中考代数-方案设计与决策型问题.doc

中考方案设计与决策型问题方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题题型主要包括：1根据实际问题拼接或分割图形；2利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视方法点拨解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.类型一、利用方程（组）进行方案设计1国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： （1）求这两种货车各多少辆？（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费 答案与解析 【思路点拨】（1）设大货车用x辆，则小货车用18x辆，根据运输228吨物资，列方程求解；（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8a）辆，前往甲地的小货车为（9a）辆，前往乙地的小货车为10（9a）辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式；（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案.【答案与解析】解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得， 解得 答：大货车用8辆，小货车用10辆（2）根据题意，得w=720a+800（8-a）+500（9-a）+65010-（9-a）=70a+11550， w=70a+11550（0a8且为整数）.（3）16a+10（9-a）120，解得a5，又0a8，5a8且为整数， 而w=70a+11550，k=700，w随a的增大而增大， 当a=5时，w最小，最小值为W=705+11550=11900（元） 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车，4辆小货车前往甲地；3辆大货车，6辆小货车前往乙地 最少运费为11900元【总结升华】这是一道典型的三个“一次”携手结伴的中考试题，把一元一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数有机地结合起来，和谐搭配，形成知识系统化、习题系列化，可谓“一石三鸟”.类型二、利用不等式（组）进行方案设计2某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆（1）某个课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；（2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？答案与解析 举一反三 【思路点拨】根据甲种花卉不超过349盆，乙种花卉不超过295盆，列出不等式组A、B两种园艺造型，求出设计方案种类.分别结算出各种方案所需成本，选出最低成本的方案.【答案与解析】解：（1）设搭建A种园艺造型x个，则搭建B种园艺造型（50-x）个. 根据题意得解得， x为整数， x=31，32，33 可设计三种搭配方案： 方案 1：A种园艺造型31个，B种园艺造型19个； 方案 2：A种园艺造型32个，B种园艺造型18个； 方案 3：A种园艺造型33个，B种园艺造型17个（2）B种造型的造价成本高于A种造型成本， B种造型越少，成本越低，故应选择方案3，成本最低 则应该搭配A种33个，B种17个. 最低成本为：33200+17360=12720（元） 答：应选择方案3成本最低，最低成本为12720元【总结升华】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，也可列出成本和搭配A种造型数量x之间的函数关系，用函数的性质求解;或直接算出三种方案的成本进行比较也可. 对于方案设计类问题，结合列方程（组）或不等式（组）解决.【变式】荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和l辆乙型汽车共需费用2450元且同一种型号汽车每辆租车费用相同（1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?（2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来，并求出最低的租车费用 答案与解析 【答案】（1）设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租用一辆乙型汽车的费用是y元 由题意得 解得 答：租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元（2）设租用甲型汽车z辆，则租用乙型汽车(6-z)辆 由题意得 解得2x4 由题意知，z为整数， z2或z3或z4 共有3种方案，分别是： 方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆； 方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆； 方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆 方案一的费用是8002+85045000(元)； 方案二的费用是8003+85034950(元)； 方案三的费用是8004+85024900(元) 500049504900，所以最低运费是4900元 答：共有3种方案，分别是： 方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆； 方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆； 方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆 最低运费是4900元 类型三、利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计3为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 答案与解析 举一反三 【思路点拨】这是一道融三个“一次”为一体的综合性应用题，体现了任何数学知识不是片面、孤立存在的，而是相互依赖、相互联系和相互作用的数学意识.【答案与解析】解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元. 根据题意得方程组解方程组，得 购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元.（2）设该商店购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品有（100x）件. 解得50x53. x为正整数,x可取50,51,52,53.共有4种进货方案.（3）设所获利润为y元，根据题意，有y=20x+30（100-x）=-10x+3000. -100，y随x的增大而减小，x=50时，y最大值=-5010+3000=2500(元). 当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元.【总结升华】只要我们弄清了三个“一次”之间的内在联系，构建其模型，把握题型规律，梳理相关信息，就会轻松、有效地解决这类问题. 【变式】为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为201，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅(课桌凳和办公桌椅均成套购进)（1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？（2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案 答案与解析 【答案】解：（1）设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元， 则，解得. 答：一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元，200元（2）设购买办公桌椅m套，则购买课桌凳20m套，由题意有 160008000012020m200m24000， 解得，21m24， m为整数， m22、23、24，有三种购买方案，具体方案如下表：方案一方案二方案三课桌凳(套)440460480办公桌椅(套)222324类型四、利用函数知识进行方案设计4某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变) 答案与解析 【思路点拨】（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解.（2）由利润y=销售单价件数，及销售单价均不低于2600元，按0x10，10x50，x50三种情况列出函数关系式.（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价.【答案与解析】解：（1）设件数为x，依题意，得300010（x10）=2600，解得x=50. 答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元.（2）当0x10时，y=（30002400）x=600x； 当10x50时，y=300010（x10）2400x，即y=10x2+700x； 当x50时，y=（26002400）x=200x. .（3）由y=10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值， 此时，销售单价为300010（x10）=2750元， 答：公司应将最低销售单价调整为2750元.【总结升华】本题考查了二次函数的运用关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润 类型五、利用几何知识进行方案设计5某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所饮水站，由供水站直接铺设管道到另外两处如图所示，甲、乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段(村子和公路的宽均不计)，点M表示这所中学点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的km处为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村(线段CD某处)，甲村要求管道铺设到A处，请你在图中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村(线段AB某处)，请你在图中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？ 【思路点拨】本题以紧密联系学生生活的“将军饮马”问题为原型，情景设计合理，设问层次分明，可以参照“将军饮马”问题来解决该题.【答案与解析】解：方案一：由题意可得：MBOB，点M到甲村的最短距离为MB 点M到乙村的最短距离为MD将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小即最小值为MB+MD方案二：如答图，作点M关于射线OE的对称点M，则MM2ME，连接AM交OE于点P，则PEAMAM2BM5，PE3在RtDME中，DEDMsin60，PEDEP、D两点重合即AM过D点在线段CD上任取一点P，连接PA，PM，PM，则PMPMAPPMAM把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小即最小值为AD+DMAM方案三：如答图，作点M关于射线OF的对称点M，连接GM，则GMGM作MNOE于点N，交OF于点G，交AM于点H，MN为点M到OE的最短距离，即MNGM+GN在RtMHM中，MMN30，MM6MH3，NEMH3DE3，N、D两点重合，即MN过D点在RtMDM中，DM，MD在线段AB上任取一点G，过G作GNOE于点N，连接GM、GM显然GM+GNGM+GNMD把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD线路铺设的长度之和最小即最小值为GM+GDMD综上，供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短【总结升华】考查了学生的类比思想、操作、猜想论证和严密的数学思维能力，体现了对过程性目标的考查 【变式】在ABC中，BCa，BC边上的高h2a，沿图中线段DE、CF将ABC剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG，如图所示请你解决如下问题：已知：在锐角ABC中，BCa，BC边上的高h请你设计两种不同的分割方法，将ABC沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，画出分割线及拼接后的图形答案与解析 【答案】 巩固练习一、选择题1. 一宾馆有两人间、三人间，四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，且每个房间都住满，租房方案有()A4种B3种C2种D1种2在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形该小正方形的序号是（）A BC D 3. 下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（） A4个 B3个 C2个 D1个二、填空题4我们知道，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）.解：设有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（1）：若这角恰好是直角，则这两个三角形全等.方案（2）：_.方案（3）：_.5某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费；乙厂提出：每份材料收2元印制费，不收制版费.（1）分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x（份）之间的函数关系式甲厂：_；乙厂：_.（2）电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找_厂印制的宣传材料能多一些.（3）印刷数量_时，在甲厂的印制合算.6. 几何模型：条件：如下左图，A、B是直线同旁的两个定点问题：在直线上确定一点P，使PA+PB的值最小方法：作点A关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）模型应用：（1） 如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称连结交于，则的最小值是_；（2） 如图2，的半径为2，点在上，是 上一动点，则的最小值是_；（3）如图3，是内一点，分别是上的动点，则周长的最小值是_ 三、解答题7. 在金融危机的影响下，国家采取扩大内需的政策，基建投资成为拉动内需最强有力的引擎，金强公司中标一项工程，在甲、乙两地施工，其中甲地需推土机30台，乙地需推土机26台，公司在A、B两地分别库存推土机32台和24台，现从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是400元和300元.从B地运一台到甲、乙两地的费用分别为200元和500元，设从A地运往甲地x台推土机，运这批推土机的总费用为y元.（1）求y与x的函数关系式；（2）公司应设计怎样的方案，能使运送这批推土机的总费用最少？8研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为（吨）时，所需的全部费用（万元）与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系（注：年利润年销售额全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？9. 某工厂计划为某山区学校生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m，工厂现有库存木料302m（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往该学校，已知每套型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用（总费用生产成本运费）（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由.10. 如图1,矩形铁片ABCD的长为,宽为;为了要让铁片能穿过直径为的圆孔,需对铁片进行处理(规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔)；（1）如图2,M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点,若将矩形铁片的四个角去掉,只余下四边形MNPQ,则此时铁片的形状是_,给出证明,并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；（2）如图3,过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F(不与端点重合), 沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；当BE=DF=时,判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔,并说明理由；为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔,请直接写出线段BE的长度的取值范围_. 【答案与解析】 一、选择题1.【答案】C；【解析】设租两人间x间，三人间y间，则四人间(7xy)间，由题意，得解得2xy8，x0，y0,7xy0.x2，y4,7xy1；x3，y2,7xy2.故有2种租房方案故选C.2.【答案】B；【解析】如图，把标有序号的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形 故选B3.【答案】A【解析】根据旋转、轴对称的定义来分析图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动； 轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称 图形1可以旋转90得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形 2可以旋转180得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形 3可以旋转180得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形 4可以旋转90得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有 4个故选 A二、填空题4.【答案】方案（2）：该角恰为两边的夹角时； 方案（3）：该角为钝角时.5.【答案】（1）y=x+1000，y=2x；（2）甲；（3）大于1000份时.【解析】（1）甲厂的收费y（元）与印刷数量x（份）之间的函数解析式为：y=x+1000； 乙厂的收费 y（元）与印刷数量x（份）之间的函数解析式为：y=2x；（2）根据题意可知，若找甲厂印刷，设可以印制x份，则：3000=x+1000， 解得： x=2000； 若找乙厂印刷，设可以印制 x份，则：3000=2x， 解得： x=1500 所以，甲厂印制的宣传材料多一些； （3）设印刷x份时，在甲厂印刷合算 根据题意可得： x+10002x， 解得： x1000 当印制数量大于1000份时，在甲厂印刷合算6.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】解：（1）的最小值是DE，. （2）延长AO交o于点D，连接CD