2016年湖南省湘西州高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年湖南省湘西州高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1若集合 A= 3， 1， 0， 2， 4，集合 B=x|x 则 A（ 于（ ） A 2， 4B 3， 1C 3， 1， 0D 0， 2， 4 2复数 z=（ 2i 3）（ 1+2i）的实部与虚部之和为（ ） A 3B 11C 6D 4 3如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是： 40，50）， 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90） 90， 100），则图中 x 的值等于（ ） A 已知函数 f（ x） =x ）（ 0）的最小正周期为 ，则 f（ ）等于（ ） A B C D 5命题 p： k（ 0， 2），直线 y=双曲线 =1 有交点，则下列表述正确的是（ ） A p 是假命题，其否定是： k（ 2， +），直线 y=双曲线 =1 有交点 B p 是真命题，其否定是： k（ 0， 2），直线 y=双曲线 =1 无交点 C p 是假命题，其否定是： k（ 0， 2），直线 y=双曲线 =1 无交点 D p 是真命题，其否定是： k（ 2， +），直线 y=双曲线 =1 无交点 6如图是一个正方体被一个平面截去一部分后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是原正方体的体积的（ ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 7如图是一个程序框图，则输 出 s 的值是（ ） A 5B 7C 9D 11 8函数 y=（ 1） e|x|的图象大致是（ ） A B C D 9若 x ， ，则 f（ x） = 的最大值为（ ） A 1B 2C 3D 4 10已知向量 、 满足 | |=2， | |=3，且 与 + 夹角的余弦值为 ，则 可以是（ ） A 2B 3C 2 D 4 11已知椭圆 + =1（ a b 0）的左右焦 点分别为 c， 0）、 c， 0），过点 直线 l 交直线 2bx+ 于 M，若 M 在以线段 直径的圆上，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 12若函数 f（ x） = x b） 2（ bR）在 区间 ， 2上存在单调递增区间，则实数 b 的取值范围是（ ） 第 3 页（共 19 页） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， +） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13如果实数 x， y 满足条件 ，则 z= 的最大值为 14在 ， A= ， 面积为 15设函数 f（ x） = ，则不等式 f（ 2 f（ x）的解集为 16在三 棱锥 ， 底面 C=2，则该三棱锥的外接球的表面积为 三、解答题（本大题共 5小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17在等差数列 ， ，其中前 n 项和为 比数列 各项均为正数， ，且 3=21， 2 （ 1）求 n （ 2）设数列 前 n 项和为 使不等式 4立的最小正整数 n 的值 18为了解某天甲乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲乙两厂生产的产品 中分别抽取 14 件和 15 件，测量产品中的微量元素 x， y 的含量（单位：毫克）当产品中的微量元素x， y 满足 x175 且 y75 时，该产品为优等品已知甲厂该天生产的产品共有 98 件，如表是乙厂的 5 件产品的测量数据： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 （ 1）求乙厂该天生产的产品数量； （ 2）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量； （ 3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品至少有 1件的概率 19在四棱 锥 P ， 平面 面 正方形，且 D=2， E， D， 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： 平面 20平面直角坐标系 ，直线 x y+1=0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 （ 1）求圆 O 的方程； 第 4 页（共 19 页） （ 2）若直线 l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于 D， E，当 最小时，求直线 l 的方程； （ 3）设 M， P 是圆 O 上任意两 点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 别交于 x 轴于点（ m， 0）和（ n， 0），问 否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 21已知 y=46t 1， xR， tR （ 1）当 x 为常数， t 在区间 变化时，求 y 的最小值为 （ x）； （ 2）证明：对任意的 t（ 0， +），总存在 0， 1），使得 y=0 请考生在 22、 23、 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图所示，点 P 是圆 B 延长线上的一点， 于点 C，直线 别交 点 M、 N求证： （ 1） 等腰三角形； （ 2） M=N 选修 4标系与参数方程 23在极坐标系中，已知三点 O（ 0， 0）， A（ 2， ）， B（ 2 ， ） （ 1）求经过 O， A， B 的圆 （ 2）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 是参数），若圆 2外切，求实数 a 的值 选修 4等式选讲 24已知 f（ x） =|x+1|+|x 1|，不等式 f（ x） 4 解集为 M （ 1）求 M； （ 2）若不等式 f（ x） +a 0 有解，求 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2016 年湖南省湘西州高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本 大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1若集合 A= 3， 1， 0， 2， 4，集合 B=x|x 则 A（ 于（ ） A 2， 4B 3， 1C 3， 1， 0D 0， 2， 4 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 先求出 根据 1 2，即可求出 A（ 【解答】 解： B=x|x RB 1 2， A= 3， 1， 0， 2， 4， A（ = 3， 1， 0， 故选： C 2复数 z=（ 2i 3）（ 1+2i）的实部与虚部之和为（ ） A 3B 11C 6D 4 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 先利用复数代数形式的乘除运算法则求出 z= 7 4i，由此能求出复数 z=（ 2i 3）（ 1+2i）的实部与虚部之和 【解答】 解： z=（ 2i 3）（ 1+2i） =2i 3+46i = 7 4i， 复数 z=（ 2i 3）（ 1+2i）的实部与虚部之和为： 7 4= 11 故答案为： 11 3如图是某班 50 位学生期中考试 数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是： 40，50）， 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90） 90， 100），则图中 x 的值等于（ ） A 考点】 频率分布直方图 【分析】 根据所以概率的和为 1，即所求矩形的面积和为 1，建立等式关系，可求出所求； 【解答】 解：由图得 30000x=1， 第 6 页（共 19 页） 解得 x=选 C 4已知函数 f（ x） =x ）（ 0）的最小正周期为 ，则 f（ ）等于（ ） A B C D 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【分析】 由已知利用周期公式可求 的值，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解 【解答】 解： 由题意可得： = =2， f（ ） =2 2） = 故选： A 5命题 p： k（ 0， 2），直线 y=双曲线 =1 有交点，则下列表述正确的是（ ） A p 是假命题，其否定是： k（ 2， +），直线 y=双曲线 =1 有交点 B p 是真命题，其否定是： k（ 0， 2），直线 y=双曲线 =1 无交点 C p 是假命题，其否定是： k（ 0， 2），直线 y=双曲线 =1 无交点 D p 是真命题，其否定是： k（ 2， +），直线 y=双曲线 =1 无交点 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的渐近线方程和斜率，由题意可得 k 或 k 可得命题 P 为真命题，运用命题的否定形式，即可得到结论 【解答】 解：若直线 y=双曲线 =1 有交点， 由双曲线的渐近线方程 y= x， 且双曲线的焦点在 y 轴上， 可得 k 或 k 第 7 页（共 19 页） 故 k（ 0， 2），直线 y=双曲线 =1 有交点为真命题； 否定是： k（ 0， 2），直线 y=双曲线 =1 无交点 故选： B 6如图是一个正方体被一个平面截去一部分后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是原正方体的体积的（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 易知该几何体是底面腰长为 2 的等腰直角三角形，高为 2 的直三棱柱，从而解得 【解答】 解：由图可知， 该几何体是底面腰长为 2 的等腰直角三角形，高为 2 的直三棱柱， 其体积是原正方体的 ， 故选 C 7如图是一个程序框图，则输出 s 的值是（ ） A 5B 7C 9D 11 【考点】 程序框图 【分析】 根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的 s 值 【解答】 解：模拟程序框图的运行过程，如下； s=38， n=1， s=19+1 2=18， n=1+2=3， sn 不成立； 第 8 页（共 19 页） s=9+3 2=10， n=3+2=5， sn 不成立； s=5+5 2=8， n=5+2=7， sn 不成立； s=4+7 2=9， n=7+2=9， sn 成立 ，退出循环，输出 s 的值为 9 故选： C 8函数 y=（ 1） e|x|的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 根据函数的函数奇偶性，值域即可判断 【解答】 解：因为 f（ x） =（ 1） e|x|=f（ x）， 所以 f（ x）为偶函数， 所以图象关 于 y 轴对称，故排除 B， 当 x+时， y+，故排除 A 当 x 1 时， y 0，故排除 D 故选： C 9若 x ， ，则 f（ x） = 的最大值为（ ） A 1B 2C 3D 4 【考点】 三角函数的最值 【分析】 由条件求得 范围，再利用两角和差的三角公式化简 f（ x）为 + 而求得它的最大值 【解答】 解：由 x ， ，可得 1 再根据 = = =2 ，故 2 ，1 f（ x） = = = =+ = + 故当 x= 时， f（ x）取得最大值为 1， 故选： A 第 9 页（共 19 页） 10已知向量 、 满足 | |=2， | |=3，且 与 + 夹角的余弦值为 ，则 可以是（ ） A 2B 3C 2 D 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据平面向量的数量积公式，表示出 ，方程解之 【解答】 解：由已知向量 、 满足 | |=2， | |=3，且 与 + 夹角的余弦值为 ， 则 （ + ） =| | + | = ， 即 ，所以 = 2 或 ； 故 可以是 2 或者 ； 故选： A 11已知椭圆 + =1（ a b 0）的左右焦点分别为 c， 0）、 c， 0），过点 直线 l 交直线 2bx+ 于 M，若 M 在以线段 直径的圆上，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由已知得出过点 斜率为 的直线 l 的方程，与 2bx+ 联立即可解得交点M 的坐标，代入以线段 直径的圆的方程，即可得出离心率 e 【解答】 解：设过点 斜率为 的直线 l 的方程为 y= （ x c）， 与 2bx+ 联立，可得交点 M（ ， ） 点 M 在以线段 直径的圆上， （ ） 2+（ ） 2= b= a， c= a， e= = 故选： C 第 10 页（共 19 页） 12若函数 f（ x） = x b） 2（ bR）在区间 ， 2上存在单调递增区间，则实数 b 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 利用导函数得到不等式恒成立，然后求解 b 的范围 【解答】 解： 函数 f（ x）在区间 ， 2上存在单调增区间， 函数 f（ x）在区间 ， 2上存在子区间使得不等式 f（ x） 0 成立 f（ x） = +2（ x b） = ， 设 h（ x） =22，则 h（ 2） 0 或 h（ ） 0， 即 8 4b+1 0 或 b+1 0， 得 b 故选： B 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13如果实数 x， y 满足条件 ，则 z= 的最大值为 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出平面区域，则 表示过原点和平面区域内一点的直线斜率 【解答】 解：作出平面区域如图所示： 第 11 页（共 19 页） 由平面区域可知当直线 y= A 点时，斜率最大 解方程组得 得 A（ 1， 2） z 的最大值为 =2 故答案为： 2 14在 ， A= ， 面积为 2 【考点】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理将角化边得到 ，代入面积公式即可求出 【解答】 解： b，即 S =2 故答案为： 2 15设函数 f（ x） = ，则不等式 f（ 2 f（ x）的解集为 （ ， 1） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 由题意 y1= 在 0， +）上单调递增， 在（ ， 0）上是常数，利用 f（ 2 f（ x），可得 2 x 0 或 2 0 且 x0，解不等式可求 【解答】 解： y1= 在 0， +）上单调递增， 在（ ， 0）上是常数， 由分段函数的性质可知， f（ 2 f（ x） 2 x0 或 2 0 且 x 0 解可得， 0x 1 或 x 0， x 1 故答案为：（ ， 1） 16在三棱锥 ， 底面 C=2，则该三棱锥的外接球的表面积为 8 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】 将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，从而即可求得该三棱锥的外接球的表面积 【解答】 解：由三棱锥 ， 底面 三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，则 三棱锥外接球的直径为 2 ，半径为 ， 外接球的表面积 S=4 故答案为： 8 三、解答题（本大题共 5小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 第 12 页（共 19 页） 17在等差数列 ， ，其中前 n 项和为 比数列 各项均为正数， ，且 3=21， 2 （ 1）求 n （ 2）设数列 前 n 项和为 使不等式 4立的最小正整 数 n 的值 【考点】 数列的求和 【分析】 （ 1）根据等差数列和等比数列的通项公式， 3=21， 2，联立解方程组，解得 q 和 d， （ 2）分别写出等比数列和等差数列的前 n 项和 60， 4得 n5 【解答】 解：（ 1）设等差数列 公差为 d，等比数列 公比为 q， ， ，解得： q=3 或 q= （舍去）， d=3 n， ； （ 2）由（ 1）得： = ， =360， 4n 181，解得 n5， 使得不等式 4n 的数值为 5 18为了解某天甲乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 15 件，测量产品中的微量元素 x， y 的含量（单位：毫克）当产品中的微量元素x， y 满足 x175 且 y75 时，该产品为优等品已知甲厂该天生产的产品共有 98 件，如表是乙厂的 5 件产品的测量数据： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 （ 1）求乙厂该天生产的产品数量； （ 2）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量； （ 3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品至少有 1件的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事 件发生的概率 【分析】 （ 1）利用频率 = ，能求出乙厂该天生产的产品总数 （ 2）由频率 = ，能求出样品中优等品的概率和乙厂该天生产的优等品的数量 （ 3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求出基本事件总数，乙厂的 5 件产品中优等品有两件，由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的 2 件产品中优等品至少有 1件的概率 第 13 页（共 19 页） 【解答】 解：（ 1）乙厂该天生产的产品总数为： 5 =35 （ 2）样品中优等品的概率为 ，乙厂该天生产的优等品的数量为 35 =14 （ 3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件， 基本事件总数 n= ， 当产品中的微量元素 x， y 满足 x175 且 y75 时，该产品为优等品， 乙厂的 5 件产品中优等品有两件， 抽取的 2 件产品中优等品至少有 1 件的概率： p=1 = 19在四棱锥 P ， 平面 面 正方形，且 D=2， E， D， 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： 平面 【考点】 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）设 G 是 中点，连接 已知条件能推导出 平行四边形，从而能够证明 平面 （ 2）由已知条件推导出 而得到 此能够证明平面 【解答】 （本小题满分 7 分） 证明：（ 1）设 G 是 中点，连接 E， F 分别是 中点， C， C， E， 平行四边形， G， 面 面 平面 （ 2） B， 面 又 平面 第 14 页（共 19 页） 交， 平面 平面 20平面直角坐标系 ，直线 x y+1=0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 （ 1）求圆 O 的方程； （ 2）若直线 l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于 D， E，当 最小时，求直线 l 的方程； （ 3）设 M， P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 别交于 x 轴于点（ m， 0）和（ n， 0），问 否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 【考点】 直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质 【分析】 （ 1）求出 O 点到直线 x y+1=0 的距离，进而可求圆 O 的 半径，即可得到圆 O 的方程； （ 2）设直线 l 的方程，利用直线 l 与圆 O 相切，及基本不等式，可求 最小时，直线 （ 3）设 M（ P（ 则 N（ ， ，求出直线 别与 x 轴的交点，进而可求 值 【解答】 解：（ 1）因为 O 点到直线 x y+1=0 的距离为 ， 所以圆 O 的半径为 ， 故圆 O 的方程为 x2+ （ 2）设直线 l 的方程为 ，即 bx+， 由直线 l 与圆 O 相切，得 ，即 ， ， 当且仅当 a=b=2 时取等号，此时直线 l 的方程为 x+y 2=0 （ 3）设 M（ P（ 则 N（ ， ， 第 15 页（共 19 页） 直线 x 轴交点 ， ， 直线 x 轴交点 ， ， = =2， 故 定值 2 21已知 y=46t 1， xR， tR （ 1）当 x 为常数， t 在区间 变化时，求 y 的最小值为 （ x）； （ 2）证明：对任意的 t（ 0， +），总存在 0， 1），使得 y=0 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点；利用导数研究函 数的单调性 【分析】 （ 1）当 x 为常数时，设 f（ t） =46t 1= 6 3） t+41，是关于 y 的二次函数利用二次函数图象与性质求解 （ 2）设 g（ x） =46t 1，按照零点存在性定理去判断可利用导数计算函数的极值，有关端点值，作出证明 【解答】 解：（ 1）当 x 为常数时， 设 f（ t） =46t 1= 6 3） t+41， f（ t） = 12 3） 当 x0 时，由 知 f（ t） 0， f（ t）在 上递增，其最小值 （ x） =f（ 0） =41； 当 x 0 时， f（ t）的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为直线； ， 若 ，即 ，则 f（ t）在 上的最小值为 若 ，即 或 x 1，则 f（ t）在 上的最小值为 （ x） =f（ 0）=41 第 16 页（共 19 页） 综合 ，得 （ 2）证明：设 g（ x） =46t 1 则 由 t（ 0， +），当 x 在区间（ 0， +）内变化时， g（ x）， g（ x）取值的变化情况如下表： 当 ，即 t2 时， g（ x）在区间（ 0， 1）内单调递减， g（ 0） =t 1 0， g（ 1） =6t+3= 2t（ 3t 2） +3 4（ 6 2） +3 0 所以对任意 t2， +）， g（ x）在区间（ 0， 1）内均存在零点，即存在 0， 1）， 使得 g（ =0 当 ，即 0 t 2 时， g（ x）在 内单调递减，在 内单调递增， 若 t（ 0， 1），则 ， g（ 1） = 6t+3 6t+4t+3=2t+31 0， 所以 g（ x）在 内存在零点； 若 t（ 1， 2），则 g（ 0） =t 1 0， ， 所以 g（ x）在 内存在零点 所以，对任意 t（ 0， 2）， g（ x）在区间（ 0， 1）内均存在零点，即存在 0， 1），使得g（ =0 综合 ，对任意的 t（ 0， +），总存在 0， 1），使得 y=0 请考生在 22、 23、 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图所示，点 P 是圆 B 延长线 上的一点， 于点 C，直线 别交 点 M、 N求证： （ 1） 等腰三角形； （ 2） M=N 第 17 页（共 19 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）根据题意，证明 可证明 等腰三角形； （ 2）利用对应角相等证明 可证明 M=N 【解答】 解：（ 1） 圆 O