2016年贵州省黔东南州高考数学模拟试卷（理）含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年贵州省黔东南州高考数学模拟试卷（理科） 一、一、选择题（本大題共 12 小题 ,每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合題目要求的 ） 1已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|2 x 4，则集合 AB=（ ） A（ 1， 4） B（ 2， 4） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 2已知复数 z= ，则 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是 2，该几何体的体积为（ ）A B C 4D 4下列命题中正确的是（ ） A 是 2（ kZ）的充分必要条件 B函数 f（ x） =3ln|x|的零点 是（ 1， 0）和（ 1， 0） C设随机变量 服从正态分布 N（ 0， 1），若 P（ 1） =p，则 P（ 1 0） = p D若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差会改变 5若 等差数列，公差 d0， 等比数列，则该等比数列的公比为（ ） A 1B 2C 3D 4 6阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ） 第 2 页（共 22 页） A 3B 4C 5D 6 7变量 x、 y 满足条件 ，则（ x 2） 2+最小值为（ ） A B C D 5 8在平行四边形 ， =0， ， ，若将其沿 成直二面角 D B，则 成的角的余弦值为（ ） A B C D 9过点（ 2， 0）的直线 l 与圆 x2+ 相交于 M、 N 两点，且线段 ，则直线 ） A B C 1D 10设不等式组 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于 2 的概率是（ ） A B C D 11如图 椭圆 + 与双曲线 A、 B 分别是 第二、四象限的公共点，若四边形 矩形，则 离心率是（ ） A B C D 第 3 页（共 22 页） 12已知函数 f（ x） =x k，在区间 ， e上任取三个数 a， b， c，均存在以 f（ a）， f（ b）， f（ c）为边长的三角形，则 k 的取值范围是（ ） A（ 1， +） B（ ， 1） C（ ， e 3） D（ e 3， +） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 ， | |=3，则 = 14在 （ nN*）的展开式中，所有项系数的和为 32，则 的系数等于 15已知函数 f（ x） = ，若 f（ x） 1 恒成立，则实数的取值范围是 16已知数列 足： ， =，令 ，则数列 前 n 项和 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，已知 3=3 ）求角 B 的大小 （ ）若 a+c=1，求 b 的取值范围 18某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间 2， 4的有 8 人 （ 1）求直方图中 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（ 10， 12的人数； （ 2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试，设 4人中甲班学生的人数为 ，求 的分布列和数学期望 19如图，四棱锥 P ，底面 菱形， 0，面 面 C=D=2，点 M 为线段 异于 P、 B 的点 （ ）当点 M 为 中点时，求证： 平面 ）当二面角 B M 的余弦值为 时，试确定点 M 的位置 第 4 页（共 22 页） 20已知抛物线 E： p 0）的准线与 x 轴交于点 K，过 K 点作曲线 C： 4x+3+的切线，切 点 M 到 x 轴的距离为 （ ）求抛物线 E 的方程 （ ）设 A， B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且 = （其中 O 为坐标原点） （ i）求证：直线 必过定点，并求出该定点 Q 的坐标 （ 点 Q 作 垂线与抛物线交于 G， D 两点，求四边形 积的最小值 21已知函数 f（ x） = x 3（ a 1） （ ）讨论函数 f（ x）在（ 0， 1）上的单调区间 （ ）当 a3 时，曲线 y=f（ x）上总存在相异两点 P， Q，使得曲线 y=f（ x）在 P， Q 处的切线互相平行，求线段 点横坐标的取值范围 选修 4何证明选讲】 22如图，在 ， 角平分线， 外接圆交 点 E， ）求证： （ ）当 ， 时， 求 长 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 C： 96，直线 l： （ t 为参数） （ ）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； （ ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求 |最大值与最小值 选修 4等式选讲 24（选做题）已知函数 f（ x） =|2x 1|+2， g（ x） = |x+2|+3 （ ）解不等式： g（ x） 2； （ ）当 xR 时， f（ x） g（ x） m+2 恒成立，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 22 页） 2016 年贵州省黔东南州高考数学模拟试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、一、选择题（本大題共 12 小题 ,每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合題目要求的 ） 1已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|2 x 4，则集合 AB=（ ） A（ 1， 4） B（ 2， 4） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 交集及其运算 【分析】 先求出集合 A，再由交集定义能求出集合 AB 【解答】 解： 集合 A=x|2x 3 0=x|x 1 或 x 3， B=x|2 x 4， 集合 AB=x|3 x 4=（ 3， 4） 故选： D 2已知复数 z= ，则 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 化简已知复数，可得其共轭复数 ，由复数的几何意义可得 【解答】 解：化简 可得 z= = = = 2+i， = 2 i， 对应的点为（ 2， 1），在第三象限， 故选： C 3某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是 2，该几何体的体积为（ ）A B C 4D 【考点】 由三视图求面积、体积 第 6 页（共 22 页） 【分析】 由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其底面面积 S= 22=2， 高 h=2， 故几何体的体积 V= = ， 故选： A 4下列命题中正确的是（ ） A 是 2（ kZ）的充分必要条件 B函数 f（ x） =3ln|x|的零点是（ 1， 0）和（ 1， 0） C设随机变量 服从正态分布 N（ 0， 1），若 P（ 1） =p，则 P（ 1 0） = p D若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差会改 变 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A根据充分条件和必要条件的定义进行判断 B根据函数零点的定义进行判断 C根据正态分布的大小进行求解 D根据方差的性质 进行判断 【解答】 解： A由 得 ，则 是 2（ kZ）的充分不必要条件，故 A 错误， B由 f（ x） =0 得 ln|x|=0， z 则 |x|=1，即 x=1 或 x= 1，即函数 f（ x） =3ln|x|的零点是 1 和 1，故 B 错误， C随机变量 服从正态分布 N（ 0， 1），则图象关于 y 轴对称， 若 P（ 1） =p，则 P（ 0 1） = p，即 P（ 1 0） = p，故 C 正确， D若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不会改变，故 D 错误， 故选： C 5若 等差数列，公差 d0， 等比数列，则该等比数列的公比为（ ） A 1B 2C 3D 4 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由已知条件求出 ，所以该等比数列的公比为 d= ，由此能求出结果 【解答】 解： 等差数列，公差 d0， 等比数列， （ d） 2=（ a1+d）（ d）， 解得 ， 第 7 页（共 22 页） 该等比数列的公比为 d= = =3 故选： C 6阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ） A 3B 4C 5D 6 【考点】 程序框图 【分析】 通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值 【解答】 解：该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1， a=2； 经第二次循环得到 i=2， a=5； 经第三次循环得到 i=3， a=16； 经第四次循环得到 i=4， a=65 满足判断框的条件，执行是，输出 4 故选 B 7变量 x、 y 满足 条件 ，则（ x 2） 2+最小值为（ ） A B C D 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，设 z=（ x 2） 2+用距离公式进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域， 设 z=（ x 2） 2+ z 的几何意义为区域内的点到定点 D（ 2， 0）的距离的平方， 由图象知 距离最小，此时 z 最小 由 得 ，即 C（ 0， 1）， 第 8 页（共 22 页） 此时 z=（ x 2） 2+1=5， 故选： D 8在平行四边形 ， =0， ， ，若将其沿 成直二面角 D B，则 成的角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由 =0 得到 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量方法求出异面直线 成角的余弦值 【解答】 解： =0， ， ，如图 D= ， 过点 A 作 在 = = ， 则 ， ， 在空间四边形中，直二面角 D B， 平面 以 C 点为原点，以 y 轴， x 轴，过点 C 与 行的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系， C（ 0， 0， 0）， A（ ， ， 0）， B（ 0， 0， 1）， D（ 0， ， 0）， =（ ， ， 0）， =（ 0， ， 1）， 第 9 页（共 22 页） | |= ， =2， =2， 设 成的角为 ， 则 = = 故选： B 9过点（ 2， 0）的直线 l 与圆 x2+ 相交于 M、 N 两点，且线段 ，则直线 ） A B C 1D 【考点】 直线与圆的位置关 系 【分析】 设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y=k（ x+2），求出圆 x2+ 的圆心，半径 r= ，再求出圆心到直线 l： y=k（ x+2）的距离 d，利用过点（ 2， 0）的直线 l 与圆 x2+相交于 M、 N 两点，且线段 ，由勾股定理得 ，由此能求出 k 的值 【解答】 解：设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y=k（ x+2）， 圆 x2+ 的圆心 O（ 0， 0），半径 r= ， 圆心 O（ 0， 0）到直线 l： y=k（ x+2）的距离 d= ， 过点（ 2， 0）的直线 l 与圆 x2+ 相交于 M、 N 两点，且线段 ， 由勾股定理得 ， 即 5= +3， 解得 k=1 故选： C 第 10 页（共 22 页） 10设不等式组 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于 2 的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据题意，区域 D： 表示矩形，面积为 3到坐标原点的距离小于 2 的点，位于以原点 O 为圆心、半径为 2 的圆内，求出阴影部分的面积，即可求得本题的概率 【解答】 解：区域 D： 表示矩形，面积为 3 到坐标原点的距离小于 2 的点，位于以原点 O 为圆心、半径为 2 的圆内，则图中的阴影面积为 + = 所求概率为 P= 故选： D 11如图 椭圆 + 与双曲线 A、 B 分别是 第二、四象限的公共点，若四边形 矩形，则 离心率是（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 第 11 页（共 22 页） 【分析】 不妨设 |x， |y，依题意 ，解此方程组可求得 x， y 的值，利用双曲线的定义及性质即可求得 【解答】 解：设 |x， |y， 点 A 为椭圆 + 上的点， 2a=4， b=1， c= ； |2a=4，即 x+y=4； 又四边形 矩形， + = ，即 x2+ 2c） 2= =12， 由 得： ，解得 x=2 ， y=2+ ，设双曲线 实轴长为 2m，焦距为 2n， 则 2m=| |y x=2 ， 2n=2c=2 ， 双曲线 离心率 e= = = 故选 D 12已知函数 f（ x） =x k，在区间 ， e上任取三个数 a， b， c，均存在以 f（ a）， f（ b）， f（ c）为边长的三角形，则 k 的取值范围是（ ） A（ 1， +） B（ ， 1） C（ ， e 3） D（ e 3， +） 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 由条件可得 2f（ x） f（ x） f（ x） 0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论 【解答】 解：任取三个实数 a， b， c 均存在 以 f（ a）， f（ b）， f（ c）为边长的三角形， 等价于 f（ a） +f（ b） f（ c）恒成立，可转化为 2f（ x） f（ x） f（ x） 0 令 得 x=1 当 时， f（ x） 0； 当 1 x e 时， f（ x） 0； 则当 x=1 时， f（ x） f（ 1） =1+k， =+1+k， e1+k=e 1+k， 从而可得 ，解得 k e 3， 故选： D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知向量 ， | |=3，则 = 9 第 12 页（共 22 页） 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由已知结合平面向量是数量积运算求得答案 【解答】 解：由 ，得 =0，即 （ ） =0， | |=3， 故答案为： 9 14在 （ nN*）的展开式中，所有项系数的和为 32，则 的系数等于 270 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 根据题意，在 中，令 x=1 可得，其展开式所有项系数的和为（ 2） n，结合题意可得 n 的值，进而由二项式定理可得其展开式的通项， 令 的指数为 2，可得 r 的值代入展开式的通项，可得答案 【解答】 解：在 中，令 x=1 可得，其展开式所有项系数的和为（ 2） n， 又由题意可得，（ 2） n= 32，则 n=5， 则（ 3） 5的展开式的通项为 =） 5 r（ 3） r， 令 5 r=2，可得 r=3， 则含 的为 53（ ） 2（ 3） 3= 270， 故答案为 270 15已知函数 f（ x） = ，若 f（ x） 1 恒成立，则实数的取值范围是 2a0 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 绘出函数图象，利用数形结合的思想判断 a 的范围，找出临界点即相切时 a 的取值，进而得出 a 的范围 【解答】 解：绘制函数图象如图： 第 13 页（共 22 页） 由图象可知： 要使 f（ x） 1 恒成立， 只需函数 g（ x） =1 的图象恒在图象 f（ x）的下方， a0， 设 g（ x） =1 与函数 f（ x） =4x 相切与点 P（ m， n）， 4m=（ 2m 4） m 1， m=1， a= 2， 2a0 故答案为： 2a0 16已知数列 足： ， =，令 ，则数列 前 n 项和 2 n+2 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 根据数列的递推关系，求出数列的前几项，根据归纳推理得到数列 通项公式，利用裂项法即可求出数列的前 n 项和 【解答】 解：当 n=1 时， a2=4 2+1=3， 当 n=2 时， a3=2=9 6+1=4， 当 n=3 时， a4=3=16 12+1=5， 当 n=4 时， a5=4=25 20+1=6， 则由归纳法可知 an=n+1， 则 = ， 则数列 前 n 项和 = ， 故答案为： 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，已知 3=3 ）求角 B 的大小 （ ）若 a+c=1，求 b 的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；余弦定理 【分析】 （ ）由题意和三角函数公式化简可得 ，可得 B= ； （ ）由余弦定理和基本不等式可得 ，再由三角形三边关系可得 【解答】 解：（ ） 在 3=3 3（ =22 3A+C） =22 32 解得 ， B= ； （ ） a+c=1， 由余弦定理可得 第 14 页（共 22 页） b2=a2+2a2+ a+c） 2 31 3 3（ ） 2= ，当且仅当 a=c= 时取等号， b ，再由三角形三边关系可得 b a+c=1， 综合可得 b 的取值范围为 ， 1） 18某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间 2， 4的有 8 人 （ 1）求直方图中 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（ 10， 12的人数； （ 2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试，设 4人中甲班学生的人数为 ，求 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）由直方图能求出 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（ 10， 12的人数 （ 2）由已知得 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）由直方图知，（ a） 2=1， 解得 a= 因为甲班学习时间在区间 2， 4的有 8 人， 所以甲班的学生人数为 ， 所以甲、乙两班人数均为 40 人 所以甲班学习时间在区间（ 10， 12的人数为 40=3（人） （ 2）乙班学习时间在区间（ 10， 12的人数为 40=4（人） 由（ 1）知甲班学习时间在区间（ 10， 12的人数为 3 人， 在两班中学习时间大于 10 小时的同学共 7 人， 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3 ， ， 第 15 页（共 22 页） ， 所以随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 P 19如图，四棱锥 P ，底面 菱形， 0，面 面 C=D=2，点 M 为线段 异于 P、 B 的点 （ ）当点 M 为 中点时，求证： 平面 ）当二面角 B M 的余弦值为 时，试确定点 M 的位置 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）当点 M 为 中点时，根据线面平行的判定定理即可证明 平面 ）建立坐标系设出点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可 【解答】 证明：（ I）设 交点为 N，连结 因为 M、 N 分别为 中点， 所以 又 面 所以 平面 （ 中点为 O，因为 D=，面 面 所以 面 又因为在菱形 ， 0， 所以 建立以 O 为坐标原点， 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： 则 A（ ， 0， 0）， B（ ， 2， 0）， C（ 0， 1， 0）， P（ 0， 0， ）， 设 = ，（ 0 1）， 则 = + = + =（ ， 1 2， ）， =（ ， 1， 0）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 由 ，得 第 16 页（共 22 页） 令 x=1，则 y= ， z=3 ，即 =（ 1， ， 3 ）， 又平面 法向量为 = =（ 0， 0， ）， 所以 ， |=| |= = ， 解得： = 或 =1（舍去）， 所以点 M 为线段 中点 20已知抛物线 E： p 0）的准线与 x 轴交于点 K，过 K 点作曲线 C： 4x+3+的切线，切点 M 到 x 轴的距离为 （ ）求抛物线 E 的方程 （ ）设 A， B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且 = （其中 O 为坐标原点） （ i）求证：直线 必过定点，并求出该定点 Q 的坐标 （ 点 Q 作 垂线与抛物线交于 G， D 两点，求四边形 积的最小值 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ I）求得 K 的坐标，圆心坐标和半径，由切线的性质和相似三角形解出 ，从而得出 p=2，进而得到抛物线方程； （ i）设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点 Q； （ 用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值 【解答】 （ 1）解： K（ ， 0），圆 C 的圆心 C（ 2， 0），半径 r=1 作 x 轴于 R，则 | = |=|即 ， | ， |3 第 17 页（共 22 页） 2+ =3，解得 p=2， 抛物线 E 的 方程为 x； （ 2） 证明：设直线 x=my+t， A（ ， B（ ， 联立抛物线方程可得 44t=0， y1+m， 4t， = ，即（ ） 2+， 解得 18 或 2（舍去）， 即 4t= 18，解得 t= 直线 过定点 Q（ ， 0） 解：由 可得 | | ， 同理 | ， 则四边形 积 S= | =4 ， 令 =（ 2），则 S=4 ， S（ ）在 2， +）上是增函数 则当 =2 时， S 取得最小值 88 21已知函数 f（ x） = x 3（ a 1） （ ）讨论函数 f（ x）在（ 0， 1）上的单调区间 （ ）当 a3 时，曲线 y=f（ x）上总存在相异两点 P， Q，使得曲线 y=f（ x）在 P， Q 处的切线互相平行，求线段 点横坐标的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出 f（ x），当 x（ 0， 1）时，解不等式 f（ x） 0， f（ x） 0 即可； （ ）由题意可得，当 a3， +）时， f（ =f（ 0，且 x1由此可得a+ = ，从而 x1+，只要求出 在 3， +）的最大值即可 第 18 页（共 22 页） 【解答】 解：（ ）由已知，得 x 0， f（ x） = 1 = = 由 f（ x） =0，得 ， x2=a 因为 a 1，所以 0 1，且 a 所以在区间（ 0， ）上， f（ x） 0；在区间（ ， 1）上， f（ x） 0 故 f（ x）在（ 0， ）上单调递减，在（ ， 1）上单调递增 （ ）设 P（ Q（ 由题意可得，当 a3， +）时， f（ =f（ 0，且 x1 即 1= 1， 所以 a+ = + = ， a3， +） 因为 0，且 x1以 ） 2 恒成立， 所以 ，又 x1+0， 所以 a+ = ，整理得 x1+， 令 g（ a） = ，因为 a3， +）， 所以 a+ 单调递增， g（ a）单调递减， 所以 g（ a）在 3， +）上的最大值为 g（ 3） = ， 可得 x1+，可得线段 点横坐标的取值范围是（ ， +） 选修 4何证明选讲】 22如图，在 ， 角平分线， 外接圆交 点 E， ）求证： （ ）当 ， 时，求 长 第 19 页（共 22 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ ）连 接 明 用 合角平分线性质，即可证明 （ ）根据割线定理得 A=C，从而可求 长 【解答】 （ ）证明：连接 圆内接四边形， 又 有 ， 又