活用基本图形提高学生快速解题的能力.doc

活用基本图形提高学生快速解题的能力 贵州省铜仁市第五中学：张君义 我们学习了三角形相似这一章，从湘教版教材编排的例题、习题中出现最多，运用最广的几何图形归纳起来有两种。如图 型如大写字母“A”，我们叫“A型”。如图 型如大写字母“X”，我们叫“X型”。现谈谈这两种基本图形在几何证明题中的运用。一、直接运用“A”型或“X”型解题例1：图1，D、E分别是ABC的边AB，AC上的点，DEBC,则下列式子中不能成立的是（ ）A. B. C. D. 解析：根据平行线分线段成比例定理对各选项分析，判断后利用排除法求解。解：DEBC，（）成立；DEBC，（）成立；由，知AEBD = ADCE, 成立。答案：D例2：图2，,AB=3,BC=5,DF=12.求DE和EF的长.解：, .设DE=x,则EF=12-x , ,解得：x=4.5 .经检验x=4.5是原方程的解，DE=4.5,EF=7.5.二、两次运用“A”型或“X”型解题例3：图3：在平行四边形ABCD中，E是BA边延长线上一点，CE交对角线DB于点G，交AD边于点F.求证：证明：在平行四边形ABCD中CDAB,.(第一次用“X”型) BCAD,.（第二次用“X”型） 例4：图4，在RtABC中，ACB=，以AC为一边向外作正方形ACDE,BE交AC于F，过F作FPBC，交AB于P。求证：ABBC=BDBP.证明：CFDE , .（第一次用“A”型）FPBC,BDAE,PFAE,（第二次用“A”型）, ABBC=BDBP.要直接证明等积式ABBC=BDBP成立，需将其转化为比例式，与之间没有直接的联系，所以需要引入“过渡比”(也叫中间比)。“过渡比”的作用是把两个比例式联系起来，类似于等量代换的“桥梁”作用。三、添加辅助线构造“A”型或“X”型解题例5：图5：ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E,且AD=CE,DE交AC于点F.求证：ABDF=BCEF .分析：要证明ABDF=BCEF，即,由于EF、DF是同一直线上的两条线段，故可考虑转化线段的比。作DGCE交AC于点G，则,而AD=CE,那么只需证明即可。证明：过点D作DGBC 交AC于点G,DGFECF, ADGABC, , .又AD=CE, ,即ABDF=BCEF过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型相似三角形，通过相似三角形转化线段比.例6：图6，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于点F，连结FC（ABAE）.AEF与ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；设=k,是否存在这样的k值，使得AEFBFC ?若存在，请说明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由.分析：通过作辅助线构造“X”型相似三角形或全等三角形，证明RtAEF与RtECF的任意一组锐角对应相等即可同；首先假设存在k使得AEF与BCF成立，由AEF与BCF列出线段比例式,即BF=2AF.由可知CF=CG=4AF,在RtBFC中，由勾股定理可得到等量关系，进而可求出k的值。 证明：延长FE、CD,相交于点G，在RtAEF与RtDEG中，AEF=DEG,AE=DE,RtAEFRtDEG,AFE=G,FE=GE,E为FG的中点。又CEFG,FC=GC,CFE=G,AFE=EFC.又A=FEC=,AEFECF.当k=时，AEFBFC .证明：假设存在这样的k使得AEFBFC。设AF=x,由AEFBFC,得，,BF=2x.又RtAFERtDGE，DG=AF=x,CG=CD+DG=4x,即CF=4x.k ,BC= .在RtFBC中，由勾股定理，有即 .解得k=（舍去负值）.即当k=时，AEFBFC .从以上几例可见，在几何的教学中教师要从多方面、多角度引导学生归纳