高中数学 第二讲 比较法课件 新人教A版选修45.ppt

第二讲证明不等式的基本方法一比较法 比较法 a b a b a b a b a b 1 作差比较法和作商比较法的实质分别是什么 提示 作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为判断一个数或式子与0的大小关系 作商比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为判断一个数或式子与1的大小关系 2 作商比较法适用于哪些类型的问题 提示 主要适用于积 商 幂 对数 根式等形式的不等式证明 3 已知a1 a2 0 1 m a1a2 n a1 a2 1 则m n的大小关系是 解析 m n a1a2 a1 a2 1 a2 1 a1 1 2 因为a1 a2 0 1 所以a2 1 a1 1 1 0 所以 a2 1 a1 1 0 1 所以 a2 1 a1 1 2 0 所以m n 答案 m n 4 设a b为不等的正数 且p a4 b4 a2 b2 q a3 b3 2 则有 比较p与q的大小 解析 p q a4 b4 a2 b2 a3 b3 2 a6 b6 a4b2 b4a2 a6 b6 2a3b3 a4b2 b4a2 2a3b3 a2b2 a2 b2 2ab a2b2 a b 2 因为a b为不等的正数 所以a2b2 a b 2 0 所以p q 答案 p q 1 作差比较法的适用范围当被证明的不等式是分式 整式时 一般用作差比较法 2 作商比较法中的符号问题在作商比较法中 是不正确的 这与b的符号有关 就是说在作商比较中 要对分母的符号作出判断 否则 结论将是错误的 若不等式两边的式子均为负值时 可先同乘以 1 转化不等式两边的式子均为正值后再进行证明 类型一作差比较法 典型例题 1 设x 0 y 0 则与的大小关系是 2 已知正数a b c成等比数列求证 a2 b2 c2 a b c 2 解题探究 1 真分数的分子与分母同加上一个正数 真分数的值会变大吗 2 正数a b c成等比数列能得出什么结论 探究提示 1 根据真分数的性质可知 真分数的分子与分母同加上一个正数 真分数的值会变大 2 若正数a b c成等比数列 则b2 ac 解析 1 答案 2 因为正数a b c成等比数列 所以b2 ac a2 b2 c2 a b c 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 2ab 4b2 2bc 2b a 2b c 所以a2 b2 c2 a b c 2 拓展提升 作差比较法证明不等式的技巧 1 作差比较法中 变形具有承上启下的作用 变形的目的在于判断差的符号 而不用考虑差能否化简或值是多少 2 变形所用的方法要具体情况具体分析 可以配方 可以因式分解 可以运用一切有效的恒等变形的方法 3 因式分解是常用的变形手段 为了便于判断差式的符号 常将差式变形为一个常数 或几个因式积的形式 当所得的差式是某字母的二次三项式时 常用判别式法判断符号 变式训练 若c a b 0 比较大小 填 或 解析 因为 又因为c a 0 c b 0 a b 0 c 0 所以即答案 类型二商比较法 典型例题 1 已知a 2 则loga a 1 log a 1 a 填 或 2 设a 0 b 0 求证 解题探究 1 两对数若底数不同 如何化成同底 2 由指数函数的性质可知a b满足什么条件时ab 1 探究提示 1 可以通过换底公式把两对数换成同底的 2 若0 a 1 则b 0时 ab 1 若a 1 则b 0时 ab 1 解析 1 因为a 2 所以a 1 1 所以因为因为a 2 所以 所以即所以答案 2 因为所以所以当a b时 显然有当a b 0时 当b a 0时 由指数函数的单调性 有综上可知 对任意a 0 b 0 都有 互动探究 题2中条件不变 求证 证明 因为所以所以当a b时 显然有当a b 0时 当b a 0时 由指数函数的单调性 有综上可知 对任意a 0 b 0 都有 拓展提升 作商比较法证明不等式的一般步骤 1 作商 将不等式左右两边的式子进行作商 2 变形 化简商式到最简形式 3 判断 判断商与1的大小关系 也就是判断商大于1或小于1或等于1 4 得出结论 变式训练 比较大小 填 或 解题指南 利用作商法比较 解析 因为所以又所以答案 规范解答 比较法证明不等式 典例 12分 规范解答 2分 条件分析 当a 0 b 0时 所以所以 6分 当a b有一个负数时 不妨设a 0 b 0 且a b 0 所以a b 又n为偶数 所以所以所以 10分综上所述 12分 失分警示 防范措施 1 正确应用作差比较法证明不等式利用作差法证明不等式关键在于变形 变形的目的在于判断差的符号 变形的方法可以利用配方法 因式分解等一切有效的恒等变形的方法 如本例 若变形不正确或是不彻底 则后面的证明是相当困难的 2 注意分类讨论思想的应用对于含有字母且字母取值不确定的要考虑分类讨论 分类时要恰当选择分类标准 如本例对a b的取值进行分类讨论 类题试解 若a b c 求证 bc2 ca2 ab2 b2c c2a a2b 证明 bc2 ca2 ab2 b2c c2a a2b bc2 c2a ca2 b2c ab2 a2b c2 b a c a b a b ab b a b a c2 ac bc ab b a c a c b 因为a b c 所以b a 0 c a 0 c b 0 所以 b a c a c b 0 所以bc2 ca2 ab2 b2c c2a a2b 1 已知若x m4 m3n y mn3 n4 则x y的大小关系为 a x yb x yc x yd 与m n的取值有关 解析 选a x y m4 m3n mn3 n4 m3 m n n3 m n m n m3 n3 m n 2 m2 mn n2 因为所以x y 0 即x y 2 设0 b a 1 则下列不等式成立的是 a ab b2 1b c 2b 2a 2d a2 ab 1 解析 选c 因为0 b a 1 所以ab b2 故a不正确 因为0 b 1 0 a 1 所以故b不正确 因为a2 ab 故d项不正确 选项c正确 3 已知a 0 且a 1 p loga a3 1 q loga a2 1 则p q的大小关系是 a p qb p qc p qd 大小不确定 解析 选a 当0 a 1时 0 a3 1 a2 1 所以即p q 0 所以p q 当a 1时 a