广东省广州市白云区汇侨中学九年级上数学《第22章一元二次方程》复习课件

第二十二章一元二次方程复习 一 一元二次方程 定义 解法 应用 等号两边都是整式 只含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次数是2 二次 的方程叫做一元二次方程 一元二次方程的概念 特点 都是整式方程 只含一个未知数 未知数的最高次数是2 ax2 bx c 0 a 0 二次项系数 一次项系数 常数项 一元二次方程的一般形式 一般地 任何一个关于x的一元二次方程都可以化为的形式 我们把 a b c为常数 a 0 称为一元二次方程的一般形式 1 判断下面哪些方程是一元二次方程 练习二 2 把方程 1 x 2 x 3 x2化为一般形式是 其二次项系数是 一次项系数是 常数项是 3 方程 m 2 x m 3mx 4 0是关于x的一元二次方程 则 A m 2B m 2C m 2D m 2 2x2 3x 1 0 2 3 1 C 4 关于x的方程 a2 4 x2 a 2 x 1 0 1 当a取什么值时 它是一元一次方程 2 当a取什么值时 它是一元二次方程 a 2 当a 2时 原方程是一元一次方程 2 a2 4 0 a 2 当a 2时 原方程是一元二次方程 你学过一元二次方程的哪些解法 说一说 因式分解法 开平方法 配方法 公式法 例 解下列方程 用直接开平方法 x 2 2 2 用配方法解方程 4x2 8x 5 0 3 用公式法解方程 3x2 4x 7 4 用分解因式法解方程 y 2 2 3 y 2 你学过一元二次方程的哪些解法 说一说 因式分解法 开平方法 配方法 公式法 一元二次方程的 基本解法 你能说出每一种解法的特点吗 1 用因式分解法的条件是 方程左边能够分解 而右边等于零 因式分解法 2 理论依据是 如果两个因式的积等于零那么至少有一个因式等于零 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 方程的右边 0 二分 方程的左边因式分解 三化 方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程两个解 方程的左边是完全平方式 右边是非负数 即形如x2 a a 0 开平方法 用配方法解一元二次方程的步骤 1 变形 把二次项系数化为12 移项 把常数项移到方程的右边 3 配方 方程两边都加上一次项系数一半的平方 4 变形 方程左边分解因式 右边合并同类 5 开方 根据平方根意义 方程两边开平方 6 求解 解一元一次方程 7 定解 写出原方程的解 配方法 用公式法解一元二次方程的前提是 公式法 1 必需是一般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 2 b2 4ac 0 选用适当方法解下列一元二次方程 1 2x 1 2 64 法 2 x 2 2 x 2 0 法 3 x 2 4 x 法 4 x x 10 法 5 x x 法 6 x x 1 0 法 7 x x 法 8 y2 y 1 0 法 选择方法的顺序是 直接开平方法 分解因式法 公式法 配方法 因式分解 因式分解 公式 公式 公式 因式分解 公式 直接开平方 练习 1 2005福州中考 解方程 x 1 x 2 62 2005北京中考 已知 a2 b2 a2 b2 3 10求a2 b2的值 3 解下列方程 1 x2 0 2 x x 6 2 x 6 4 2004武汉中考 试证明关于x的方程 a2 a 2 x2 ax 2 0无论a取何值 该方程都是一元二次方程 中考直击 思考 5 已知 x2 3xy 4y2 0 y 0 求的值 6 4x2 x 甲同学是这样做的 你看对吗 方程两边同除以4 得x2 直接开平方得x 所以原方程的解是x1 x2 乙同学是这样做的 也请你 诊断 一下 将方法两边同除以x 得4x 1即得方程的解为x 练习 选用适当方法解下列方程 小结 通过对本例的分析及解题过程 可以得到 4 当因式分解有困难时 就用公式法 配方法一般不用 如果把方程化为一般形式后 它的二次项系数为1 一次项系数是偶数 用配方法更好 3 解一元二次方程常用因式分解法 2 在解方程时 应注意方程的特点 合理选择简捷的方法 1 如果方程缺一次项 可以用直接开平方法来解 形如的方程 7 用配方法说明 不论k取何实数 多项式k2 3k 5的值必定大于零 8 关于x的方程2x2 m 4 x m 4 0有两个实数根 求m的取值范围 10 已知x2 7xy 12y2 0 求证 X 3y或 4y 9 你会解方程 x2 2 x 1 0吗 一元二次方程的根与系数 根的判别式 b2 4ac 练习 1 方程2x2 3x k 0根的判别式是 当k时 方程有实根 2 方程x2 2x m 0有两个相等实数根 则m 3 关于x的方程x2 2k 1 x k 3 0 试说明无论k为任何实数 总有两个不相等的实数根 4 关于x的一元二次方程mx2 2m 1 x 2 0的根的判别式的值等于4 则m 一元二次方程的根与系数的关系 若ax2 bx c 0的两根为x1 x2 则x1 x2 x1x2 以x1 x2为根 二次项系数为1 的一元二次方程为 x2 x1 x2 x x1x2 0 一元二次方程的根与系数 韦达定理 已知两数的和是4 积是1 则此两数为 拓展练习 已知方程x2 mx 2 0的两根互为相反数 则m 2 已知方程x2 4x 2m 0的一个根 比另一个根 小4 则 m 3 已知方程5x2 mx 10 0的一根是 5 求方程的另一根及m的值 4 关于x的方程2x2 3x m 0 当时 方程有两个正数根 当m时 方程有一个正根 一个负根 当m时 方程有一个根为0 A B C 如图 点C把线段AB分成两条线段AC和BC 如果那么称线段AB被点C黄金分割 goldensection 点C叫做线段AB的黄金分割点 AC与AB的比称为黄金比 为什么是0 618 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似 即审 设 列 解 验 答 题型 增长 下降 率问题 面积问题 速度问题 几何与方程 1 将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正方形 做成一个无盖的盒子 已知盒子的容积是400cm3 求原铁皮的边长 2 某果园有100棵桃树 一棵桃树平均结1000个桃子 现准备多种一些桃树以提高产量 试验发现 每多种一棵桃树 每棵棵桃树的产量就会减少2个 如果要使产量增加15 2 那么应种多少棵桃树 经济效益与方程 三 二次三项式的因式分解 中的因式千万不能忽略 2 在分解二次三项式 的因式时 可先用求根公式求出方程 的两个根x1 x2然后 写成 a 例题讲解 例1把 分解因式 此步的目的是去掉括号内的分母 练习 如图1 A B C D为矩形的四个顶点 AB 16cm AD 6cm 动点P Q分别从点A C同时出发 点P以3cm s的速度向点B移动 一直到达B为止 点Q以2cm s的速度向D移动 1 P Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33cm2 2 P Q两点从出发开始到几秒时 点P和点Q的距离是10cm 图1 C 练习 1 在矩形ABCD中 点P从点A沿AB向点B以每秒2cm的速度移动 点Q从点B开始沿BC向点C以每秒1cm的速度移动 AB 6cm BC 4cm 若P Q两点分别从A B同时出发 问几秒后P Q两点之间的距离为cm 例 已知实数a b满足条件a2 4b2 2a 4b 2 0 你认为能够求出a b的值吗 如果能 请求出a b的值 如果不能 请说明理由 8 已知关于x的方程 a为何非负整数时 1 方程只有一个实数根 2 方程有两个相等的实数根 3 方程有两个不相等的实数根 练一练 1 一张长方形铁皮 四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形 再折起来做成一个无盖的小盒子 已知铁皮的长是宽的2倍 做成的小盒子的容积是1536cm3 求长方形铁皮的长与宽 2 一块长方形木板长40cm 宽30cm 在木板中间挖去一个底边长为20cm 高为15cm的等宽U形孔 已知剩下的木板面积是原来面积的 求挖去的U形孔的宽度 5 已知关于x的方程 m 3 x2 2x m2 9 0有一个根是0 试确定m的值 解 0是方程的解 代入得m2 9 0 m 3 经检验m 3都符合题意 m 3 解 把方程化简 得 b c x2 2ax c b 0 b2 4ac 2a 2 4 b c c b 4a2 4 c2 b2 4a2 4c2 4b2 0 a2 c2 b2 0 即a2 b2 c2 ABC是直角三角形 返回 效果检测 6 把方程x2 3mx 8的左边配成一个完全平方式 在方程的两边需同时加上的式子是A 9m2B 9m2x2C