2016年湖南省十三校联考高考数学二模试卷（文）含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年湖南省十三校联考高考数学二模试卷（文科） 一、选择题 1 i 是虚数单位，若 =a+a， bR），则 a+b 的值是（ ） A 2B 2C 3D 3 2集合 A=yR|y=x 1， B= 2， 1， 2则下列结论正确的是（ ） A AB= 2， 1B（ B=（ ， 0） C A B=（ 0， +） D（ B=2， 1 3已知命题 p： x 0， x+ 4：命题 q： +， 2，则下列判断正确的是（ ） A p 是假命题 B q 是真命题 C p（ q）是真命题 D（ p） q 是真命题 4已知函数 f（ x） =xR， 0）的最小正周期为 ，为了得到函数 g（ x） =x+ ）和图象，只要将 y=f（ x）的图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 5下列函数既是奇函数，又在区间 1， 1上单调递减的是（ ） A f（ x） =f（ x） = |x+1| C f（ x） = D f（ x） =6已知直线 l 平面 ，直线 m平面 ，有下面四个命题： （ 1） l m，（ 2） l m， （ 3） l m ，（ 4） l m ， 其中正确命题是（ ） A（ 1）与（ 2） B（ 1）与（ 3） C（ 2）与（ 4） D（ 3）与（ 4） 7执行如图的程序框图，若输出 ，则输入 p=（ ） 第 2 页（共 22 页） A 6B 7C 8D 9 8如图，一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长 2 的正三角形和正方形，则其体积是（ ） A B C D 9若实数 x， y 满足 |x 2|ya，（ a（ 0， +），且 z=2x+y 的最大值为 10，则 a 的值为（ ） A 1B 2C 3D 4 10 接于以 O 为圆心， 1 为半径的圆，且 ，则 的值为（ ） A B C D 11已如点 M（ 1， 0）及双曲线 的右支上两动点 A， B，当 大时，它的余弦值为（ ） A B C D 12已知函数 f（ x） =1+x 2（ e 为自然对数的底数）， g（ x） =a+3，若存在实数 得 f（ =g（ =0，且 |1，则实数 a 的取值范围是（ ） A 2， 3B 1， 2C 2， D ， 3 二、填空题 13某小卖部为了了解热茶销售量 y（杯）与气温 x（ ）之间的关系，随机统计了某 4 天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表： 气温（ ） 18 13 10 1 第 3 页（共 22 页） 杯数 14 24 28 54 由表中数据算得线性回归方程 =bx+a 中的 b 2，预测当气温为 5 时，热茶销售量为 杯 14设函数 f（ x）满足 ，则 f（ 2） = 15在 ， a、 b、 c 分别为 A、 B、 C 的对边，三边 a、 b、 c 成等差数列，且B= ，则（ 2的值为 16在平面直角坐标系 ，已知圆 C： y 4） 2=4，点 A 是 x 轴上的一个动点，直线 别切圆 C 于 P， Q 两点，则线段 的取值范围为 三、解答题 17已知数列 ， ，前 n 项和 n2， nN*） （ I）求 通项公式； （ ）记 bn=， ，求数列 前 n 项和 18某单位开展岗前培训期间，甲、乙 2 人参加了 5 次考试，成绩统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩 82 82 79 95 87 乙的成绩 95 75 80 90 85 （ ）根据有关统计知 识，回答问题：若从甲、乙 2 人中选出 1 人上岗，你认为选谁合适，请说明理由； （ ）根据有关概率知识，解答以下问题： 从甲、乙 2 人的成绩中各随机抽取一个，设抽到甲的成绩为 x，抽到乙的成绩为 y用 x y|2 的事件，求事件 A 的概率； 若一次考试两人成绩之差的绝对值不超过 3 分，则称该次考试两人 “水平相当 ”由上述 5次成绩统计，任意抽查两次考试，求至少有一次考试两人 “水平相当 ”的概率 19如图，在四棱锥 O ，底面 边长为 1 的菱形， ， 底面 ， M 为 中点 （ ）求异面直线 成角的大小； （ ）求点 B 到平面 距离 第 4 页（共 22 页） 20已知曲线 + =1（ a b 0）所围成的封闭图形的面积为 4 ，曲线 记 以曲线 坐标轴的交点为顶点的椭圆 （ 1）求椭圆 （ 2）设 过椭圆 的任意弦， M 是椭圆上一点，且满足（ + ） =0，求 面积的最小值 21已知函数 f（ x） = （ I）讨论函数 f（ x）单调性； （ ）当 时，证明：曲线 y=f（ x）与其在点 P（ t， f（ t）处的切线至少有两个不同的公共点 选修 4何证明选讲 22如图， O 是 外接圆， D 是 的中点， 点 E （ 1）求证： E （ 2）若 长等于 O 的半径，求 大小 选修 4标系与参数方程选讲 23选修 4 4：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 相同的长度单位，以原点 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，已知曲线 极坐标方程为 =4线 参数方程为 （ t 为参数， 0 ），射线 =， =+ ， = 与曲线 包括极点 O）三点 A、 B、 C （ I）求证： | | （ ）当 = 时， B， C 两点在曲线 ，求 m 与 的值 选修 4等式选讲 24设函数 f （ x） =|x a|+3x，其中 a0 （ 1）当 a=2 时，求不等式 f（ x） 3x+2 的解集； （ 2）若不等式 f （ x） 0 的解集包含 x|x 1，求 a 的取值范围 第 5 页（共 22 页） 2016 年湖南省十三校联考高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1 i 是虚数单位，若 =a+a， bR），则 a+b 的值是（ ） A 2B 2C 3D 3 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 利用复数的运算法则、复数相等即可得出 【解答】 解： a+= = = 1+3i， a= 1， b=3， a+b=2 故选： A 2集合 A=yR|y=x 1， B= 2， 1， 2则下列结论正确的是（ ） A AB= 2， 1B（ B=（ ， 0） C A B=（ 0， +） D（ B=2， 1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 集合 A 为对数函数的值域，解出后对照选项逐一验证 【解答】 解：依题意， A=y|y 0， B= 2， 1， 2， 所以 AB= 2， 1=2， A 错， A B=（ 0， +） = 2， 1， B 错， （ B 2， 1， C 错， 故选 D 3已知命题 p： x 0， x+ 4：命题 q： +， 2，则下列判断正确的是（ ） A p 是假命题 B q 是真命题 C p（ q）是真命题 D（ p） q 是真命题 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 利用基本不等式求最值判断命题 p 的真假，由指数函数的值域判断命题 q 的真假，然后结合复合命题的真值表加以判断 【解答】 解：当 x 0， x+ ，当且仅当 x=2 时等号成立， 命题 p 为真命题， P 为假命题； 当 x 0 时， 2x 1， 命题 q： +， 2为假命题，则 q 为真命题 p（ q）是真命题，（ p） q 是假命题 故选： C 第 6 页（共 22 页） 4已知函数 f（ x） =xR， 0）的最小正周期为 ，为了得到函数 g（ x） =x+ ）和图象，只要将 y=f（ x）的图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由函数的周期性求得 =2，可得 f（ x） =根据根据函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：由于函数 f（ x） =xR， 0）的最小正周期为 ， 故有 =， =2， f（ x） = 根据函数 y=x+）的图象变换规律，为了得到函数 g（ x） =2x+ ） =x+ ）的图象， 只要将 y=f（ x）的图象向左平移 个单位长度即可， 故选： A 5下列函数既是奇函数，又在区间 1， 1上单调递减的是（ ） A f（ x） =f（ x） = |x+1| C f（ x） = D f（ x） =【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论 【解答】 解：函数 f（ x） =奇函数，在 1， 1上单调递增，不满足条件 函数 f（ x） = |x+1|不是奇函数，不满足条件， 函数 f（ x） = 是偶函数，不满足条件， 故选： D 6已知直线 l 平面 ，直线 m平面 ，有下面四个命题： （ 1） l m，（ 2） l m， （ 3） l m ，（ 4） l m ， 其中正确命题是（ ） A（ 1）与（ 2） B（ 1）与（ 3） C（ 2）与（ 4） D（ 3）与（ 4） 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 根据已知直线 l 平面 ，直线 m平面 ，结合 结合线面垂直的定义及判定，易判断（ 1）的真假；结合 ，结合空间直线与直线关系的定义，我们易判断（ 2）的对错；结合 l m，根据线面垂直的判定方法及面面平行的判定定理，易判断（ 3）的正误 ；再根据 l m 结合空间两个平面之间的位置关系，易得到（ 4）的真假，进而得到答案 第 7 页（共 22 页） 【解答】 解： 直线 l 平面 ， ， l 平面 ，又 直线 m平面 ， l m，故（ 1）正确； 直线 l 平面 ， ， l 平面 ，或 l平面 ，又 直线 m平面 ， l 与 m 可能平行也可能相交，还可以异面，故（ 2）错误； 直线 l 平面 ， l m， m ， 直线 m平面 ， ，故（ 3）正确； 直线 l 平面 ， l m， m 或 m，又 直线 m平面 ，则 与 可能平行也可能相交，故（ 4）错误； 故选 B 7执行如图的程序框图，若输出 ，则输入 p=（ ） A 6B 7C 8D 9 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，可得 解得 n 的值为 7，退出循环的条件为 7 p 不成立，从而可得 p 的值 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 解得： n=7 故当 p=7 时， n=7 p，不成立，退出 循环，输出 S 的值为 故选： B 8如图，一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长 2 的正三角形和正方形，则其体积是（ ） 第 8 页（共 22 页） A B C D 【考点】 由三 视图求面积、体积 【分析】 根据主视图、俯视图，可得简单几何体的直观图是底面边长为 2，高为 的正四棱锥，利用体积公式可得结论 【解答】 解：由主视图可知，三棱锥的高为 ，结合俯视图可得简单几何体的直观图是底面边长为 2，高为 的正四棱锥 体积为 = 故选 C 9若实数 x， y 满足 |x 2|ya，（ a（ 0， +），且 z=2x+y 的最大值为 10，则 a 的值为（ ） A 1B 2C 3D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件 |x 2|ya 作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数后求得 a 的值 【解答】 解：由 |x 2|ya，作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ a+2， a）， 化 z=2x+y 为 y= 2x+z 由图可知，当直线 y= 2x+z 过 A 时， z 有最大值， 此时 2（ a+2） +a=10，解得： a=2 故选： B 10 接于以 O 为圆心， 1 为半径的圆，且 ，则 的值为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 第 9 页（共 22 页） 【分析】 将已知等式中的 移到等式的一边，将等式平方求出 ；将 利用向量的运算法则用 ，利用运算法则展开，求出值 【解答】 解： = A， B， C 在圆上 B= = = 故选 A 11已如点 M（ 1， 0）及双曲线 的右支上两动点 A， B，当 大时，它的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质；余弦定理 【分析】 根据题意，当直线 别与双曲线相切于点 A、 B 时，可得 得最大值因此设直线 y=k（ x 1），与双曲线联解并利用根的判别式，解出 k= 设直线 斜角为 ，得 且 ，最后利用二倍角的三角函数公式，即可算出 到最大值时 余弦值 【解答】 解：根据题意，当直线 双曲线相切于点 A，直线 双曲线相切于点 得最大值 设直线 程为 y=k（ x 1），与双曲线消去 y，得 （ 1=0 直线 双曲线相切于点 A， （ 22 4（ （ 1） =0，解之得 k= （舍负） 因此，直线 程为 y= （ x 1）， 同理直线 程为 y= （ x 1）， 第 10 页（共 22 页） 设直线 斜角为 ，得 ，且 = = ，即为 大时的余弦值 故选： D 12已知函数 f（ x） =1+x 2（ e 为自然对数的底数）， g（ x） =a+3，若存在实数 得 f（ =g（ =0，且 |1，则实数 a 的取值范围是（ ） A 2， 3B 1， 2C 2， D ， 3 【考点】 函数的值 【分析】 求出函数 f（ x）的导数，可得 f（ x）递增，解得 f（ x） =0 的解为 1，由题意可得a+3=0 在 0x2 有解， 即有 a= =（ x+1） + 2 在 0x2 有解，求得（ x+1） + 2 的范围，即可得到a 的范围 【解答】 解：函数 f（ x） =1+x 2 的导数为 f（ x） =1+1 0， f（ x）在 R 上递增，由 f（ 1） =0，可得 f（ =0，解得 ， 存在实数 得 f（ =g（ =0且 |1， 即为 g（ =0 且 |1 1， 即 a+3=0 在 0x2 有解， 即有 a= =（ x+1） + 2 在 0x2 有解， 令 t=x+1（ 1t3），则 t+ 2 在 1， 2递减， 2， 3递增， 可得最小值为 2，最大值为 3， 则 a 的取值范围是 2， 3 故答案为： 2， 3 二、填空题 13某小卖部为了了解热茶销售量 y（杯）与气温 x（ ）之间的关系，随机统计了某 4 天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表： 气温（ ） 18 13 10 1 杯数 14 24 28 54 第 11 页（共 22 页） 由表中数据算得线性回归方程 =bx+b 2，预测当气温为 5 时，热茶销售量为 60 杯 【考点】 线性回归方程 【分析】 先计算样本中心点，再求出线性回归方程，进而利用方程进行预测 【解答】 解：由题意， = =10， = =30， 将 b 2 及（ 10， 30）代入线性回归方程 =bx+a，可得 a=50， x= 5 时， y= 2（ 5） +50=60 故答案为： 60 14设函数 f（ x）满足 ，则 f（ 2） = 【考点】 函数的值 【分析】 通过表达式求出 f（ ），然后求出函 数的解析式，即可求解 f（ 2）的值 【解答】 解：因为 ， 所以 ， = 故答案为： 15在 ， a、 b、 c 分别为 A、 B、 C 的对边，三边 a、 b、 c 成等差数列，且B= ，则（ 2的值为 【考点】 三角函数的恒等变换及化简求值；等差数列的性质 【分析】 由 a， b 及 c 成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，将关系式利用正弦定理化简，得到 值，设 x，根据题意列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即可求出所求式子的值 【解答】 解： 三边 a、 b、 c 成等差数列，且 B= ， 2b=a+c， A+C= ， 将 2b=a+c 利用正弦定理化简得： 2 ， 设 x， 可得：（ 2+（ 2=2+ 第 12 页（共 22 页） 即 2 2A+C） =2 22+ 则（ 2= 2 故答案为： 16在平面直角坐标系 ，已知圆 C： y 4） 2=4，点 A 是 x 轴上的一个动点，直线 别切圆 C 于 P， Q 两点，则线段 的取值范围为 2 ， 4 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 设 A（ a， 0），则以 直径的圆为 x2+4y=0，与圆 C 的方程相减，得在直线的方程为 4y+12=0，求出圆心 C（ 0， 4）到直线： 4y+12=0 的距离 d，由 |2 ，能求出线段 的取值范围 【解答】 解：设 A（ a， 0），则以 直径的圆的直径式方程为（ x 0， y 4） （ x a，y 0） =0， 即 x2+4y=0， 与圆 C 的方程 y 4） 2=4，即 x2+8y+12=0 相减，得 4y+12=0， 在直线的方程为 4y+12=0， 设圆心 C（ 0， 4）到直线： 4y+12=0 的距离为 d， 则 |2 =2 =2 ， a=0，即 A 是原点时， |PQ| ， 当点 A 在 x 轴上无限远时， 近于直径 4， 线段 的取值范围为 2 ， 4） 故答案为： 2 ， 4） 三、解答题 17已知数列 ， ，前 n 项和 n2， nN*） （ I）求 通项公式； （ ）记 bn=， ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）利用 、 n2， nN*）计算可知 过 n1， nN*）与 1= 1（ n2， nN*）作差、整理可知 = ，利用 而可得结论； （ ）通过（ I）裂项可知 ，进而并项相加即得结论 第 13 页（共 22 页） 【解答】 解：（ I） ， n2， nN*）， a1+， a1+a2+（ a1+= （ 1+3） =6， n1， nN*）， 1= 1（ n2， nN*）， 两式相减得： 1， 整理得： = ， 1 = （ n2， nN*）， 又 满足上式， 数列 通项公式 ； （ ）由（ I）可知 bn= + = ， = = ， + + =1+ = 18某单位开展岗前培训期间，甲、乙 2 人参加了 5 次考试，成绩统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩 82 82 79 95 87 乙的成绩 95 75 80 90 85 （ ）根据有关统计知识，回答问题：若从甲、乙 2 人中选出 1 人上岗，你认为选谁合适，请说明理由； （ ）根据有关概率知识，解答以下问题： 从甲、乙 2 人的成绩中各随机抽取一个，设抽到甲的成绩为 x，抽到乙的成绩为 y用 x y|2 的事件，求事件 A 的概率； 第 14 页（共 22 页） 若一次考试两人成绩之 差的绝对值不超过 3 分，则称该次考试两人 “水平相当 ”由上述 5次成绩统计，任意抽查两次考试，求至少有一次考试两人 “水平相当 ”的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数 【分析】 （ ）先求出甲和乙的平均成绩相同，再求出甲和乙的成绩的方差，方差较小的发挥比较稳定，应该派他去 （ ） 设抽到甲的成绩为 x，抽到乙的成绩为 y，则所有的（ x， y）共有 55=25 个，用列举法求得满足条件 |x y|2 的有 5 个，由此求得所求事件的概率 从 5 此考试的成绩中，任意取出 2 此，所有的基本事件 有 =10 个，用列举法求得满足条件至少有一次考试两人 “水平相当 ”的有 7 个，由此求得所求事件的概率 【解答】 解：（ ）甲的平均成绩为 = =85，乙的平均成绩为= =85， 故甲乙二人的平均水平一样 甲的成绩的方差为 = =31，乙的成绩的方差为 =50， ，故应派甲合适 （ ） 从甲、乙 2 人 的成绩中各随机抽取一个，设抽到甲的成绩为 x，抽到乙的成绩为 y，则所有的（ x， y）共有 55=25 个， 其中，满足条件 |x y|2 的有（ 82， 80）、（ 82， 80）、（ 79， 80）、（ 95， 95）、（ 87， 85），共有 5 个， 故所求事件的概率等于 = 从 5 此考试的成绩中，任意取出 2 此，所有的基本事件有 =10 个， 其中，满足至少有一次考试 两人 “水平相当 ”的有 7 个：（ 79， 80）和（ 87， 85）、（ 79， 80）和（ 82， 95）、（ 79， 80）和（ 87， 75）、 （ 79， 80）和（ 95， 90）、（ 87， 85）和（ 82， 95）、（ 87， 85）和（ 82， 75）、（ 87， 85）和（ 95，90），共有 7 个， 故所求事件的概率等于 19如图，在四棱锥 O ，底面 边长为 1 的菱形， ， 底面 ， M 为 中点 （ ）求异面直线 成角的大小； （ ）求点 B 到平面 距离 第 15 页（共 22 页） 【考点】 异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算 【分析】 （ ）求异面直线所成的角，可以做适当的平移，把异面直线转化为相交直线，然后在相关的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角平移时主要是根据中位线和中点条件，或者是特殊的四边形，三角形等 异面直线 成的角（或其补角） （ ）在立体几何中，求点到平面的距离是 一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离本题可以先 “转化 ”：当由点向平面引垂线发生困难时，可利用线面平行或面面平行转化为直线上（平面上）其他点到平面的距离 平面 以点 B 和点 A 到平面 距离相等 连接 点 Q 平面 平面 段 长就是点 A 到平面 距离 【解答】 解（ ） 异面直线 成 的角（或其补角） 作 点 P，连接 平面 ， ， ， 所以，异面直线 成的角为 （ ） 平面 以点 B 和点 A 到平面 距离相等 连接 点 A 作 点 Q 平面 又 平面 段 长就是点 A 到平面 距离 ， ， 所以，点 B 到平面 距离为 第 16 页（共 22 页） 20已知曲线 + =1（ a b 0）所围成的封闭图形的面积为 4 ，曲线 记 以曲线 坐标轴的交点为顶点的椭圆 （ 1）求椭圆 （ 2）设 过椭圆 的任意弦， M 是椭圆上一点，且满足（ + ） =0，求 面积的最小值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由题意可得 ， a b 0，解得 a， b 即可得出 （ 2）设直线 斜率垂直且不为 0，方程为 y=立 ，解得可得| 由于满足（ + ） =0，可得 得直线 方程为：y= x同理可得 |利用 S |其基本不等式的性质即可得出当 k=0时， S 当 k 不存在时， S ，直接得出 【解答】 解：（ 1） 曲线 + =1（ a b 0）所围成的封闭图形的面积为 4 ，曲线 内切圆半径为 ， ， a b 0，解得 a= ， b=2 由 1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆 第 17 页（共 22 页） 椭圆的标准方程为： + =1 （ 2）设直线 斜率垂直且不为 0，方程为 y=A（ B（ 联立，解得 ， | = 满足（ + ） =0， =0， 得直线 方程 为： y= x 联立 ，解得 ， ， | = S | =2020 = ，当且仅当 时取等号 当 k=0 时， S =2 当 k 不存在时， S =2 综上可得： 面积的最小值是 21已知函数 f（ x） = （ I）讨论函数 f（ x）单调性； （ ）当 时，证明：曲线 y=f（ x）与其在点 P（ t， f（ t）处的切线至少有两个不同的公共点 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）对原函数求导，然后分 a 0 和 a0 两种情况讨论导函数的符号， a0 时， f（ x） 0 在（ 0， +）恒成立， a 0 时，求导函数的零点，利用导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各段内的符号判断原函数在不同区间段内的单调性； （ ）利用导数求出曲线 y=f（ x）在点 P（ t， f（ t）处的切线方程，然后构造函数 g（ x）=f（ x） f（ t）（ x t） +f（ t） ，因为点 P（ t， f（ t）是曲线 y=f（ x）与切线的公共点，只要再说明函数 g（ x）有除了 t 外的另外零点即可，通过对函数 g（ x）进行求导，利用函第 18 页（共 22 页） 数单调性得到当 x（ 0， t）或 x（ t， 2时， g（ x） g（ t） =0，利用放缩法，借助与不等式说明当 x 2t+ 时， g（ x） 0，从而说明曲线 y=f（ x）与其在点 P（ t， f（ t）处的切线至少有两个不同的公共点 【解答】 （ ）解： f（ x）的定义域为（ 0， +）， 由 f（ x） =： f（ x） =2 （ 1）若 a0，则 f（ x） 0， f（ x）在（ 0， +）是减函数； （ 2）若 a 0，由 ，得： 则当 x（ 0， ）时， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， ）是减函数； 当 x（ ， +）时， f（ x） 0， f（ x）在（ ， +）是增函数 （ ）证明：曲线 y=f（ x）在 P（ t， f（ t）处的切线方程为 y=f（ t）（ x t） +f（ t）， 且 P 为它们的一个公共点 当 a= 时， ， ， 设 g（ x） =f（ x） f（ t）（ x t） +f（ t） ，则 g（ x） =f（ x） f（ t）， 则有 g（ t） =0，且 g（ t） =0 设 h（ x） =g（ x） = x f（ t），则当 x（ 0， 2）时， h（ x） = + 0， 于是 g（ x）在（ 0， 2）是增函数，且 g（ t） =0， 所以，当 x（ 0， t）时， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， t）是减函数； 当 x（ t， 2）时， g（ x） 0， g（ x）在（ t， 2）是增函数 故当 x（ 0， t）或 x（ t， 2时， g（ x） g（ t） =0 若 x（ 2， +），则 g（ x） = f（ t）（ x t） +f（ t） = t+ ） x 1 t+ ） x 1= x（ x 2t ）1 当 x 2t+ 时， g（ x） 1 0 所以在区间（ 2， 2t+ ）至少存在一个实数 2，使 g（ =0 因此曲线 y=f（ x）与其在点 P（ t， f（ t）处的切线至少有两个不同的公共点 选修 4何证明选讲 22如图， O 是 外接圆， D 是 的中点， 点 E （ 1）求证： E （ 2）若 长等于 O 的半径，求 大小 第 19 页（共 22 页） 【考点】 与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定 【分析】 （ 1）证明 出 E利用 B= E）即可证明结论成立； （ 2）连接 用等边 可求出 大小 【解答】 解：（ 1）证明： 又 = ， E 又 B E） =E E=C， E （ 2）如图所示， 连接 由题意知 等边三角形， 0， 0， 0 选修 4标系与参数方程选讲 23选修