高中数学 2.2.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修21.ppt

2 2椭圆2 2 1椭圆及其标准方程 一 椭圆的定义 2a 2a f1f2 焦点 焦距 思考 定义中去掉限制条件后 动点m的轨迹还是椭圆吗 提示 不是 当2a f1f2 时 动点m的轨迹也就不存在了 当2a f1f2 时 动点轨迹为线段f1f2 二 椭圆的标准方程 c 0 c 0 0 c 0 c a2 b2 c2 判断 正确的打 错误的打 1 椭圆标准方程中 标准 的条件是椭圆的焦点在坐标轴上 且两焦点关于原点对称 2 椭圆的特殊形式是圆 这时焦点重合 3 椭圆的两种标准形式中 虽然焦点位置不同 但都具备a2 b2 c2 提示 1 正确 标准 的含义是其焦点在坐标轴上 且关于原点对称 2 错误 椭圆与圆是不同的概念 没有特殊情况 3 正确 无论在哪种标准方程中 一定都有a2 b2 c2 答案 1 2 3 知识点拨 1 对椭圆定义的两点说明 1 前提 椭圆定义是解决椭圆问题的常用工具 定义中 平面内 这一条件不能丢掉 否则动点的轨迹就是空间图形椭球体的表面 2 限制条件 椭圆中到两定点的距离之和记为2a 只有2a大于两定点间的距离 f1f2 时 动点的轨迹才是椭圆 在判断一曲线是否为椭圆时 一定不要忽略此限制条件 2 对椭圆标准方程的三点认识 1 标准方程的几何特征 椭圆的中心在坐标原点 焦点在x轴或y轴上 对称轴是坐标轴 2 标准方程的代数特征 方程右边为1 左边是关于与的平方和 并且分母为不相等的正值 当椭圆的焦点在x轴上时 含x项的分母大 当椭圆的焦点在y轴上时 含y项的分母大 已知椭圆的方程解题时 应特别注意a b 0这个条件 3 a b c三个量的关系 椭圆的标准方程中 a表示椭圆上的点m到两焦点间距离的和的一半 可借助图形帮助记忆 a b c 都是正数 恰是构成一个直角三角形的三条边 a是斜边 所以a b a c 且a2 b2 c2 如图所示 类型一椭圆的定义及其应用 典型例题 1 2013 宜春高二检测 已知椭圆 a 5 的两个焦点为f1 f2 且 f1f2 8 弦ab过点f1 则 abf2的周长为 a 10b 20c 2d 4 2 2013 安阳高二检测 椭圆上一点p与椭圆的两个焦点f1 f2的连线互相垂直 则 pf1f2的面积为 a 20b 22c 28d 243 2013 大连高二检测 椭圆的焦点为f1 f2 点p在椭圆上 若 pf1 4 则 pf2 解题探究 1 椭圆的标准方程中 a b c的关系怎样 2 题2中 pf1 与 pf2 存在哪些关系 3 在椭圆中 pf1 与 pf2 的关系是什么 探究提示 1 在椭圆的标准方程中 a b c的关系是a2 b2 c2 2 存在两种关系 一是 pf1 pf2 2a 二是 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 3 pf1 pf2 2a 解析 1 选d 由条件可知 椭圆的焦点在x轴上 且b 5 c 4 a2 25 16 41 即a abf2的周长为 ab af2 bf2 af1 bf1 af2 bf2 4a 4 2 选d 由条件知c2 49 24 25即c 5 由得142 2 pf1 pf2 100 pf1 pf2 48 pf1 pf2 48 24 3 根据椭圆的定义知 pf1 pf2 2a 6 pf2 6 pf1 6 4 2 答案 2 互动探究 若题2中 f1pf2 60 则 pf1f2的面积又怎样 解析 令 pf1 r1 pf2 r2 则 142 3r1r2 100 即r1r2 32 r1r2sin60 32 8 拓展提升 1 椭圆定义的应用技巧 1 椭圆的定义具有双向作用 即若 mf1 mf2 2a 2a f1f2 则点m的轨迹是椭圆 反之 椭圆上任意一点m到两焦点的距离之和必为2a 2 椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化 简化解题过程 因此 解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时 应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解 2 焦点三角形的处理技巧 1 如图所示 pf1f2称为椭圆的焦点三角形 三角形中的定理 如余弦定理 正弦定理 三角形的面积公式等均成立 2 解题时应用相关定理要结合椭圆的定义 pf1 pf2 2a 3 常用的变形 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 变式训练 设f1 f2为椭圆的两个焦点 p为椭圆上的一点 pf1 pf2 且 pf1 pf2 求的值 解题指南 可设法求出 pf1 pf2 后求比值 注意pf1 pf2条件的应用 解析 pf1 pf2 f1pf2为直角 则 f1f2 2 pf1 2 pf2 2 有解得 pf1 4 pf2 2 2 类型二求椭圆的标准方程 典型例题 1 2013 邵阳高二检测 过点 3 2 且与有相同焦点的椭圆的方程是 a b c d 2 求中心在原点 焦点在坐标轴上 且经过两点p q 0 的椭圆的标准方程 解题探究 1 椭圆的焦点位置如何判断 2 当焦点位置不明确的情况下 求解椭圆的标准方程一般需要如何处理 探究提示 1 椭圆的焦点在x轴上 标准方程中x2项的分母较大 椭圆的焦点在y轴上 标准方程中y2项的分母较大 2 当椭圆的焦点位置不确定时 求椭圆的标准方程一般应分别讨论焦点在x轴 y轴的情况 解析 1 选a 由方程可知 其焦点的坐标为 0 即c 设所求椭圆方程为 a b 0 过点 3 2 代入方程为解得a2 15 a2 3舍去 故方程为 2 方法一 1 当椭圆的焦点在x轴上时 设椭圆的标准方程为 a b 0 依题意 知 因为所以不符合要求 2 当椭圆的焦点在y轴上时 设椭圆的标准方程为 a b 0 依题意 知 故所求椭圆的标准方程为 方法二 设所求椭圆的方程为ax2 by2 1 a 0 b 0 且a b 依题意 可得 故所求椭圆的方程为5x2 4y2 1 所以所求椭圆的标准方程为 拓展提升 1 用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 2 巧设椭圆方程若椭圆的焦点位置不确定 需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论 也可设椭圆的方程为ax2 by2 1 a 0 b 0 a b 3 确定椭圆方程的 定位 与 定量 变式训练 已知椭圆的两个焦点分别为 4 0 和 4 0 且椭圆经过点 5 0 求椭圆的标准方程 解析 因为焦点在x轴上 设标准方程为 a b 0 则2a 10 即a 5 又c 4 所以b2 a2 c2 25 16 9 故椭圆的标准方程为 类型三与椭圆有关的轨迹问题 典型例题 1 2013 邵阳高二检测 已知两定点f1 1 0 f2 1 0 且 f1f2 是 pf1 与 pf2 的等差中项 则动点p的轨迹方程是 a b c d 2 2013 沧州高二检测 求过点p 3 0 且与圆x2 6x y2 91 0相内切的动圆圆心的轨迹方程 解题探究 1 题1中 f1f2 是 pf1 与 pf2 的等差中项 由此能得到它们之间具有什么关系 2 点在圆上时和与某圆内切时如何建立等式方程 探究提示 1 由等差中项的知识知2 f1f2 pf1 pf2 2 点在圆上 点到圆心的距离等于半径 与某圆内切 两圆的圆心距等于半径差的绝对值 解析 1 选c f1f2 是 pf1 和 pf2 的等差中项 pf1 pf2 2 f1f2 2 2 4 f1f2 p的轨迹应是以f1 f2为焦点的椭圆 这里c 1 a 2 轨迹方程为 2 圆方程配方整理得 x 3 2 y2 102 圆心为c1 3 0 半径为r 10 设所求动圆圆心为c x y 半径为r 依题意有消去r得r pc cc1 pc cc1 r 即 pc cc1 10 又p 3 0 c1 3 0 且 pc1 6 10 可见c点是以p c1为两焦点的椭圆 且c 3 2a 10 a 5 从而b 4 故所求的动圆圆心的轨迹方程为 拓展提升 1 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤 2 求解与椭圆相关的轨迹问题的方法 变式训练 一个动圆与已知圆q1 x 3 2 y2 1外切 与圆q2 x 3 2 y2 81内切 试求这个动圆圆心的轨迹方程 解题指南 两圆相切时 圆心之间的距离与两圆的半径有关 可以找到动圆圆心满足的条件等式 解析 由已知两定圆的圆心和半径分别为q1 3 0 r1 1 q2 3 0 r2 9 设动圆圆心为m x y 半径为r 如图所示 则由题设有 mq1 1 r mq2 9 r mq1 mq2 10 q1q2 6 由椭圆定义可知m在以q1 q2为焦点的椭圆上 且a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 故动圆圆心的轨迹方程为 易错误区 对椭圆的标准方程认识不清而致误 典例 2013 大理高二检测 若方程表示椭圆 则实数k的取值范围是 解析 由方程表示椭圆 可得 解得2 k 5且k 即当2 k 或 k 5时 方程表示椭圆 答案 2 5 误区警示 防范措施 1 牢记标准方程的特点在椭圆方程中 若m n 0 则椭圆的焦点在x轴上 若n m 0 则椭圆的焦点在y轴上 若m 0 n 0 m n 则焦点的位置不确定 如本例中椭圆的焦点位置不确定 故只要k 2 0 5 k 0 k 2 5 k即可 2 特殊情况的处理在椭圆的标准方程中 a2 b2 一旦a2 b2时 方程就不表示椭圆了 而是表示以原点为圆心的圆 如本例中要限制k 2 5 k 类题试解 2013 宁德高二检测 已知方程 k r 表示焦点在x轴上的椭圆 则k的取值范围是 a k3b 11d k 3 解析 选b 因为方程 k r 表示焦点在x轴上的椭圆 所以解得1 k 3 1 已知f1 f2是定点 f1f2 8 动点m满足 mf1 mf2 8 则点m的轨迹是 a 椭圆b 直线c 圆d 线段 解析 选d mf1 mf2 8 f1f2 点m的轨迹是线段f1f2 2 3 m 5 是 方程表示椭圆 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选b 方程表示椭圆时 解得 3 m 5且m 1 3 m 5 是 方程表示椭圆 的必要不充分条件 3 椭圆 a 0 的一个焦点坐标为 1 0 则a的值是 a 4b 2c d 1 解析 选b 由条件可知c 1 且焦点在x轴上 a 0 a2 3 1 解得a2 4 即a 2 4 设f1 f2是椭圆的焦点 p为椭圆上一点 则 pf1f2的周长为 解析 由条件知 a2 25 b2 9 c2 16 pf1f2的周长为 pf1 pf2 f1f2 2