专家访谈：关于小学数学的数学味.doc

关于小学数学的数学味王尚志教授访谈录施银燕 王尚志王尚志：首都师范大学数学系教授、博士生导师。普通高中数学课程标准负责人之一。施银燕：北京第二实验小学教师，首都师范大学数学系博士生。数学是多彩的，“数学味”的内涵也是丰富的施银燕（以下简称施）：王教授，您好！新课程改革之初，一些热闹而又走样的数学课引起了老师们的反思，张奠宙教授曾告诫当心“去数学化”，这一观点得到了广大教师的支持和赞同。“数学课要有数学味”成了老师们的共识。随着实践和思考的深入，大家对“数学味”的认识也发生了根本的变化：从起初关注教学内容是数学的还是非数学的：“不要种了别人的田而荒了自己的地”到如今的关注数学的本质：“把握数学教学的根”。可究竟什么是数学的本质呢？王尚志（以下简称王）：我并不愿意给数学的本质下定义。可能有人认为这是可以给定义的，我觉得最好还是不要这么“抠”，说数学就是什么，还是从具体的例子来讨论问题可能更好。施：对于这个问题，有些数学教育家从不同侧面给出了回答。史宁中教授曾说“数学的本质就是分类”，梁贯成先生在一次报告中曾提到数学和科学完全不同。对于专家的观点，我们应该怎么理解？王：“数学的本质是分类”我猜测这句话不是史教授的本意，有可能是很随口的一句话，在当时语境下的有感而发。脱离了具体的语境谈“数学的本质就是分类”未免有断章取义之嫌。分类的确是非常重要的研究方法，但不是数学的专利。梁先生说“数学不是科学”可能想强调数学的严格性。但是因此而断定操作实验就不是数学的方法，我认为并不妥当。数学尤其是小学数学，可能就是依赖观察、操作加上一些点到为止的说理得出结论的。说“数学是科学”或“数学不是科学”，说到底还要看你对数学和科学的定义如何，我想最好还是不要在文字上去做这个游戏。施：听了您的话，很受启发。原来一直很困惑于罗素关于数学的定义“数学是这样一门学科，在其中我们永远不会知道我们所讲的是什么，也不会知道我们所说的是不是真的。”现已释然。大概也是特定情况下表达的某种特定的情感吧。可以这样说，数学的内涵是多彩的，因此，对“数学味”的界定也是丰富的，不必在定义上过多纠缠。数学味，重要的是学生对数学的理解施：说到数学，就会提到数学语言的严谨性。我在刚参加工作时就知道这是一个不能碰的雷区：数学老师一旦用错概念说错话，便是“科学性错误”，因这一点就会“一票否决”。细细想来，觉得不少争论不休的问题似乎没多大意义。您能就下面例子分析一下吗？例1“描出图形的周长”是错的。因为周长是封闭图形一周的长度，长度怎能描出来呢？所以某教材在周长一课中呈现的都是描一描（指一指）它的“边线”。与之类似的有：三角形的高有3条，而平行四边形的高则有无数条。因为三角形高的定义为“一个顶点向它的对边或者对边延长线引垂线，顶点到垂足间的线段”；而平行四边形高的定义为“对边之间的距离”。前者是线段，位置确定；后者是距离，位置不定所以有无数条。例2“万级的数位有万、十万、百万、千万”是错的。因为“万、十万、百万、千万”是计数单位，“万位、十万位、”才是数位的名称，二者不能混淆。（某地教研室编制的测试卷）例3“等式两边同乘一个实数仍然相等”是错的。因为等式性质是“等式两边乘同一个实数仍然相等”，“乘同”和“同乘”含义是不一样的。（中学数学教与学.人大复印 2009/1 P3）王：我的想法还是不要过多地在抽象的问题上让学生去做这些区别，应关注对具体问题的理解。线段和长度，某种意义上说本就是一回事。数位和计数单位之间有着密切的联系，在遇到具体的问题学生也不会混淆。而在字面上进行机械的区分为难学生没有多大意义。比如给一个多位数，十万位上是3，这个3表示3个什么？学生能理解这样的问题就可以了。“乘同”、“同乘”并不是数学上的什么概念。说“同乘一个实数”即“同时乘一个实数”，乘的自然是相同的数，不至于认为左边乘2右边乘3去。在这些问题上较真，会让孩子脑子里充斥着与朴素认识相矛盾的东西，反而不利于他们对数学的理解。施：不应拘泥于表面的文字，而应关注学生真正的理解！王：对，要学会听懂孩子们的“数学普通话”！学生没有系统学过数学，也正因为如此，他们思考问题时也就少了一些条条框框，有时反而更容易接近数学的本质。抛开一些名词、概念，重要的思想往往是相通的。我一直有个想法，就是孩子的想法，原则上一定是有道理的。不管在你眼里他是聪明的还是愚笨的，他可能没我们看得那么远，但是最近的一步往往是有道理的。能理解孩子朴素想法里可能蕴藏着的数学本质，在此基础上逐步引导他学会讲道理，这一点很重要。“数学味”不能靠简单下放，而需要深度思考施：课改赋予教师更多的“教什么”的自主权。实际教学中，我们还常看到不少课拥有十分华丽的尾巴把一些中学甚至大学的数学知识或方法下放。比如小学里就讲实数的连续性和有理数的稠密性，教学平行时谈到黎曼几何，往往这样的课也因为“有数学味”得到大家的肯定。对于这一点，您怎么看？王：有一点我们应该清楚，就是不见得老师知道的一定要让学生知道。前不久我刚和老师们讨论过小学的确定位置一课，老师们都舍不得放弃研究一条直线上各点或一个三角形各定点数对的特点这个环节，甚至还有老师提要渗透直线的斜率等，我想说，就一个特殊图形做文章这是以后会处理的事，没有必要在刚接触坐标时蜻蜓点水地做。确定位置最重要的是什么？应该是对参照点、方向、单位的体会！用数对刻画位置，是实现空间有序化结构化的基础。这是我们要重点做的文章。我们的认识可能有一些误区，我们往往崇拜高深的、欣赏简洁巧妙的。其实重要的思想方法往往能以极其朴素的形式表达出来。施：蜻蜓点水般把中学数学中的某些知识在小学课堂中走一朝不是路子，要下的功夫应该是怎样简单中显深刻，浅显中见经典。您能再举一些例子具体谈谈吗？王：最近几年我和小学老师有些接触，我们会讨论一些具体问题，挺有意思。比如估计，它是本次课程改革特别加强的内容。小学阶段，大家比较认同的把“估计”分为三种类型：计算“估计”（简称为估算）、测量“估计”（简称为估测）和数量“估计”（简称为估数）。我们可以看出，它们是依据“估计”对象和内容的不同划分的。但是从数学的角度看，这三种“估计”类型拥有共同的特点，例如：都需要首先确定数量级(或单位)；结果的正确与否都需要评价者给定误差范围才能确定；结果的正确与否与实际情境密切相关等。所以这样的分类对估计的数学内涵的认识没什么实质的帮助。在“估计”的数学本质没有阐述清楚之前，就想讨论估计的策略、技巧等可能意义不大。我们不妨结合实际案例来分析：如我们常常见到这样的题目：估算24.8248的结果。但是这样的估算题目并没有对结果的误差范围作要求，所以我们可以进行以下几种“估计”：一是利用四舍五入法取近似数，把原算式变为20 50，从而估计出结果的数量级为103；二是将24.82和48都往大估，把原算式变为30 50确定出1500是原计算结果的一个上界，再将24.82和48都往小估，把原算式变为20 40确定出800是原计算结果的一个下界，这样就确定出原计算结果在800到1500这个区间中。我们还可以在此基础上，不断缩小误差范围，求得更佳近似值。再如要估计一座15层楼的高度约是多少米，可以以自己的身高为基准量，估计出每一层的楼高约是多少倍的身高，再推测整个楼的高。这里最重要的是选定“估计”的单位，这些单位可以是科学中已经规定好的单位，如“厘米、千克”等，也可以是自己规定的单位，如刚才我们把自己的身高当做基准量。从上面分析可以看出，“估计”中包含的数学内涵有“界、单位、数量级、误差与近似”，而“界、单位、数量级、误差与近似”则是我们从小学到大学的数学学习中反复出现，贯穿始终的数学思想和方法。显然从这四个不同维度再去审视估计，比“估数、估算、估测”更能反映数学的本质。 施：您的分析让我们很受启发！很多时候由于我们自身数学修养的欠缺，不能站在更高的层次来审视小学数学。可能我们最急需的还是加强学习，您能给我们提些建议吗？王：我觉得单纯的学习不一定有效。不少老师有这样的经验：上大学学了高等数学，忘了中小学数学，回到中小学又彻底忘了高等数学。关键还在于深度的思考，从整体上去把握数学课程。我让我的学生思考，在小学（或中学）数学里，最重要的是什么？有哪些主线？我和学生有这样的共识：凡是反复出现的必然是重要的！我们要清楚，教材呈现的是线性序，但孩子的认识不一定是线性序。比如，四则运算，教材呈现的是加减乘除的顺序，但是一定要学了加法后才能学减法吗？减法也可以由“倒着数数”过来。多一些这样基础性的思考，就多了讲道理的可能。再如，教材都是先安排字母表示数，然后才有方程。但是不学字母表示数就不能学方程吗？说得极端一些，如果中国在历史上足够强大的话方程中的符号都用汉字也不一定呢。我并非要抹杀字母符号的作用，或说教材必须调整顺序，我想如果能换一个角度思考，你可能更容易发现孩子代数思维的萌芽并加以适当的引导。再有，我不赞成把“数学味”和“生活味”对立。数学贴近生活必需要坚持，这是课程改革以来一个很好的尝试，可能在摸索的过程中还存在着一些问题，但不能因此而回到过去。现在我们需要的是开发大量的数学贴近生活的案例，在此基础上再讨论如何调整。我们讲数学要贴近生活很重要的一个作用，就是把数学变得容易一些。传统的从定理到定理更糟糕，教的学生只会用模式套，脑子里没有具体的东西。我曾经在讲课时让老师们举出无理数的例子，基本上除了 就是了。 如何引导学生触摸数学的本质施：您从具体数学知识中谈应突出的数学本质，很亲切。而把对数学的认识转化成实践智慧又是很重要的一关。您可否也结合案例，从数学的角度，对我们教学的实施给出一些具体的分析和建议呢？王：就从颇有争议的“鸡兔同笼”说起，如何？案例：问题：1支铅笔4元，1支钢笔7元。用46元正好买了10支笔，怎么买？方法1 尝试调整生：我先试试吧。看看买5支钢笔和5支铅笔要多少钱。57+54=55（元）钱不够了，这么买不行。师：钱为什么不够了？看来是什么买多了？生：钢笔买多了。师：为什么钢笔买多了，钱就多了？生：因为钢笔贵。师：那么下一步该怎么办？应朝哪个方向试？生：钢笔少买些，看看4支钢笔，6支铅笔行不行。4支钢笔，6支铅笔共52元，还比46元多。钢笔再少一些。试1支钢笔9支铅笔共43元，钱比46元少了。师：这么看来，正确的结果一定在哪里？为什么？生：方法2 穷举列表生：一共买10支笔，可能是3支钢笔和7支铅笔，也可能是6支钢笔和4支铅笔。师：还有哪些可能？生：也可能是（4，6），（5，5），（2，8）师：有什么办法可以保证一个不漏地说出所有可能？引导孩子选择其中一种，如铅笔作维度进行分类讨论：0支，1支，2支，10支。师：用什么方式可以把我们的分类清楚地表示出来？引导学生列表。方法3 假设推理生：假设买的10支都是铅笔，共40元，还剩出6元。师：现在要想办法，怎么把这剩下的6元花出去？生：拿1支铅笔，添上3元，就能换1支钢笔。6元里有2个3元，就换2支钢笔。方法4 代数方程生：只知道铅笔和钢笔共10支，买铅笔和钢笔共用了46元。怎么求铅笔和钢笔的支数呢？师：别着急！你们已经找到了最重要的关系。能把你们找到的关系用式子写出来吗？生：铅笔支数+钢笔支数=10铅笔钱数+钢笔钱数=46师：这里，铅笔支数、钢笔支数、铅笔钱数、钢笔钱数都不知道，不知道的太多了，有没有什么办法让这里不知道的变少一些？生：因为铅笔每支4元，所以铅笔钱数就是铅笔支数4，同样，钢笔钱数就是钢笔支数7。就有铅笔支数4+钢笔支数7=46师：我们用铅笔支数4代替铅笔钱数，用钢笔支数7代替钢笔钱数，就少了两个不知道的东西了。现在还有两个不知道的，能不能再少一点不知道的？生：只要知道铅笔支数，就能知道钢笔支数了。我们也可以用10-铅笔支数来代替钢笔支数，这样就只剩一个不知道的了。王：四种不同的方法，其反映的数学本质不相同，在以后的数学学习中作用也各不相同。我曾经在北京、天津两地作讲座时询问过老师，结果小学老师有95%以上喜欢假设法，初中老师则100%喜欢方程。方法1和方法2因为繁琐原始、不够高级让大家不屑。而如果跳出中小学数学来看，方法1，2有着非常重要的价值。尝试是数学里解决问题的基本思路，在中小学可举出大量依赖尝试解决的例子。比如，减法是加法的逆运算，我们都是学会了加法才学减法，求15-8=？，我们会想8+？=15。通常我们的教法是强化加法，加法练得极其熟练，熟到看8+？=15就能脱口而出7的程度。实际上这个问题完全可以让学生去尝试。我可以先试着8+（10）=18，结果比15多，说明加10加多了，那么再试着加一个小一点的数，8+（5）=13，结果小了，由此一定能确定要加的数一定在5和10之间，这样就可以缩小范围再试，经过有限次的尝试，一定能找到结果。这个过程比纯粹为了记住一个得数的训练要有意义得多，学生对加法的一个最基本的性质有了体验，即加的越多，结果就越多。不提函数思想，也不用说单调性，这不就是具体的渗透吗？再如，我曾经问中小学老师们： 是多少，大家都能对答如流，但我问 是多少？结果许多老师就不会做了。其实真正会算 ，就一定会算 。什么是 ？平方等于2的那个数，记为 。我们能求出 ，是因为对于两个大于0的有理数，有0r1r2 0r12r22因为 12222 所以1 2进一步：1.4221.52 所以1.4 1.5这样，把 小数数位上的数字逐一确定下来，就求出了 。求 是完全一样的道理，会尝试，会求 ，所有的开方都应会。施：尝试还能用在其他领域吗？王：再如求不规则图形的面积，可用方格纸覆盖分别求出过剩近似值和不足近似值，不断地细分方格，就能越加准确。这个过程也是尝试。再往后，解微分方程都是试，可以说从微积分往后，只要是需要算出值的问题，一定需要尝试。尝试可以说是数学上最重要也最基本的方法，它突出的是