高中数学 第二章 2.2.3 独立重复试验与二项分布课件 新人教A版选修23.ppt

2 2 3独立重复试验与二项分布 独立重复试验与二项分布的定义1 独立重复试验 一般地 在 条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 2 二项分布 一般地 在n次独立重复试验中 用x表示事件a发生的次数 设每次试验中事件a发生的概率为p 则 此时称随机变量x服从二项分布 记作 并称p为 相同 x b n p 成功概率 思考 1 要研究抛掷硬币的规律 需做大量的掷硬币试验 则每次试验的前提是什么 2 两点分布与二项分布之间有怎样的关系 提示 1 为了保证试验的效果 需要每次试验的条件相同 2 两点分布是特殊的二项分布 即x b n p 中 当n 1时 二项分布就是两点分布 知识点拨 1 独立重复试验满足的条件 1 每次试验是在相同的条件下进行的 2 各次试验的结果互不影响 即每次试验是相互独立的 3 每次试验都只有两种结果 即事件要么发生 要么不发生 2 两点分布与二项分布的区别和联系 类型一求n次独立重复试验的概率 典型例题 1 2013 温州高二检测 一枚硬币连掷3次 只有一次出现正面的概率为 2 某射手进行射击训练 假设每次射击击中目标的概率为且每次射击的结果互不影响 已知射手射击了5次 求 1 其中只在第一 三 五次击中目标的概率 2 其中恰有3次击中目标的概率 解题探究 1 事件满足什么条件才是独立重复试验 2 题2中事件 只在第一 三 五次击中目标 与 恰有3次击中目标 有什么关系 探究提示 1 每次试验是在相同的条件下进行的 各次试验的结果互不影响 即每次试验是相互独立的 每次试验都只有两种结果 要么发生 要么不发生 2 只有第一 三 五次击中目标说明已经指定了 而恰有3次击中目标 是指5次中有3次击中目标即可 即事件 只在第一 三 五次击中目标 是事件 恰有3次击中目标 中的一种 解析 1 选a 抛掷一枚硬币出现正面的概率为由于每次试验的结果不受影响 故由独立重复试验可知 所求概率为2 1 该射手射击了5次 其中只在第一 三 五次击中目标 是在确定的情况下击中目标3次 也就是在第二 四次没有击中目标 所以只有一种情况 又因为各次射击的结果互不影响 故所求概率为 2 该射手射击了5次 其中恰有3次击中目标 根据排列组合知识 5次当中选3次 共有种情况 因为各次射击的结果互不影响 所以符合n次独立重复试验概率模型 故所求概率为 互动探究 若题2的条件不变 求其中恰有3次连续击中目标 而其他两次没有击中目标的概率 解题指南 该射手射击了5次 其中恰有3次连续击中目标 而其他两次没有击中目标 应用排列组合知识 把3次连续击中目标看成一个整体可得共有种情况 解析 所求概率为 拓展提升 独立重复试验概率求解的关注点 1 运用独立重复试验的概率公式求概率时 首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验 判断时注意各次试验之间是相互独立的 并且每次试验的结果只有两种 即要么发生 要么不发生 在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等 然后用相关公式求概率 2 解此类题常用到互斥事件概率加法公式 相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式 变式训练 某气象站天气预报的准确率为80 计算 结果保留到小数点后面第2位 1 5次预报中恰有2次准确的概率 2 5次预报中至少有2次准确的概率 3 5次预报中恰有2次准确 且其中第3次预报准确的概率 解题指南 天气预报每次预报的结果只有两种 且每次预报相互独立 所以 1 5次预报恰有2次准确相当于做5次独立重复试验 事件 预报准确 发生2次 2 5次预报中至少有2次准确 由于包含事件较多 可以考虑其对立事件解答 3 5次预报中恰有2次准确 且其中第3次预报是准确时 则另一次预报准确必然在1 2 4 5中出现 解析 1 2 1 0 0064 0 00032 0 99 3 类型二二项分布问题 典型例题 1 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心 且每人只拨打一次 求他们中成功咨询的人数x的分布列 2 已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验 每次试验种一粒种子 如果某次没有发芽 则称该次试验是失败的 1 第一小组做了3次试验 记该小组试验成功的次数为x 求x的概率分布列 2 第二小组进行试验 到成功了4次为止 求在第4次成功之前共有3次失败的概率 解题探究 1 题1中成功咨询的人数x服从什么分布 2 题2中 到成功了4次为止 求在第4次成功之前共有3次失败的概率 的含义是什么 探究提示 1 成功咨询的人数服从二项分布 2 含义是求共进行7次试验 第7次是成功的 前6次中有3次失败 3次成功时的概率 解析 1 3个人各做一次试验 看成三次独立重复试验 拨通这一电话的人数即为事件发生的次数x 故符合二项分布 由题意 所以分布列为 2 1 由题意 随机变量x可能取值为0 1 2 3 则即 所以x的概率分布列为 2 第二小组第7次试验成功 前面6次试验中有3次失败 3次成功 每次试验又是相互独立的 因此所求概率为 拓展提升 判断一个随机变量是否服从二项分布的关键 1 对立性 即一次试验中 事件发生与否二者必居其一 2 重复性 即试验独立重复地进行了n次 3 随机变量是事件发生的次数 变式训练 袋子中有8个白球 2个黑球 从中随机地连续抽取三次 每次抽取一个球 求有放回时 取到黑球个数的分布列 解析 取到黑球数x的可能取值为0 1 2 3 又由于每次取到黑球的概率均为那么 故x的分布列为 类型三独立重复试验与二项分布的应用 典型例题 1 2013 长春高二检测 设随机变量x b 2 p y b 4 p 若则p y 2 的值为 2 2013 泰兴高二检测 甲乙两队参加奥运知识竞赛 每队3人 每人回答一个问题 答对者为本队赢得一分 答错得零分 假设甲队中每人答对的概率均为乙队中3人答对的概率分别为且各人回答正确与否相互之间没有影响 用 表示甲队的总得分 1 求随机变量 的分布列 2 用a表示 甲 乙两个队总得分之和等于3 这一事件 用b表示 甲队总得分大于乙队总得分 这一事件 求p ab 解题探究 1 p x k 表示什么含义 2 p ab 表示什么含义 探究提示 1 p x k 指的是x k的所有对应事件的概率和 2 p ab 表示的是事件a b同时发生的概率 解析 1 由得即9p2 18p 5 0 解得或 舍去 所以答案 2 1 由题意知 的可能取值为0 1 2 3 且所以 的分布列为 2 用c表示 甲得2分乙得1分 这一事件 用d表示 甲得3分乙得0分 这一事件 所以ab c d 且c d互斥 又由互斥事件的概率公式得 拓展提升 解决二项分布实际应用问题的关键点二项分布在生产实际中的应用十分广泛 如产品检验 医学检验等 求解此类问题的关键是把实际问题概率知识化 在此基础上 借助相关的概率知识求解 需特别注意 由于此类问题与实际问题结合密切 处理时应结合实际问题求解 变式训练 有10台都为7 5千瓦的机床 如果每台机床的使用情况是相互独立的 且每台机床平均每小时开动12min 问全部机床用电超过48千瓦的可能性有多大 保留两位有效数字 解析 由于每台机床正在工作的概率为而且每台机床有 工作 与 不工作 两种情况 故每一时刻正在工作的机床台数x服从二项分布 即x b 10 0 2 p x k 根据题意 48千瓦可供6台机床同时工作 用电超过48千瓦 即意味着7台或7台以上的机床在工作 这一事件的概率为 p x 7 p x 7 p x 8 p x 9 p x 10 由上面可以看到 用电量超过48千瓦的可能性是很小的 据此 可以选择适当的供电设备 做到既保证供电而又合理节约用电 规范解答 独立重复试验在实际问题中的应用 典例 条件分析 规范解答 1 设 这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯 为事件a 因为事件a等于事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯 在第三个路口遇到红灯 所以事件a的概率为 4分 2 设 这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 为事件b 这名学生在上学路上遇到k次红灯 的事件为bk k 0 1 2 则由题意 得 6分 10分由于事件b等价于 这名学生在上学路上至多遇到两次红灯 所以事件b的概率为 12分 失分警示 防范措施 1 解概率问题要全面考虑在确定随机变量x的所有可能取值时 要全面考虑 不可漏解 如本例容易忽略没有遇到红灯的情况 造成漏解 在求分布列时 一定要将x的取值考虑全面 特别是x 0的情形 2 解决问题要抓住问题本质对于相互独立事件与n次独立重复试验问题一定要抓住其事件的本质特征进行区别以免发生失误 如本例第 1 问 若对事件的本质把握不清 则容易造成求解失误 类题试解 2013 柳州高二检测 甲 乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中 规定先赢三局的队获胜 并且比赛就此结束 现已知甲 乙两队每比赛一局 甲队获胜的概率为乙队获胜的概率为且每局比赛的胜负是相互独立的 问 1 甲队以3 2获胜的概率是多少 2 乙队获胜的概率是多少 解析 1 设甲队以3 2获胜的概率为p1 则 2 设乙队获胜的概率为p2 则 1 独立重复试验满足的条件是 每次试验之间是相互独立的 每次试验只有发生和不发生两种情况 每次试验中发生的机会是均等的 每次试验发生的事件是互斥的 a b c d 解析 选c 根据独立重复试验的定义判断 2 任意抛掷三枚硬币 恰有2枚正面朝上的概率为 解析 选b 抛掷一枚硬币 正面朝上的概率为则抛掷三枚硬币可以看作独立重复试验 故恰有2枚正面朝上的概率为 3 已知随机变量x服从二项分布 则p x 2 等于 解析 选d 4 某射手每次射击击中目标的概率是0 8 现连续射击4次 则击中目标次数x的分布列为 解析 击中目标的次数x服从二项分布x b 4 0 8 所以即x的分布列为 答案 5 一名同学通过某种外语听力测试的概率为他连续测试3次 那么其中恰有1次