6.4 数列的通项及数列求和ppt课件

要点梳理1 若已知数列 an 满足an 1 an f n 且f 1 f 2 f n 可求 则可用求数列的通项an 2 若已知数列 an 满足 f n 且f 1 f 2 f n 可求 则可用求数列的通项an 6 4数列的通项及数列求和 累加法 累积法 基础知识自主学习 3 等差数列前n项和Sn 推导方法 等比数列前n项和推导方法 乘公比 错位相减法 Sn na1 q 1 q 1 倒序相加法 4 常见数列的前n项和 1 1 2 3 n 2 2 4 6 2n 3 1 3 5 2n 1 4 12 22 32 n2 5 13 23 33 n3 n2 n n2 5 1 分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 2 拆项相消 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式 相加过程消去中间项 只剩有限项再求和 3 错位相减 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 4 倒序相加 例如 等差数列前n项和公式的推导 6 常见的拆项公式有 基础自测1 已知等比数列 an a1 3 且4a1 2a2 a3成等差数列 则a3 a4 a5等于 A 33B 72C 84D 189解析由题意可设公比为q 则a2 a1q a3 a1q2 4a2 4a1 a3 4a1q 4a1 a1q2 又a1 3 q 2 a3 a4 a5 a1q2 1 q q2 3 4 1 2 4 84 C 2 如果数列 an 满足a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 是首项为1 公比为3的等比数列 则an等于 A B C D 解析a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 an C 3 已知数列 an 的通项公式是an 其中前n项和Sn 则项数n等于 A 13B 10C 9D 6解析 an Sn n n 1 而 D 4 数列的前n项和为 A B C D 解析由数列通项公式得前n项和 B 54 题型一由递推公式求通项公式 例1 分别求满足下列条件的数列的通项公式 1 设 an 是首项为1的正项数列 且 n 1 an 1an 0 n 1 2 3 2 已知数列 an 满足an 1 a1 2 题型分类深度剖析 解 1 方法一 数列 an 是首项为1的正项数列 anan 1 0 1 0 令 t n 1 t2 t n 0 n 1 t n t 1 0 t 或t 1 舍去 即 方法二由 n 1 an 1an 0 得n an 1 an 1 an 0 即 an 1 an n 1 an 1 nan 0 an 0 an 1 an 0 n 1 an 1 nan 0 即 2 将已知递推式化为将以上 n 1 个式子相加得 探究提高已知递推关系求通项公式这类问题要求不高 主要掌握由a1和递推关系先求出前几项 再归纳 猜想an的方法 以及累加 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 累乘 an 等方法 解 1 因为对于一切n N an 0 因此由an 1 得即 数列是等差数列 n 1 2 2n 1 即an 知能迁移1由已知在数列 an 中a1 1 求满足下列条件的数列的通项公式 1 an 1 2 an 1 2an 2n 1 2 根据已知条件得即 数列是等差数列 即an 2n 1 2n 1 题型二错位相减法求和 例2 设数列 an 满足a1 3a2 32a3 3n 1an n N 1 求数列 an 的通项 2 设bn 求数列 bn 的前n项和Sn 解 1 a1 3a2 32a3 3n 1an 当n 2时 a1 3a2 32a3 3n 2an 1 得3n 1an an 在 中 令n 1 得a1 适合an an 2 bn bn n 3n Sn 3 2 32 3 33 n 3n 3Sn 32 2 33 3 34 n 3n 1 得2Sn n 3n 1 3 32 33 3n 即2Sn n3n 1 探究提高解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列 3n 1an 的前n项和 从而利用an与Sn的关系求出通项3n 1an 进而求得an 另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法 但值得注意的是 这种方法运算过程复杂 运算量大 应加强对解题过程的训练 重视运算能力的培养 知能迁移2在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 1 设bn 证明 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的前n项和Sn 1 证明 an 1 2an 2n bn bn 1 bn 1 即bn 1 bn 1 b1 1 故数列 bn 是首项为1 公差为1的等差数列 2 解由 1 知 bn n an n 2n 1 则Sn 1 20 2 21 n 1 2n 2 n 2n 12Sn 1 21 2 22 n 1 2n 1 n 2n两式相减 得Sn n 2n 1 20 21 2n 1 n 2n 2n 1 题型三分组转化求和 例3 求和Sn 1 解和式中第k项为 探究提高先将求和式中的项进行适当分组调整 使之每一个组为等差或等比数列 然后分别求和 从而得出原数列的和 它是通过对数列通项结构特点的分析研究 将数列分解转化为若干个能求和的新数列的和或差 从而求得原数列的和的一种求和方法 解前n项和为Sn 1 1 1 4 7 3n 2 设S1 当a 1时 S1 n 当a 1时 S1 知能迁移3求下列数列的前n项和 S2 1 4 7 3n 2 当a 1时 Sn S1 S2 当a 1时 Sn S1 S2 解 1 an Sn Sn 1 n 2 Sn Sn 1 Sn 即2Sn 1Sn Sn 1 Sn 3分由题意Sn 1 Sn 0 题型四裂项相消法求和 例4 12分 已知数列 an 中 a1 1 当n 2时 其前n项和Sn满足 1 求Sn的表达式 2 设bn 求 bn 的前n项和Tn 式两边同除以Sn 1 Sn 得 数列是首项为公差为2的等差数列 4分 1 2 n 1 2n 1 Sn 6分 2 又bn 8分 Tn b1 b2 bn12分 使用裂项法求和时 要注意正负项相消时消去了哪些项 保留了哪些项 切不可漏写未被消去的项 未被消去的项有前后对称的特点 实质上造成正负相消是此法的根源与目的 探究提高 方法与技巧1 求数列通项的方法技巧 1 通过对数列前若干项的观察 分析 找出项与项数之间的统一对应关系 猜想通项公式 2 理解数列的项与前n项和之间满足an Sn Sn 1 n 2 的关系 并能灵活运用它解决有关数列问题 2 an的两种常见变形an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 累加法 an a1 累乘法 思想方法感悟提高 3 数列求和的方法技巧 1 倒序相加 用于等差数列与二项式系数相关联的数列的求和 2 错位相减 用于等差数列与等比数列的积数列的求和 3 分组求和 用于若干个等差或等比数列的和数列的求