高考数学一轮复习第8章平面解析几何第9讲直线与圆锥曲线的位置关系知能训练轻松闯关理.docx

第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系1过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条B2条C3条 D4条解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)2已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1，C(，) D，)解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意得2，所以e.3双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y212x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为()A6 B2C. D2解析：选D.设双曲线C1的方程为1(a0，b0)由题意可知抛物线C2的焦点为(3，0)，准线方程为x3，即双曲线中c3，a2b29，将x3代入双曲线方程，解得y，又抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，所以24，与a2b29联立得，a22a90，解得a，故双曲线C1的实轴长为2，故选D.4经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于()A3 BC或3 D解析：选B.依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，所以，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.5(2016太原模拟)已知中心为原点，一个焦点为F(0，5)的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选C.由已知得c5，设椭圆的方程为1，联立得消去y得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，设直线y3x2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2，由题意知x1x21，即1，解得a275，所以该椭圆方程为1，故选C.6过抛物线y22px(p0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若(1)，则的值为()A5 B4C. D.解析：选B.根据题意设A(x1，y1)，B(x2， y2)，由，得，故y1y2，即.设直线AB的方程为y，联立直线与抛物线方程，消元得y2pyp20.故y1y2p，y1y2p2，2，即2.又1，故4.7(2016宜宾模拟)已知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_解析：由题意得|PF2|，又|F1F2|PF2|，所以2c，因为b2a2c2，所以c22aca20，所以e22e10，解得e1，又0e1，所以e1.答案：18(2016辽宁省大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为_解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y2(x1)由方程组消去y，整理得3x25x0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，x1x20.则|AB|.答案：9(2014高考江西卷)过点M(1，1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以0，所以.因为，x1x22，y1y22，所以，所以a22b2.又因为b2a2c2，所以a22(a2c2)，所以a22c2，所以.答案：10已知双曲线C：1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若|AB|5，则满足条件的l的条数为_解析：因为a24，b25，c29，所以F(3，0)，若A，B都在右支上，当AB垂直于x轴时，将x3代入1得y，所以|AB|5，满足题意；若A，B分别在两支上，因为a2，所以两顶点的距离为2240)上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B.若点Q的坐标为(1，6)，求直线AB的方程及弦AB的长解：由Q(1，6)在抛物线y22px上，可得p18，所以抛物线C1的方程为y236x.设抛物线C2的切线方程为y6k(x1)联立消去y，得2x2kxk60，k28k48.由于直线与抛物线C2相切，故0，解得k4或k12.由得A；由得B.所以直线AB的方程为12x2y90，弦AB的长为2.12(2016北京模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线x21的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围解：(1)由题意知e，所以e2，所以a2b2.因为双曲线x21的焦点坐标为(0，)，所以b，所以a24，所以椭圆C的方程为1.(2)当直线l的倾斜角为0时，不妨令A(2，0)，B(2，0)，则4，当直线l的倾斜角不为0时，设其方程为xmy4，由(3m24)y224my360，由0(24m)24(3m24)360m24，设A(my14，y1)，B(my24，y2)因为y1y2，y1y2，所以(my14)(my24)y1y2m2y1y24m(y1y2)16y1y24，因为m24，所以.综上所述，的取值范围为.1(2015高考全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A.由题意知a，b1，c，所以 F1(，0)，F2(，0)，所以 (x0，y0)，(x0，y0)因为 0，所以 (x0)(x0)y0，即x3y0.因为点M(x0，y0)在双曲线上，所以y1，即x22y，所以22y3y0，所以y0.故选A.2(2015高考山东卷)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y(xc)因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得1，化简得yb或yb(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，b)，代入直线方程得b(2ac)，化简可得离心率e2.答案：23(2016衡水调研)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|2，点在该椭圆上(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AF2B的面积为.求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程解：(1)由题意知c1，2a 4，a2，故椭圆C的方程为1.(2)当直线lx轴时，可取A，B，AF2B的面积为3，不符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，代入椭圆方程得：(34k2)x28k2x4k2120，显然0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.可得|AB|，又圆F2的半径r，所以AF2B的面积为|AB|r，化简得17k4k2180，得k1，所以r，圆的方程为(x1)2y22.4(2015高考湖南卷)已知抛物线C1 ：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点，C1 与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率解：(1)由C1：x24y知其焦点F的坐标为(0，1)因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21.又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以1.联立，得a29，b28.故C2的方程为1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因为与同向，且|AC|BD|，所以，从而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2