两种群相互作用系统正解的存在性

两种群相互作用系统正解的存在性查淑玲1，李艳玲2(1.渭南师范学院 数学系，陕西西安714000; 2.陕西师范大学 数科院，陕西西安710062)摘 要：利用极值原理及上下解方法,对两种群的含扩散项且具有指数衰减的反应扩散方程组以及与年龄有关的两种群相互作用系统进行了研究，证明了其正解的存在性。关 键 词：最大值原理；上下解；拟增或拟减中图分类号：O175.2 文献标识码：A 文章编号：1000-274X(2004)0106-5对于单种群生物动力学系统中的反应扩散方程组，文献15已做了大量的研究工作。同时，对含扩散项的生物模型的研究也逐渐得到重视，对两种群含扩散项的反应扩散方程组，文献6也给出了其正解的存在性，但对两种群的含扩散项且具有指数衰减的反应扩散方程组的研究，除文献7外为数不多。所以，本文利用极值原理及上下解方法，研究与年龄有关的两种群生物相互作用的系统正解的存在性。下面是两种群相互竟争的生物模型式(1)中，设是R n(n1)中的有界区域，且边界充分光滑,n为的外法向，为第i种群在t时刻的种群数量，均为正常数,为第i种群的死亡函数，反应了两种群间的相互作用,但在上, 具有环境因子的意义，为生育参数。下面对式(1)进行讨论。为了叙述方便，对系统(2)由文献8有引理 引理1 假设分别是系统(2)的上下解,且,是拟增或拟减,则式(2)存在惟一解满足。其中 设是特征值问题：的最小特征值，为对应的特征函数,由此可知，具有正的最小值,设(x)为归范化的，则在上具有的最大值为。不妨将式(1)中右端的项记为定理1当时，式（1）存在惟一的一组解，满足，其中，是满足以下条件的常数。证明设为待定的正函数，由于是拟减的,由上下解的定义它们必须满足将代入有，有取满足即可，解此常微分方程有同理，可证得，再由初边值条件得。由上述过程可知是式(1)的上下解,由引理知定理得证。定理2当，且时，式（1）存在惟一解（u1, u2）, 满足，其中，p2(t)与定理1中的相同，但。证明设为待定正常数，p2(t)待定正函数，由上下解的定义，它们需满足式（3），可解得同样依定理1取，又当时，p2(t)是单调减函数，时式（3）成立。再根据初始条件，只要 时，则，是式（1）的上下解，由引理1知定理得证。定理 3当且，则存在正数A和B，使得当时，式（1）存在惟一解，满足 ，其中，且。证 明 设,这里假定为减函数,为增函数,由上下解的定义它们必须满足上式只要取 记 A=,B=,C=,D=由上解得显然为减函数,而当时为增函数,符合假设,又由于B0, C0, ,这就要求 (4)只要，,一定可选取,使得成立，选定后,也一定可选取使式（4）成立。再根据初值必须要求。最后,当时, 总成立, 所以故，由引理知结论成立。定理 4 若且，则式（1）存在惟一解，满足证明只要取,为常数，按定理中的条件即可证得结论成立。参考文献：1 CURTIN M E, MACCAMY R C. Nonlinear age-dependent population dynamicsJ. Arch Rat Mech Anal, 1994,54: 281-3002 宋 健. 人口系统的稳定性理论和临界妇女生育率J. 自动化学报, 1981, 7(1): 1-12.3 PAO C V. Periodic solutions of parabolic systems with nonlinear boundary conditions J. J Math Anal Appl, 1999, 234: 695-716. 4 BLAT J, BROWN K J. Bifurcation of steady-state solutions in predator-prey and competition systemsJ. Proc Roy Soc Edinburgh, 1984, 97A: 21-34.5 DANSER E N. On the spectrum of some linear noncooperation elliptic systems with radial symmetryJ. Differential and Integral Equations, 1995, 8(3): 515-523.6 李艳玲, 马逸尘. 具有饱和项的互惠模型正解的存在性J. 西安交通大学学报, 2003, 37(6): 650-656.7 张为付, 吕荣庆. 两种生物相互作用的反应扩散模型及解的讨论J. 应用数学和力学, 1994, 15(2): 129-138.8 叶其孝. 反应扩散方程引论M. 北京：科学出版社，1990. （编辑曹大刚）The existence of positive solutions of the system of two interaction species ZHA Shu-ling, LI Yan-ling(1.Department of Mathematics, Weinan Teacher College , Weinan 714000,China; 2.Department of Mathematics, Shaanxi Normal University, Xian 710062,China )Abstract: For two groups which have equations of acting pervasion with pervasive items and index attenuation, by means of the maximum principle and upper-lower solutions, the existence of positive solutions for the two interaction species connecting the age is considered.Keywords: maximump principles; lower-upper solutions; quasimonotone nondecreasing or quasimonotone no- ncreasing作 者 简 介查淑玲，女，陕西潼关人，生于1965年12月。1988年毕业于陕西师范大学数学系,1996年7月，西北大学计算机系研究生课程班结业。现为渭南师范学院数学系讲师，应用数学研究室成员。主讲高等数学、线性代数、概率与数理统计等课程。近年来，在多种学术期刊上发表科研论文20余篇。微分方程的应用方面主要有：二阶线性矩阵微分系统振动的区间准则、单种群体发生传染病的生物总数，