2011届南京市高三数学二轮复习专题讲座9----解析几何复.doc

金太阳新课标资源网 解析几何二轮复习建议南京一中引入坐标系，使点与坐标，曲线与方程联系起来的坐标方法对于数学发展起了巨大的作用。用坐标法研究曲线（几何图形），实际上要解决两个问题：第一是由曲线（几何图形）求方程；第二是利用方程讨论曲线（几何图形）的性质。由曲线求方程，要解决如何将曲线上的点所满足的条件转化为曲线上点的坐标所适合的方程；在解析几何里，所讨论的曲线的性质通常包括：曲线的范围，曲线的对称性，曲线的截距，以及不同曲线所具有的一些特殊性质，例如过定点，过定线，最值等一些不变（量）性。用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。坐标法是借助坐标系，以代数中数与式、方程的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法。因此，要有一定的代数知识基础，特别是代数式变形和解方程组的能力要求较高。以下解析几何二轮复习建议，仅供参考。基本题型一：求基本量1直线的几何量主要是斜率、倾斜角、截距；圆的几何量主要是圆心、半径。这些量主要通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点出现2圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率。在已知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a，b，c，p的值，二是记准相应量的计算公式在已知图形中求有关量时，要明确各个量的几何意义和图形中的特征求方程或不等式求几何量例1直线l：xym0与圆C：x2y22x20相切，则直线l在x轴上的截距_解：因为C方程可化为(x1)2y2()2，所以圆心C(1，0)，半径r，因为直线l与圆C相切，直线C到l的距离等于r，即，解得m3或当m时，直线l方程为xy0，在x轴上的截距为1；当m3，直线l方程为xy30，在x轴上的截距为3例2(2008天津）设椭圆1(m1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为_解：根据椭圆定义得2a13，a2，即m2，b，c1，e，根据第二定义得P到右准线距离为2xyF2OF1BA例3（2007安徽）如图，F1和F2分别是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_解法一：不妨设OF21，因为OF1OF2OA，所以AF1F2为直角三角形所以AF11所以2aAF2AF11,又2c2，所以e1解法二：连接OA，由ABF2为等边三角形，可得A点的坐标为(c，c)因为A在双曲线上，所以1，即e21，去分母整理得e48e240，解得e242，e1因为e1，所以e1xyOFKAHl例4（2008四川）已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且AKAF，则AFK的面积为_解：如图，过A作AHl，垂足为H，由抛物线的定义可知，AFAH，又AKAF，所以AKAH，因为AHK90，所以AKH45，所以KHAHyA所以AFyA即AFx轴所以AFFK4，SAFK8例5（2010四川）椭圆的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 分析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，。如果我们考虑几何的大小，易知不超过，得到一个关于基本量，的不等式，从而求出离心率的范围；如果我们考虑，通过设椭圆上的点，注意到椭圆本身的范围，也可以求出离心率的范围。解法1：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以，而，所以，所以。又，所以，所以，即，又，所以*解法2：设点。由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以，由椭圆第二定义，所以，而，所以，解出，由于，所以，又，所以，即，又，所以基本题型二：求曲线方程1已知曲线的类型求曲线方程的基本方法：直接法与待定系数法。在用直接法求方程时，要注意条件的转化方向和手段，在用待定系数法求方程时，要注意方程形式的选择标准和一些常用的设方程的技巧。2求一般轨迹方程常用方法：直接（译）法、参数法和数形结合法。以直接（译）法为主，强化曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤。也是注意，相关点法、参数法和数形结合法，有利于拓展思考问题的思路。例6已知直线l经过点P(1，1)，它被两平行直线l1：x2y1=0及l2：x2y3=0所截得的线段M1M2的中点M在直线l3：xy1=0上，试求直线l的方程解法一：（1）当直线l斜率不存在时，直线l的方程是x1，与直线l1，l2的交点分别为M1(1，1)，M2(1，2)线段M1M2的中点(1，)不在直线l3上，不合（2）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x1)，分别与l1，l2联列解得M1(1，1)，M2(，），线段M1M2的中点为M(，），因为M在直线l3上，代入得，k代入得直线l的方程为2x7y50解法二：因为被两平行直线l1，l2所截线段M1M2的中点在与l1，l2平行且与l1，l2等距离的直线上，而与l1，l2平行且与l1，l2等距离的直线方程为x2y20，又由已知线段M1M2的中点M在直线l3：xy1=0上，所以由方程组解得线段M1M2中点M的坐标为(，)从而直线l经过点P(1，1)和M(，)，代入两点式得直线l的方程为2x7y50例7已知点A(2，2)，B(3，1)，C(5，3)，求ABC内切圆的方程.yABCx5O3221I解：代入两点式得三边的方程分别是AB：3xy80，BC：2xy70，CA：x3y40设ABC的内心坐标为I(a，b)，则由I到三边的距离相等得，根据I的位置和线性规划知识，可以去绝对值得，化简得解得a62，b半径r所以内切圆的方程为(x62)2(y)2()2例8已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长与短轴长的比为，且过点(，)，则该椭圆的方程是_解：根据条件可知椭圆为标准方程（1）当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为1(ab0)由条件得解得所求的椭圆方程为1（2）当焦点在y轴上时，设椭圆的方程为1(ab0) 由条件得解得所求的椭圆方程为1例9如图，在以点O为圆心，AB4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB60，曲线C是满足MAMB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P求曲线C的方程解：如图建立平面直角坐标系，因为曲线C过点P，所以MAMB为定值就是PAPB，根据条件求得PAPB2(1)，所以MAMB2(1)ABABDPOxy根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以A，B为焦点，且长轴长为2(1)的椭圆，在所建的坐标系中，方程形式为1(ab0)根据条件得a1，c2，b2a2c212，所以曲线C的方程为1AyxOF1F2例10（2010安徽）椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。()求椭圆的方程；()求的角平分线所在直线l的方程。解：（）设椭圆E的方程为，由，得，所以，将A点代入，得，所以椭圆E的方程为：（）由（）知，所以直线方程为，即，直线方程为。由椭圆E的图形知，的角平分线所在直线的斜率为正数。设为的角平分线所在直线上任意一点，则有，若，得，其斜率为负，不合题意，舍去。于是，即，所以，的角平分线所在直线方程为。例11（2011南京一模）在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C 上的点（2，1）到两焦点的距离之和为4 （1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A，B两点，其中点A在x轴下方，且3求过O，A，B三点的圆的方程解：（1）由题意，设椭圆C：1(ab0)，则2a4，a2 因为点(2，1)在椭圆1，所以1，解得b所以所求椭圆方程为1 （2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)点F的坐标为F（3，0）ABxOyF由3，得即 又A，B在椭圆C上，所以解得 所以B(，)，代入得A点坐标为(2，) 因为0，所以OAAB 所以过O，A，B三点的圆就是以OB为直径的圆，其方程为x2y2xy0 基本题型三：研究曲线性质1定值问题：解决定值问题主要通过两类方法，一是通过特殊位置得出定值，然后通过证明在一般位置也成立二是通过把所要证明为定值的量表示为另外一个或两个引起变化的量的函数或方程，然后通过化简变形，证明结果与引起变化的量无关2范围问题：主要通过寻找所求量的不等式或不等式组，然后解不等式或不等式组得到范围或通过构造所求量的函数，然后研究此函数的定义域或值域等求出范围DFByxAOE例12（2008全国）设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点（1）若6，求k的值；（2）求四边形AEBF面积的最大值解：（1）依题设得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2且x1，x2满足方程(14k2)x24，故x2x1由6知x0x16(x2x0)，得x0(6x2x0)x2，由D在AB上知x02kx02，得x0所以，化简得24k225k60，解得k或k（2）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点E，F到AB的距离分别为h1，h2又AB，所以四边形AEBF的面积为SAB(h1h2)22当2k1，即当k时，上式取等号所以S的最大值为2解法二：由题设，|BO|1，|AO|2设F(2cosq，sinq)，q(0，)，则E(2cosq，sinq)，故四边形AEBF的面积为SSBEFSAEFBO2cosq(2cosq)AOsinq(sinq)2cosq2sinq2sin(q)，当q时，S有最大值2例13已知圆C的方程为x2y26x2y50，过点P(2，0)的动直线l与圆C交于P1，P2两点，过点P1，P2分别作圆C的切线l1，l2，设l1与l2交于为M，求证：点M在一条定直线上，并求出这条定直线的方程解法一：因为C：(x3)2(y1)25，所以圆心C为(3，1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，M(x0，y0)，因为P1MCP1，所以0所以(x1x0)(x13)(y1y0)(y11)0，即(x13)2(3x0)(x13)(y11)2(1y0)(y11)0，因为(x13)2(y11)25，所以(x03)(x13)(y01)(y11)5，同理(x03)(x23)(y01)(y21)5所以过点P1，P2的直线方程为(x3)(x03)(y1)(y01)5因直线P1P2过点(2，0)所以代入得(23)(x03)(01)(y01)5，即x0y010所以点M恒在直线xy10上解法二：设M(x0，y0)，则以MC为直径的圆C1的方程为(xx0)(x3)(yy0)(y1)0，即x2y2(x03)x(y01)y3x0y00，由平面几何知识可得，过M作C的两条切线的切点分别为P1，P2，直线P1P2的方程即为C与C1公共弦所在直线方程，从而由C与C1方程相减得直线P1P2的方程为（x03)x(y01)y53x0y00，因为直线P1P2过点P(2，0)，代入得x0y010，即点M恒在直线xy10上例14（2009江苏）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。解：(1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得： 化简得：求直线的方程为：或，即或(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为： ，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心到直线与直线的距离相等。 故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，有： 解之得：点P坐标为或。例15已知椭圆中心在坐标原点，短轴长为2，一条准线l的方程为x2（1）求椭圆方程；（2）设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值解：（1）椭圆方程为，（2）思路一：(最基本的思路)设点M坐标为（2，y0），则以OM为直径的圆方程为(x1)2(yy0)21直线OM的斜率为，因为F (1，0)，所以FN方程为y(x1)由直线方程与圆方程可求得点N的坐标再由两点之间的距离公式求出ON的长，它与y0无关（定值）（2）思路二：设点N坐标为(x0，y0)，点M坐标为（2，y）因为ONNM，所以1又因为OMFN，且F (1，0)，所以1由、消去y可得x02y022，即ON 22（定值）基本题型四：综合例16（2008江苏）满足条件AB2，ACBC的三角形ABC的面积的最大值是_解法一：条件化为c2，bacosC，sinC，SABC2解法二：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设C(x，y)，因为A(1，0)，B(1，0)，代入化简得(x3)2y2(2)2，所以C到AB的最大距离为2，SABC的最大面积为2例17（2007上海）已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若，求的取值范围；yO.Mx.解：（1）F0（c，0）F1（0，），F2（0，）| F0F1 |，| F1F2 |于是，所求“果圆”方程为（x0），（x0）（2）由题意，得ac2b，即（2b）2b2c2，a2b2（2ba）2，得又b2c2a2b2，例18（2009广东）设，椭圆方程为，抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；AyxOBGFF1图4（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）【解析】（1）由得，当得，G点的坐标为，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理 以为直角的只有一个。若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和， 关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。基本题型五：坐标系与参数方程（附加题）1极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，特别