2013高等数学竞赛习题西南习题2、3.doc

习题（三）练习311、填空题（1）设，则 （2）曲线上点处的切线方程为 （3）设质点作直线运动，其速度和时间的关系为，则在时刻的瞬时加速度为 （4）设化学反应中物质的浓度和时间的关系为，则在时刻该物质的瞬时反应速度为 （5）设曲线上某点处的切线方程为，则常数 2、选择题（1）函数在处 （ ） 左导数存在，右导数存在 左导数存在，右导数不存在 左导数不存在，右导数不存在 左导数不存在，右导数存在（2）曲线上点（1，0）处的切线与轴的交角为 （ ） /2 /3 /4 /6（3）设周期为4的函数在内可导，则曲线在点处的切线的斜率为 （ ） （4）若在点处可导，则在点处 （ ） 必可导 连续但不一定可导 一定不可导 不连续（5）若 在处可导，则常数的值应为（ ） ， ， ， ，（6）设 满足，且，其中为非零常数，则= （ ） 3、讨论 在点处的连续性与可导性。练习321、求下列函数的微分（1） （2）（3） （4）（5） （6）2、求下列函数的导数（1） （2）（3） （4）（5） （6）3、设对任意实数，满足，且，证明 处处可微。练习331、填空题（1）设在点处可导，则 （2）设是单调连续函数的反函数，且，则 （3）设，则 （4）设，则 （5）设；则 （6）设由确定，则= （7）设函数由参数方程所确定，则 （8）曲线在点处的法线方程为 。（9）设函数由参数方程所确定，则 （10）设，则 。（11）设，则 （12）已知，则 2、选择题（1）若函数由参数方程确定，其中为可导函数，且，则 （ ） 0 1 2 3（2）设，则 （ ） （3）设，则 （ ） （4）设曲线与都经过点，且在点处有公共切线，其中是常数，则 （ ） ， ， ， ，（5）设，则 （ ） 3、设，讨论的连续性。4、求下列函数的导数（1） （2），其中为可导函数。练习341、填空题（1）设，则 （2）设，其中为正整数，则 （3）设，则当为大于1的正整数时， （4）设，则 2、选择题（1）设函数，则在点处 （ ） 不连续，不可导 不连续，可导 连续，不可导 连续，可导（2）设，又在内，则在内有 （ ）， ， ， ，（3）已知函数具有任意阶导数，且，则当为大于2的正整数时，的阶导数是 （ ） 3、求下列函数的阶导数（1） （2） 4、设，求。 5、设函数由确定，求。 参考答案练习311、（1）， （2） （3） （4） （5）2 、(1) (2) (3) (4) (5) (6) 3、，即，从而在处连续。又因为，所以在处不可导。练习32 1、（1） （2）（3） （4）（5） （6）2、（1） （2）（3） （4）（5） （6）3、，。练习331、（1） （2） （3） （4）（5）（6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）2、（1） （2） （3） （4） （5） 3、当时，；当时，。又，即。易知的间断点只有。由于不存在，所以是的第二类间断点。4、（1）（2）练习341、（1） （2） （3） （4）2、（1） （2） （3） 3、（1）（2）4、 5、，习题(二)练习21 1、填空题（1）函数的定义域为 。（2）设是以2为周期的周期函数，且为偶函数，在上，则 。（3）设，则 。（4） 设，则= 。2、选择题 （1）设，则下列结论正确的是 （ ） （A） （B）（C） （D） （2）函数是 （ ）（A）有界函数 （B）单调函数 （C）周期函数 （D）偶函数 （3）设，则= （ ）（A） （B）（C） （D）3、在半径为r的球面内嵌入一个内接圆柱体，试将圆柱体的体积V表示为其高h的函数。4、下列各题中复合函数的复合过程（1） （2）5、求下列各函数的定义域 （1） （2）6、已知，且，求及其定义域。*7、设，试求的所有根。练习221、填空题（1） 。（2）若，则a= ，b= 。（3） 。2、求下列各极限（1） （2）（3） （4）3、设，求及。练习231、填空题 （1） 。 （2） 。 *（3） 设，则常数a= 。2、选择题 （1）之值为 （ ）（A）+ （B）0 （C）1 （D）2（2）函数在点处的极限为 （ ） （A）e （B）e （C）0 （D）不存在3、计算下列极限 （1） （2） （3） （4）（5） （6）4、求极限5、证明数列的极限存在，并求此极限。练习241、填空题（1） 设时，与是等价无穷小，则常数= 。（2） = 。（3） = 。2、选择题（1）时，为无穷小量，为无穷大量，则 必为无穷大量 （ ）（A） （B）（C） （D）（2）当时，函数是 （ ）（A）无穷大量 （B）无穷小量 （C）无界函数 （D）有界函数（3），则 （ ）（A） （B）（C） （D）*（4）当时，函数的极限 （ ）（A）等于2 （B）等于0 （C）为 （D）不存在但不为3、计算下列各极限（1） （2）（3） （4）（5） （6）4、设时， 与为等价无穷小，求常数之值5、求极限练习251、判断题（1）若在处连续，在处间断，则+在处间断。（2）若在处连续，在处间断，则在处间断。（3）分段函数必存在间断点。2、填空题 （1）在处左、右极限存在是在处连续的 。 （2）设在上连续，则= 。（3）若在处连续，则常数与应满足 。4、选择题 （1）是函数的 （ ）（A）无穷间断点 （B）可去间断点（C）跳跃间断点 （D）振荡间断点（2）设函数且无间断点，则 （ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）*（3）设函数和在内有定义，为连续函数，且，有间断点，则 （ ）（A）必有间断点 （B）必有间断点（C）必有间断点 （D） 必有间断点4、求下列各极限(1) (2)(3) (4)5、求间断点，并指出间断点的类型(1) (2)*6、已知在处连续，求常数。7、求的间断点,并判断其类型。练习2-61、证明方程至少有一根介于1和2之间。2、证明方程至少有一个小于1的正根。3、设连续，与是方程=0的两个相邻的根，如果有，使,试证明在内。4、设在上连续,且，证明在上至少存在一点,使得成立，其中是任意正常数。习题答案与提示练习211、填空题（1） （2） （3） （4）2、（1）（B） （2）（D） （3）（D）3、， 4、（1）， （2） 练习221、（1）0 （2）为任意常数， （3）2、（1） （2）0 （3）不存在 （4）23、，不存在 练习231、（1）1 （2） （3）2、（1）（C） （2）（D）3、（1）2 （2） （3） （4） （5） （6）4、答案为1。提示：应用夹逼准则。5、显然，单调上升，且。由得，即有界。由单调有界准则知存在，令，有，解得。练习241、（1）4 （2） （3）02、（1）（A） （2）（C） （3）（C） （4）（D）3、（1） （2）2 （3）1 （4）1 （5） （6）44、5、答案为。提示：。练习251、（1） （2） （3）2、（1）必要条件 （2） （3）3、（1）（B） （2）（A） （3）（D）4、（1）0 （2）2 （3）2 （4）5、（1）是跳跃间断点，属于第一类 （2）是跳跃间断点，属于第一类6、7、间断点为0、1、2。为无穷间断点，属于第二类；可去间断点，属于