三余弦公式的推导及其应用.doc

教材研究三余弦公式的推导及其应用教材研究1.公式的推证及两个重要推论2OABCl1图1 命题：设OB平面，B为垂足，OA是平面的斜线，A为斜足.OAB=，l是平面内的任一直线，l与AB所成的角为，l与OA所成的角为，如图1.则： （三余弦公式）. 证法1：过斜足A引l的平行线AC，则OAC=,BAC=. 再过B作BCAC，连OC，则易知ACOC， 由直角三角形中三角函数的定义有： .证法2：设，则 , . 又 ， .由于0190. 所以cos10，则，由此可得：推论1：此即三垂线及其逆定理.又由于01 所以cos1，从而1，由此可得：推论2：（最小角定理）平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角.2.公式的应用举例ASBC图22.1.在几何论证方面的应用： 例1.求证:将长方体截取一角后的截面是锐角三角形. 证明：如图2，设四面体SABC是长方体截取一角，则易知： AS平面BSC，由三余弦公式知： cosABC= cosABScosCBS， CBS，ABS都是锐角 cosABS, cosCBS都大于0，从而cosABC大于0. 又 ABC是三角形的一内角, ABC是锐角. 同理可得：BAC、BCA也都是锐角.故 三角形ABC是锐角三角形.注：此问题的证法很多,上述证法是证明此结论的所有证法中较为简单的一种.想一想：已知平面，直线AB与、所成的角分别为，则（ ）. A.等于90， B.小于90， C.不大于90， D.不小于90.2.2利用它处理与线面所成角有关的问题： 例2.PA、PB、PC是从点P引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ）. A. ， B. ， C. ， D.PCABD图3 解：如图3， CPB=APC=60 PC在平面APB上的射影PD 是APB的角平分线，即DPB=30.由三余弦公式得： cos60=cos30cosDPC 则cosDPC=. 即直线PC与平面PAB所成角的余弦值为.故选C.例3.有一东西方向的河流，离河岸若干米处有一探照灯，照着岸边的某点B，探照灯在点B的正东北方向，照射B点的光线与地面成60角，求该光线与岸边所成角的余弦值.DBCA东图4解：如图4，设AD为探照灯，BC为河岸，则AD水平面ABC， 由已知有：ABC=45，ABD=60.由三余弦公式得： cosDBC=cos45cos60=. 即 灯光与岸边所成角的余弦值是. 想一想： 设正四面体ABCD的棱长为a，求点A到平面BCD的距离AO及其体积. 【引申】通常情况下与2是锐角.若与2同为钝角时，三余弦公式仍成立，且有更广泛的用途.ABCDC1l图5例4.如图5.在直二面角的棱l上有点A,在内各有一条射线AB、AC，它们与l均成45的角，且AB在平面内， AC在平面内，求BAC的大小. 解：（1）当AB、AC是如图所示状态时， 二面角是直二面角， .过B作BD垂直l于D，由三余弦公式得: cosBAC =cos45cos45=, BAC=60. （2）当AC是如图所示AC1状态时，cosBAC =cos45cos135= - BAC=120 综上知 BAC=60或120.ABNMOCDDCNMABO图6 例5.已知正方形ABCD的边长为4，M、N分别是边AD、BC上的点，MNAB,MNAC=O.现正方形ABCD沿MN折成直二面角(如图6),设AM=BN=x（0x4），问.当MN平行移动时, AOC是否发生变化?试说明理由. 解：此题的常规方法是：通过计算，将AO、OC、AC分别用x表示出来，然后由余弦定理算出cosAOC= -是常数(计算量较大).从而得出结论.若换个角度来看：则易知：NOC=45, NOA=135,由三余弦公式有：cosAOC =cos45cos135= -，可很快可得结论. 点评：由以上几例可以看出，在涉及直线与平面所成角的问题时.若能充分利用三余弦公式，可做到思路简单、计算简便，收到事半功倍之效.FBFAEDCMOAEDBCMO图7 想一想：如图7.把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角BACD，E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形的中心，求折起后EOF的大小. 2.3.利用它处理与两异面直线所成角有关的问题：例6.如图8所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在B1C1、C1C上，且ABCDD1A1B1C1FE图8,求异面直线A1B与EF所成角的余弦值.解： A1B1平面BB1C1C A1B与平面BB1C1C所成角为45. 又, EFC1=30 即EF与C1C所成角为30, 亦即EF与B1B所成角为30.设A1B与EF所成角为，则由三余弦公式可得：cos= cos450cos30= . 异面直线A1B与EF所成角的余弦值为. 例7.已知异面直线a、b所成的角为=60，点P为空间任意一点.（1）过P点与直线a、b所成的角均为=45的直线有几条？（2）过P点与直线a、b所成的角均为=60的直线有几条？（3）过P点与直线a、b所成的角均为=70的直线有几条？ 解：（1）如图9，过点O引异面直线a、b的平行线OA、OB，OPADBab图9l则问题转换为求过点P与OA、OB所成的角均为45的直线的条数. OP与OA、OB成等角45 OP 在由OA、OB确定的 平面内的射影OD是AOB的平分线，即DOB=30. 由三余弦公式可得：cosPOB = cos45cosPOD,cos45= cos30cosPOD，1， 这样的直线OP如图9存在一条，又由对称性在l的另一侧也存在一条. 再考虑到AOBD的补角的情形，由三余弦公式，cos45 = cos60cosPOD1, 1, 此种情形的直线不存在. 综上所述知，满足条件的直线有2条. （2）同（1）的分析，满足条件的直线存在与否就是看等式：1（有2条）,=1（只1条）,从而知满足条件的直线有3条. （3） 1（有2条）,1（有2条）, 满足条件的直线有4条. 点评：一般地，设异面直线a、b所成的角为，过P且与a、b所成的等角为.则当：1“1”（2条）；“=1”（1条）；“1”（0条）. 2“1”（2条）；“=1”（1条）；“1”（0条）.然后将上述1、2两种情形合并即可. 想一想： 设异面直线a、b所成的角为50，点P为空间任意一点,问过P点与直线a、b所成的角均为45的直线有几条？PBAO图10变式:(09重庆高考)已知二面角的大小为1=50，点P为空间任意一点,过P且与平面和平面所成的角均为1=25的直线的条数为( ) A、2, B、3, C、4, D、5. 解:如图10.过点P分别作平面、的垂线PA、PB. 设由垂线PA、PB确定的平面与交于点O，则易知： AO，BO，即AOB为二面角的平面角. AOB=50，则APB=130.又过P的直线与平面和平面所成的角均为25， 问题转化为为过点P与PA、PB均成65的直线的条数问题了.由例4（3）我们已知满足条件的直线有3条.故选B.AFEBCBCAFE图11点评：一般地，此类问题可转化为=180-1，=90-1时,例4的情形.【练习】1.如图11.在RtABC中，AB=BC，E、F分别是AC，AB的中点，以EF为棱把它折成直二面角AEFBC，设AEC=，求cos.并将此与上述例5及想一想进行比较.DABC图12 2.已知平面内有xoy=60，OA是的斜线，且OA=10，Aox=Aoy=45，则A到平面的距离为（ ）. 3.在三棱锥DABC中，DA平面ABC，ACB=90，ABD=30,AC=BC，求异面直线AB与CD所成的角.AB21CD图13【部分问题参考答案】想一想 解析:如图,过A、B分别作棱的垂线AC、BD，则易知，ABC=，BAD=,又设ABD=，由最小角定理知，.而90，则 90， 故选C.ABCDO图14想一想 解： 四面体ABCD是正四面体 AB在底面BCD上的射影是CBD的角平分线，如图，由三余弦公式得：cos60=cosABOcos30， cosABO=.于是sinABO= ， AO=a. 其体积为：.想一想 解:过点E作EMAC于M， 在折叠的过程中，EOA=45, FOA=135,没有发生变化，由三余弦公式, cosEOF=cos45cos135= -， EOF=120. 想一想 提示:2条. 【练习】 1.提示:120，此问题与例4等实质上是一致的. 2.解：设OA与平面所成的