高中数学 2.2.1 第2课时 分析法课件 新人教A版选修23.ppt

第2课时分析法 分析法1 定义 一般地 从要证明的 逐步寻求使它成立的 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 等 为止 这种证明方法叫做分析法 结论出发 充分条件 定理 定义 公理 2 推证过程 证 逆推 执 果索因 定理 定义 公理 判断 正确的打 错误的打 1 分析法就是从结论推向已知 2 分析法的推理过程要比综合法优越 3 分析法的过程是演绎推理 提示 1 错误 分析法又叫逆推证法 但不是从结论推向已知 而是寻找使结论成立的充分条件的过程 2 错误 分析法和综合法各有优缺点 3 正确 因为分析法的每一步都是严密的逻辑推理 因此得到的每一个结论都是正确的 不同于合情推理中的 猜想 答案 1 2 3 知识点拨 1 分析法的特点 1 思维特点 从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 其推理过程实际上是逐步寻求结论成立的充分条件的过程 2 思维过程 由结果追溯原因 即结果 原因 3 优点 容易探路且探路与表述合一 缺点 表述烦琐且不习惯 容易出错 4 在实际解题时 常常先以分析法为主寻求解题思路 再用综合法有条理地表述过程 2 分析法的证题思路分析法的基本思路是 执果索因 由求证走向已知 即从数学题的待证结论或需要求证的问题出发 一步一步探索下去 最后寻找到使结论成立的一个明显成立的条件 或者是可以证明的条件 类型一用分析法证明不等式 典型例题 1 分析法又叫执果索因法 若使用分析法证明 设a b c 且a b c 0 求证 索的因应是 a a b 0b a c 0c a b a c 0d a b a c 0 2 2013 大庆高二检测 已知a b c r 求证 解题探究 1 分析法的推论过程是什么 2 已知a b 0 则与的大小关系如何 探究提示 1 分析法的推论过程为 q p1 p1 p2 p2 p3 得到一个明显成立的条件2 若a b 0 则 解析 1 选c 要证只需证b2 ac0 只需证 2a b a b 0 只需证 a c a b 0 故索的因应为c 2 要证只需证 只需证 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 只需证 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 只需证 a b 2 b c 2 c a 2 0 而这是显然成立的 所以成立 互动探究 在题2条件不变的情况下 求证 证明 要证只需证 只需证只需证2 a2 b2 a2 2ab b2只需证a2 2ab b2 0 只需证 a b 2 0 而这是显然成立的 所以 拓展提升 分析法证明不等式的方法与技巧 变式训练 2013 莆田高二检测 求证 对于任意的正实数a b c 当且仅当a b c时取等号 证明 对于任意正实数a b c 要证成立 只需证即证即证 因为对于任意正实数a b c 有 同理所以不等式 成立 且要使 的等号成立必须且且即当a b c时等号成立 类型二用分析法证明立体几何问题 典型例题 1 对于不重合的直线m l和平面 要证明 需要具备的条件是 a m l m l b m l m l c m l m l d m l l m 2 如图所示 已知pa 矩形abcd所在平面 m n分别是ab pc的中点 求证 mn cd 解题探究 1 面面垂直的判定定理内容是什么 2 证明线线垂直的方法一般是哪几种 探究提示 1 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 2 在立体几何中 证明线线垂直的方法一般有三种 1 若直线垂直于平面 则该直线垂直于平面内的任一直线 2 通过构造直角三角形证明线线垂直 3 通过等腰三角形的 三线合一 定理证明线线垂直 解析 1 选d a 与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定 b 平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直 这两个平面的位置关系也不能确定 c 这两个平面平行或重合 d是成立的 故选d 2 取pd的中点为e 连接ne ae 因为am ne ab 且am ne 所以四边形aenm为平行四边形 所以mn ae 要证mn cd 只需证ae cd 只需证cd 平面pad 又因为pa 平面abcd 所以pa cd 又因为cd ad pa ad a 所以cd 平面pad 故mn cd 拓展提升 分析法证明立体几何问题的三个关注点 1 主要依据 立体几何中直线 平面的位置关系 定义 判定定理 性质定理以及一些推论 2 立体几何中某些结论成立的充分条件很多 要结合题目背景加以认真分析 3 分析法证明的模式 若p则q形式 是 要证明q命题为真 只需证命题p1为真 从而有 只需证命题p2为真 从而有 只需证命题p为真 而已知p为真 故q必为真 变式训练 如图 p是 abc所在平面外的一点 并且pa pb pc两两垂直 ph 平面abc于h 求证h是 abc的垂心 解题指南 垂心是三条高线的交点 所以应证明ah bc且bh ac即可 证明 连接ah bh 要证h是 abc的垂心 只需证ac hb且bc ah 只需证bc 平面pha ac 平面phb 只需证bc ap且bc ph ac pb且ac ph 只需证ap 平面pbc pb 平面pac 也就是要证ap pb ap pc pb pa pb pc 由条件知pa pb pc两两垂直 上式显然成立 所以结论成立 即h是 abc的垂心 类型三综合法与分析法的综合应用 典型例题 1 已知a b c表示 abc的三边长 m 0 求证 2 abc的三个内角a b c成等差数列 a b c分别是a b c所对的边 求证 a b 1 b c 1 3 a b c 1 解题探究 1 三角形abc的三边为a b c 它们的边的不等关系是什么 2 若三个角a b c成等差数列 则角b是多少度 探究提示 1 a b c且b c a且a c b 2 a b c成等差数列 则a c 2b 所以b 60 解析 1 要证明只需证明即可 所以因为a 0 b 0 c 0 m 0 所以 a m b m c m 0 因为a b m c m b a m c m c a m b m abc abm acm am2 abc abm bcm bm2 abc bcm acm cm2 2abm am2 abc bm2 cm2 2abm abc a b c m2 因为 abc中任意两边之和大于第三边 所以a b c 0 所以 a b c m2 0 所以2abm abc a b c m2 0 所以 2 方法一 分析法 要证 a b 1 b c 1 3 a b c 1 即证即证即证只需证c b c a a b a b b c 只需证c2 a2 ac b2 只需证b2 c2 a2 2ac cos60 只需证b 60 因为a b c成等差数列 所以b 60 所以 a b 1 b c 1 3 a b c 1 方法二 综合法 因为 abc的三个内角a b c成等差数列 所以b 60 由余弦定理知b2 c2 a2 2cacos60 得c2 a2 ac b2 两边同时加上ab bc得c b c a a b a b b c 两边同时除以 a b b c 得 所以即所以 a b 1 b c 1 3 a b c 1 拓展提升 1 分析法与综合法的关系分析法与综合法的关系可表示为下图 从图中可以看出 逆向书写分析过程 同样可以完成证明 这就是综合法 由此使我们想到 用分析法探路 用综合法书写 也是一种很好的思维方式 2 分析综合法分析法与综合法是两种思路相反的推理方法 分析法是倒溯 综合法是顺推 因此常将二者交互使用 互补优缺点 从而形成分析综合法 其证明模式可用框图表示如下 其中p表示已知条件 定义 定理 公理等 q表示可证明的结论 变式训练 已知 a 0 b 0且a b 1 证明 解题指南 利用基本不等式 综合利用分析法和综合法证明 证明 欲证因为 所以只需证明4 ab 2 4 a2 b2 25ab 4 0 即证明4 ab 2 4 a b 2 2ab 25ab 4 0 即4 ab 2 33ab 8 0 即证ab 或ab 8 因为a 0 b 0 a b 1 所以ab 8不可能成立 而1 a b 所以ab 所以原不等式成立 规范解答 用分析法证明不等式 典例 条件分析 规范解答 要证log n 1 n 2 0 lg n 1 0 所以只需证lg n 2 lgn lg2 n 1 4分又因为 所以只需证 6分因为lgn 0 lg n 1 0 lg n 2 0 所以只需证即证lg n 2 lgn 2lg n 1 即证lg n 2 lgn lg n 1 2 8分 只需证lg n 2 n lg n 1 2 即证 n 2 n n 1 2 10分即证n2 2n n2 2n 1 也就是证0 1 上式显然成立 故log n 1 n 2 logn n 1 成立 12分 失分警示 防范措施 1 牢记基本不等式基本不等式及不等式性质 在证明不等式时经常用到 要熟练掌握 如本例 处用基本不等式 将积转化为和 为不等式证明奠定基础 2 注意步骤的规范性和完整性解题时步骤要完整 规范 注意步与步之间的严谨性和逻辑性 减少失分 如本例若漏 处的任一地方 步骤就不完整 会导致失分 类题试解 若 10 因为 1 x 1 1 y 1 所以x2 1 y2 1 从而 式显然成立 所以 1 分析法是从要证的结论出发 逐步寻求使结论成立的 a 充分条件b 必要条件c 充要条件d 等价条件 解析 选a 由分析法的定义可知 应选a 2 欲证只需证明 a b c d 解析 选c 由分析法知欲证只需证即证 3 要证明 a 0 可选择的方法有多种 其中最合理的是 a 综合法b 类比法c 分析法d 归纳法 解析 选c 直接证明很难入手 由分析法的特点知用分析法最合理 4 函数f x ax b在 上是减函数 则a的取值范围是 解析 要使f x ax b在r上是减函数 只需f x 0在