线弧 D两 段抛物线弧 7如图，焦点在 x 轴上的椭圆 + =1（ a 0）的左、右焦点分别为 P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线 y 轴的正半轴交于 A 点， ，若 |4，则该椭圆的离心率为（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 8设函数 f（ x）与 g（ x）的定义域为 R，且 f（ x）单调递增， F（ x） =f（ x） +g（ x）， G（ x） =f（ x） g（ x）若对任意 （ x1不等式 f（ f（ 2 g（ g（ 2 恒成立则（ ） A F（ x）， G（ x）都是增函数 B F（ x）， G（ x）都是减函数 C F（ x）是增函数， G（ x）是减函数 D F（ x） 是减函数， G（ x）是增函数 二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分 9函数 f（ x） =2x+ ）的值域为 ，最小正周期为 ，单调递减区间是 10双曲线 916 144 的实轴长等于 ，其渐近线与圆 x2+2x+m=0相切，则 m= 11已知某几何体的三视图如图所示（单位： 则此几何体的体积为 ，表面积为 12已知函数 f（ x） = ，若 f（ +ff（ 9） = ；若 f（ f（ a） 1，则实数 a 的取值范围是 13已知实数 x， y 满足 x2+，则 |x+2y 2|+|6 2x 3y|的最大值是 14在 ， ， ， 0若点 O 在 角平分线上，满足 =m+n ， m， nR，且 n ，则 | |的取值范围是 15已知实数 a， b 满足： a ， bR，且 a+|b|1，则 +b 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5小题，共 74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16在 ，内角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c， （ ）求角 C 的大小； （ ）已知 是钝角三角形，且 c=2 ， B A） =2 面积 第 3 页（共 19 页） 17如图所示，在四棱柱 面 梯形， 面 （ ）求证： （ ）若 B=2 0，点 D 在平面 的射影恰为线段 中点，求平面 18对于任意的 nN*，数列 足 + + =n+1 （ ） 求数列 通项公式； （ ） 设数列 前 n 项和为 （ ） 求证：对于 n2， + + 1 19已知 O 是坐标系的原点， F 是抛物线 C： y 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，弦 中点为 M， 重心为 G （ ）求动点 G 的轨迹方程； （ ）设（ ）中的轨迹与 y 轴的交点为 D，当直线 x 轴相交时，令交点为 E，求四边形 面积最小时直线 方程 20已知 a 0， bR，函数 f（ x） =42a+b 的定义域为 0， 1 （ ）当 a=1 时，函数 f（ x）在定义域内有两个不同的零点，求 b 的取值范围； （ ） 记 f（ x）的最大值为 M，证明： f（ x） +M 0 第 4 页（共 19 页） 2016年浙江省高考数学考前模 拟试卷（文科）（ 5月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8小题，每小题 5分，满分 40分） 1已知全集 U=R，集合 P=x|2x0， Q=y|y=2x，则 PQ 为（ ） A 1， 2B 0， 2C 0， +） D 1， +） 【考点】 交集及其运算 【分析】 先化简集合 P， Q，根据交集的运算即可求出 【解答】 解： 2x0，即 x（ x 2） 0，解得 0x2， P=0， 2， y=2x=（ x 1） 2 1， y 1， Q= 1， +）， PQ=0， 2， 故选： B 2设 x 0，则 “a=1”是 “x+ 2 恒成立 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 先求命题 “对任意的正数 x，不等式 x+ 2 成立 ”的充要条件，再利用集合法判断两命题间的充分必要关系 【解答】 解： x 0，若 a1，则 x+ 2 2 恒成立， 若 “x+ 2 恒成立，即 2x+a0 恒成立， 设 f（ x） =2x+a，则 =（ 2） 2 4a0，或 ， 解得： a1， 故 “a=1”是 “x+ 2“恒成立的充分不必要条件， 故选： A 3为了得到函数的图象 y=3x+1），只需把函数 y=图象上所有的点（ ） A向左平移 1 个单位长度 B向右平移 1 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 第 5 页（共 19 页） 【分析】 y=3x+1） =x+ ），再根据函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解： y=3x+1） =x+ ）故把函数 y=图象上所有的点向左平移 个单位长度， 即可得到 y=3x+1）， 故答案为： C 4设 a、 b 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（ ） A若 a b， a ， b，则 b B若 a b， a ， b ，则 C若 a ， ，则 a 或 a D若 a ， ，则 a 【考点】 空间中直线与直线之间的位置 关系 【分析】 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解 【解答】 解：若 a b， a ， b，则由直线与平面平行的判定定理得 b ，故 A 正确； 若 a b， a ， b ，则由平面与平面垂直的判定定理得 ，故 B 正确； 若 a ， ，则线面垂直、面面垂直的性质得 a 或 a，故 C 正确； 若 a ， ，则 a 与 相交、平行或 a，故 D 错误 故选： D 5设 等比数列，下列结论中正确的是（ ） A若 a1+0，则 a2+0 B若 a1+0，则 a1+0 C 若 0 2a1+ 0，则（ 0 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 设等比数列 公比为 q A由 a1+0，可得 1+q） 0，则当 q 1 时， a2+a3=1+q），即可判断出正误； B由 a1+0，可得 1+ 0，由 0则 a1+a2=1+q），即可判断出正误； C由 0 得 0 此 0， q 1作差 2 a1+= 1 q）2，即可判断出正误； D由 0，则（ = q（ 1 q） 2，即可判断出正误 【解答】 解：设等比数列 公比为 q A a1+0， 1+q） 0，则当 q 1 时， a2+a3=1+q） 0，因此不正确； B a1+0， 1+ 0， 0则 a1+a2=1+q）可能大于等于 0 或小于 0，因此不正确； C 0 0 0， q 1则 2 a1+= 1 q） 2 0，因此正确； D 0，则（ = q（ 1 q） 2可能相应等于 0 或大于 0，因此不正确 故选： C 6如图，正方体 ABCD中， M 为 的中点，点 P 在底面 ABCD和侧面 上运动并且使 那么点 P 的轨迹是（ ） 第 6 页（共 19 页） A两段圆弧 B两段椭圆弧 C两段双曲线弧 D两段抛物线弧 【考点】 双曲线的定义； 双曲线的简单性质；点、线、面间的距离计算 【分析】 以 A 点为坐标原点建立空间直角坐标系，可求得 A， C， M 等点的坐标，从而可求得 设设 底面 ABCD所成的角为 ，继而可求得 较 与 大小，利用正圆锥曲线被与中心轴成 的平面所截曲线，即可得到答案 【解答】 解： P 点的轨迹实际是一个正圆锥面和两个平面的交线；这个正圆锥面的中心轴即为 顶点为 A，顶角的一半即为 以 A 点为坐标原点建立空间直角坐标系，则 A（ 0， 0， 1）， C（ 1， 1， 0）， M（ ， 1， 1）， =（ 1， 1， 1）， =（ ， 1， 0）， = = = ， 设 底面 ABCD所成的角为 ，则 = = = ， 该正圆锥面和底面 ABCD的交线是双曲线弧； 同理可知， P 点在平面 的交线是双曲线弧， 故选 C 7如图， 焦点在 x 轴上的椭圆 + =1（ a 0）的左、右焦点分别为 P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线 y 轴的正半轴交于 A 点， ，若 |4，则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 第 7 页（共 19 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由 ，根据切线长定理，可得 | |再结合 |4，求得 |8，即 a=4，再由隐含条件求得 c，则椭圆的离心率可求 【解答】 解：如图， 内切圆在边 ， 根据切线长定理可得 | | | | | | | | 则 | |2|8， 即 2a=8， a=4， 又 ， c2=3，则 ， 椭圆的离心率 e= 故选： D 8设函数 f（ x）与 g（ x）的定义域为 R，且 f（ x）单调递增， F（ x） =f（ x） +g（ x）， G（ x） =f（ x） g（ x）若对任意 （ x1不等式 f（ f（ 2 g（ g（ 2 恒成立则（ ） A F（ x）， G（ x）都是增函数 B F（ x）， G（ x）都是减函数 C F（ x）是增函数， G（ x）是减函数 D F（ x）是减函数， G（ x）是增函数 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 根据题意， 不妨设 f（ x）单调递增，可得出 f（ f（ g（ g（ 且 f（ f（ g（ +g（ 根据单调性的定义证明即可 【解答】 解：对任意 （ x1不等式 f（ f（ 2 g（ g（ 2恒成立， 不妨设 f（ x）单调递增， f（ f（ g（ g（ 且 f（ f（ g（ +g（ F（ =f（ +g（ F（ =f（ +g（ F（ F（ =f（ +g（ f（ g（ =f（ f（ （ g（ g（ 0， F（ x）为增函数；同理可证 G（ x）为增函数， 故选 A 第 8 页（共 19 页） 二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分 9函数 f（ x） =2x+ ）的值域为 ，最小正周期为 ，单调递减区间是 ， kZ 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 展开两角和的余弦，再利用辅助角公式化积，从而求得函数的值域和周期，再由相位在正弦函数的减区间内求得 x 的范围得函数的单调减区间 【解答】 解： f（ x） =2x+ ） =+ = = f（ x） ； T= ； 由 ，得 f（ x）的单调递 减区间是 ， kZ 故答案为： ， ， ， kZ 10双曲线 916 144 的实轴长等于 6 ，其渐近线与圆 x2+2x+m=0 相切，则m= 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 将双曲线的方程化为标准方程，求得 a， b， c，可得实轴长 2a，渐近线方程，求 得圆的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件： d=r，解方程可得 m 的值 【解答】 解：双曲线 916 144 即为 =1， 可得 a=3， b=4， c= =5， 实轴长为 2a=6； 渐近线方程为 y= x，即为 3x4y=0， 圆 x2+2x+m=0 的圆心为（ 1， 0），半径为 ， 由直线和圆相切可得 = ，解得 m= 故答案为： 6， 第 9 页（共 19 页） 11已知某几何体的三视图如图所示（单位： 则此几何体的体积为 ，表面积为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知该几何体一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，利用锥体体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥， 底面是一个边长为 2 的正方形， 面 ， 其中 E、 F 分别是 中点，连结 几何体的体积 V= = ， 在 ， = ，同理可得 ， 面 E=E， 面 在 ， = =3， 同理可得 ，则 在 ， = = ， 此几何体的表面积 S=22+ + + = 故答案为： ； 第 10 页（共 19 页） 12已知函数 f（ x） = ，若 f（ +ff（ 9） = ；若 f（ f（ a） 1，则实数 a 的取值范围是 ，或 a1 【考点】 分段函数的应用；函数的概念及其构成要素 【分析】 根据已知中函数 f（ x） = ，代和计算可得答案 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， f（ +ff（ 9） =f（ ） +f（ 2） = ， 若 f（ f（ a） 1， 则 f（ a） 0，或 f（ a） ， ，或 a1， 故答案为： ， ，或 a1 13已知实数 x， y 满足 x2+，则 |x+2y 2|+|6 2x 3y|的最大值是 3 【考点】 绝对值三角不等式 【分析】 根据题意，可得 6 2x 3y 0，直线 x+2y 2=0 将圆 x2+ 分成两部分，由此去掉绝对值 |x+2y 2|+|6 2x 3y|，求出对应解析式的最大值即可 【解答】 解：由 x2+，可得 6 2x 3y 0，即 |6 2x 3y|=6 2x 3y， 如图所示， 直线 x+2y 2=0 将圆 x2+ 分成两部分， 在直线的上方（含直线），即有 x+2y 20，即 |x+2y 2|=x+2y 2， 第 11 页（共 19 页） 此时 |x+2y 2|+|6 2x 3y|=（ x+2y 2） +（ 6 2x 3y） = x y+4， 利用线性规划可得在 A（ 0， 1）处取得最大值 3； 在直 线的下方（含直线），即有 x+2y 20， 即 |x+2y 2|=（ x+2y 2）， 此时 |x+2y 2|+|6 2x 3y|=（ x+2y 2） +（ 6 2x 3y） =8 3x 5y， 利用线性规划可得在 A（ 0， 1）处取得最大值 3 综上可得，当 x=0， y=1 时， |x+2y 2|+|6 2x 3y|的最大值为 3 故答案为： 3 14在 ， ， ， 0若点 O 在 角平分线上，满足 =m+n ， m， nR，且 n ，则 | |的取值范围是 ， 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 可以点 C 为坐标原点，以边 在直 线为 x 轴，建立平面直角坐标系，根据条件便可求出 A， B， C 三点的坐标，并设 ，从而得出 ，进而便可得出向量 的坐标，带入 即可得到，这样消去 m 便可求出 n= ，从而由 n 的范围即可求出 k 的范围 ，即得出 的取值范围 【解答】 解：以 C 为原点， 在直线为 x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则： C（ 0， 0）， ； 设 ，则 ； ， ； 由 得， ； 第 12 页（共 19 页） ； 联立消去 m 得： ； ； ； ； 解得 ； 的取值范围为 故答案为： 15已知实数 a， b 满足： a ， bR，且 a+|b|1，则 +b 的取值范围是 1， 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作平面区域，结合图象可知，关键求当 a+b=1 时和当 a b=1 时的最值，从而解得 【解答】 解：由题意作平面区域如下， ， 结合图象可知， 当 a+b=1 时， +b 才有可能取到最大值， 即 +1 a +1 = ， 当 a b=1 时， +b 才有可能取到最小值， 第 13 页（共 19 页） 即 +a 12 1= 1， （当且仅当 =a，即 a= 时，等号成立）， 结合图象可知， +b 的取值范围是 1， 三、解答题：本大题共 5小题，共 74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16在 ，内角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c， （ ）求角 C 的大小； （ ）已知 是钝角三角形，且 c=2 ， B A） =2 面积 【考点】 正弦定理；两角和与差的正切函数 【分析】 （ ）利用已知等式，化简可得 ，结合 C 是三角形的内角，得出 C； （ ）利用三角函数间的关系将条件转化为： 分两种情况 与 讨论，利用正余弦定理，结合解 方程组与三角形的面积公式，即可求得 面积 【解答】 解：（ ）在 角 A， B， a， b， c， 得到 ， 所以 ， 所以 ， 又 C（ 0， ），所以 C= 或者 ； （ ） B A） =B+A） +B A） =2 而 2 由 B A） =2 时， A= ，可得 b= =2， 可得三角 面积 S= ； 当 时，得 正弦定理得 b=2a， c=2 ， C=60， c2=a2+2 a2+2， 联解 得 a=2， b=4； 第 14 页（共 19 页） 面积 S= 242 17如图所示，在四棱柱 面 梯形， 面 （ ）求证： （ ）若 B=2 0，点 D 在平面 的射影恰为线段 中点，求平面 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ ）通过已知条件易得 = 、 用 =0 即得 （ ）通过建立空间直角坐标系 O 面 法向量与平面 一个法向量的夹角的余弦值，计算即可 【解答】 （ ）通过条件可知 = 、 用 =即得 （ ）解：设线段 中点为 O，连接 由题意知 平面 因为侧面 菱形，所以 故可分别以射线 线 线 x 轴、 y 轴、 z 轴 的正方向建立空间直角坐标系 O 图所示 设 B=2a，由 0可知 |0B|=a， ， 所以 =a，从而 A（ 0， a， 0）， B（ a， 0， 0）， 0， a， 0）， D（ 0， 0， a），所以 = =（ a， a， 0） 由 可得 C（ a， a， a），所以 =（ a， a， a）， 设平面 （ 由 = =0，得 ， 第 15 页（共 19 页） 取 ，则 ， ，所以 =（ ， 1， ） 又平面 D（ 0， 0， a）， 所以 = = = ， 故平面 18对于任意的 nN*，数列 足 + + =n+1 （ ） 求数列 通项公式； （ ） 设数列 前 n 项和为 （ ） 求证：对于 n2， + + 1 【考点】 数列与不等式的综合；数列的求和 【分析】 （ I）通过 + + =n+1 与 + =n（ n2）作差可知 +n+2n（ n2），进而验证当 n=1 是否满足即可； （ 过（ I）可知，当 n=1 时 S1=，当 n2 时利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论； （ 过（ I）放缩可知，当 n2 时 ，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论 【解答】 （ I）解： + + =n+1， + + =n（ n2）， 第 16 页（共 19 页） 两式相减得： =1，即 +n+2n（ n2）， 又 =2，即 不满足上式， ； （ ：由（ I）可知，当 n=1 时， S1=， 当 n2 时， +（ n 1） + + =2n+1+n+1； 综上得， ； （ 明：由（ I）可知，当 n2 时， = = ， 对于 n2， + + + + = =1 19已知 O 是坐标系的原点， F 是抛物线 C： y 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，弦 中点为 M， 重心为 G （ ）求动点 G 的轨迹方程； （ ）设（ ）中的轨迹与 y 轴的交点为 D，当直线 x 轴相交时，令交点为 E，求四边形 面积最小时直线 方程 【考点】 抛物线的简单性质 第 17 页（共 19 页） 【分析】 （ ）求得焦点 F（ 0， 1） ，显然直线 斜率存在，设 y=，代入抛物线的方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标，运用代入法消去 k，即可得到所求轨迹方程； （ ）求得 D， E 和 G 的坐标， | |长，以及 D