高中数学 2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质配套课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 3 直线与平面 平面与平面垂直的性质 学习目标 1 掌握直线与平面垂直 平面与平面垂直的性质定理 2 能运用性质定理解决一些简单问题 3 了解直线与平面 平面与平面垂直的判定定理和性质定 理间的相互联系 1 线面垂直性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 平行 简记 线面垂直 线线平行 练习1 已知b 平面 a 则直线a与直线b的位 置关系是 b a a bb a bc 直线a与直线b垂直相交d 直线a与直线b垂直且异面 2 面面垂直性质定理 1 定理一 两个平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面 垂直 2 定理二 如果两个平面互相垂直 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个 平面内 练习2 下面四个命题 其中真命题的个数为 如果直线l与平面 内的无数条直线垂直 则l 如果直线l与平面 内的一条直线垂直 则l 如果直线l与平面 不垂直 则直线l和平面 内的所有直线都不垂直 如果直线l与平面 不垂直 则平面 内也可以有无数条直线与直线l垂直 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 a 问题探究 1 过平面外一点可以作几条直线垂直于这个平面 答案 一条 2 垂直于同一个平面的两个平面平行吗 答案 不一定 相交或平行都有可能 题型1 直线与平面垂直的性质定理的简单应用 例1 如图2 3 9 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc 点e是pc的中点 证明 图2 3 9 1 cd ae 2 pd 平面abe 思维突破 要证线线垂直 可先证线面垂直 进而由线面垂直的定义得出线线垂直 要证明线面垂直 则先证明直线垂直于平面内的两条相交直线 证明 1 在四棱锥p abcd中 因为pa 底面abcd cd 平面abcd 故pa cd 又因为ac cd pa ac a 所以cd 平面pac 而ae 平面pac 所以cd ae 2 由pa ab bc abc 60 得 abc是等边三角形 故ac pa 因为点e是pc的中点 所以ae pc 由 1 知 ae cd 且pc cd c 所以ae 平面pcd 而pd 平面pcd 所以ae pd 又因为pa 底面abcd 所以pa ab 由已知 得ab ad 且pa ad a 所以ab 平面pad 故ab pd 又因为ab ae a 所以pd 平面abe 从本例可以进一步体会线面位置关系的相互 转化在解 证 题中的作用 变式与拓展 1 如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况 三角形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正六边形的两边 c 不能保证该直线与平面垂直的是 a b c d 题型2 平面与平面垂直的性质定理的简单应用 例2 如图2 3 10 在三棱锥s abc中 sa 平面abc 平面sab 平面sbc 求证 ab bc 图2 3 10 证明 作ah sb于点h 平面sab 平面sbc ah 平面sbc ah bc 又 sa 平面abc sa bc 又 ah sa a bc 平面sab bc ab 面面垂直 线面垂直 线线垂直 变式与拓展 2 如图2 3 11 四棱锥v abcd的底面为矩形 侧面vab 底面abcd 且vb 平面vad 求证 平面vbc 平面vac 图2 3 11 证明 四边形abcd为矩形 bc ab 又 面vab 面abcd 面vab 面abcd ab bc 面vab bc va vb 面vad vb va vb bc b va 面vbc 又 va 面vac 面vbc 面vac 题型3 面面垂直的综合应用 例3 如图2 3 12 已知矩形abcd 过点a作sa 平面ac ae sb于点e 过点e作ef sc于点f 1 求证 af sc 2 若平面aef交sd于点g 求证 ag sd 图2 3 12 sa bc 四边形abcd是矩形 ab bc bc 平面sab 又 ae 平面sab bc ae 又 sb ae ae 平面sbc ae sc 又 ef sc sc 平面aef af sc 证明 1 sa 平面ac bc 平面ac 2 sa 平面ac dc 平面ac sa dc 又 ad dc dc 平面sad 又 ag 平面sad dc ag 又由 1 有sc 平面aef ag 平面aef sc ag 且sc dc c ag 平面sdc ag sd 变式与拓展 3 已知pa 矩形abcd所在平面 平面pdc与平面abcd 成45 角 m n分别为ab pc的中点 求证 平面mnd 平面pdc 证明 如图d32 设点e为pd中点 连接ae en 图d32 m n分别为ab pc中点 四边形amne为平行四边形 mn ae pa 矩形abcd所在的平面 pa dc pa ad 又 dc ad dc 平面pad 而ae 平面pad dc ae dc pd pda是二面角p dc a的平面角 pda 45 又pa ad apd 45 pad是等腰直角三角形 点e为pd的中点 ae pd 又 dc ae ae 平面pdc 又 mn ae mn 平面pdc 平面mnd 平面pdc 例4 证明 如果两个相交平面都垂直于第三个平面 那么它们的交线垂直于第三个平面 易错分析 找不准辅助线 无从下手 证法一 如图d29 在 内取一点p 作pa垂直 与 的交 线于点a 再作pb垂直 与 的交线于点b 则pa pb l l pa l pb 与 相交 pa与pb相交 又 pa pb l 图d29 图d30 图d31 证法二 如图d30 在 内作直线m垂直于 与 的交线 在 内作直线n垂直于 与 的交线 m n m n 又n m m l l 证法三 如图d31 在l上取一点p 过点p作 的垂线l 但 l l与l 重合 l 方法