高中数学总复习教学案09：圆锥曲线与方程

1 高中数学总复习题组法教学案编写体例高中数学总复习题组法教学案编写体例 第第 9 9 章章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 本章知识结构 本章的重点难点聚焦 本章的重点 椭圆 双曲线 抛物线的定义 标准方程及标准方程表示的圆锥曲线的几何性 质 直线与圆锥曲线的位置关系 本章的难点 求圆锥曲线的方程及利用几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系综合问题 本章学习中应当着重注意的问题 理解椭圆 双曲线 抛物线的概念 准确掌握标准方程所表示曲线的几何性质 特别注 椭圆 双曲线 抛物线 直线与圆锥曲线 曲线与方程 定义 定义 定义 位置关系 曲线的方程 标准方程 标准方程 标准方程 几何性质 几何性质 几何性质 应用 应用 应用 相交 相切 相离 圆锥曲线的弦 求曲线 轨迹 的方 程 画方程的曲线 求两曲线的公共点 圆锥曲线与方程 2 重函数与方程不等式的思想 转化思想 数形结合思想在本单元解题中的应用 本章高考分析及预测 本章内容是高中数学的重要内容之一 也是高考常见新颖题的板块 各种解题方法在本章 得到了很好的体现和充分的展示 尤其是在最近几年的高考试题中 平面向量与解析几何的融 合 提高了题目的综合性 形成了题目多变 解法灵活的特点 充分体现了高考中以能力立意的命 题方向 通过对近几年的高考试卷的分析 可以发现选择题 填空题与解答题均可涉及本章 的知识 分值 20 分左右 主要呈现以下几个特点 1 考查圆锥曲线的基本概念 标准方程及几何性质等知识及基本技能 基本方法 常以选 择题与填空题的形式出现 2 直线与二次曲线的位置关系 圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现 这类问题视 角新颖 常见的性质 基本概念 基础知识等被附以新的背景 以考查学生的应变能力和解 决问题的灵活程度 3 在考查基础知识的基础上 注意对数学思想与方法的考查 注重对数学能力的考查 强 调探究性 综合性 应用性 注重试题的层次性 坚持多角度 多层次的考查 合理调控综 合程度 4 对称问题 轨迹问题 多变量的范围问题 位置问题及最值问题也是本章的几个热点问 题 但从最近几年的高考试题本看 难度有所降低 有逐步趋向稳定的趋势 9 1 椭 圆 新课标要求 了解椭圆的实际背景 了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 掌握椭圆的定义 几何图形 标准方程及简单性质 重点难点聚焦 本节的重点是椭圆的定义 标准方程和几何性质 本节的难点是椭圆标准方程两种形式的应用及解决椭圆问题所涉及的思想方法 高考分析及预策 纵观近几年的高考试题 对椭圆的考查主要表现在 对概念 性质 方程直接考查 一般以选择题 填空题为主 其中与平面几何图形性质相结合的试题成为高考命题的亮点 解答题的常见题型为确定椭圆方程 直线与椭圆的位置关系等 其中与向量 数列 不等式 知识相结合的范围问题 最值及定值问题是高考的热点 尤其是平面向量 不等式与解析几 何的综合问题 近几年最受命题者青睐 题组设计 再现型题组 3 2008 年浙江 已知为椭圆的两个焦点 过的直线交椭圆于 12 FF 22 1 259 xy 1 F 两点 若 则 AB 22 12F AF B AB 椭圆 5x2 ky2 5 的一个焦点是 0 2 那么 k 等于 A 1 B 1 C D 55 巩固型题组 设F1 F2是椭圆的两个焦点 P是椭圆上的点 且 P F1 P F2 4 3 求1 649 4 22 yx P F1F2的面积 求满足下列各条件的椭圆的标准方程 1 焦点在坐标轴上 且经过两点 3 1 3 1 P 2 1 0 Q 2 经过点 2 3 且与椭圆具有共同的焦点 3649 22 yx 2008 辽宁文科 在平面直角坐标系xOy中 点P到两点 0 0 的距33 离之和等于 4 设点P的轨迹为C 写出C的方程 设直线y kx 1 与C交于A B两点 k为何值时此时 的值是多少 OBOA AB 4 提高型题组 6 在中 BC 24 AC AB 边上的中线长之和等于 39 求的重心的轨迹方程 ABC ABC 7 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在轴上 椭圆上的点到焦点距离的最大值为CxC 3 最小值为 1 1 求椭圆的标准方程 C 2 若直线与椭圆相交于两点 不是左右顶点 且以 l ykxm CAB AB 为直径的图过椭圆的右顶点 求证 直线 过定点 并求出该定点的坐标 ABCl 5 反馈型题组 8 椭圆上一点 M 到焦点 F 的距离为 2 N 是 M F 的中点 则等于 1 925 22 yx 11 ON A 2 B 4 C 6 D 2 3 9 如果方程 x2 ky2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆 那么实数 k 的取值范围是 A 0 B 0 2 C 1 D 0 1 10 我们把由半椭圆合成的曲线称作 果 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x c x b y x b y a x 与半椭圆 圆 其中 如图 0 222 cbacba 设点是相应椭圆的焦点 A1 A2和 B1 210 FFF B2是 果圆 与 x y 轴的交点 若 F0F1F2是边 长为 1 的等边三角形 则 a b 的值分别为 A B 1 2 7 1 3 C 5 3D 5 4 11 2008 上海理科 某海域内有一孤岛 岛四周的海平面 视为平面 上有一浅水区 含 边界 其边界是长轴长为 2a 短轴长为 2b 的椭圆 已知岛上甲 乙导航灯的海拔高度分 别为 h1 h2 且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上 现有船只经过 该海域 船只的大小忽略不计 在船上测得甲 乙导航灯的仰角分别为 1 2 那么船 只已进入该浅水区的判别条件是 12 2008 全国 在 ABC 中 A 90 tanB 若以 A B 为焦点的椭圆经过点 3 4 C 则该椭圆的离心率 e 13 如图 已知椭圆 F1 F2分别为椭圆的左 右焦点 A 为椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的上顶点 直线 AF2交椭圆于另一点 B 1 若 F1AB 90 求椭圆的离心率 2 若椭圆的焦距为 2 且 求椭圆的方程 BFAF 22 2 6 14 如图 椭圆的方程为 其右焦点为 F 把椭圆的长轴分成 6 等分 0 1 2 2 2 2 2 a a y a x 过每个点作 x 轴的垂线交椭圆上半部于点 P1 P2 P3 P4 P5五个点 且 P1F P2F P3F P4F P5F 5 2 1 求椭圆的方程 2 设直线 l 过 F 点 l 不垂直坐标轴 且与椭圆交于 A B 两点 线段 AB 的垂直平分 线交 x 轴于点 M m 0 试求 m 的取值范围 9 2 双曲线 新课标要求 7 了解双曲线的实际背景 了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 重点难点聚焦 本节的重点是双曲线的定义 标准方程和几何性质 本节的难点是理解双曲线参数 a b c e 的关系及渐近线方程 高考分析及预策 随着高考的逐年完善 科学规范 本节在要求上有所降低 但从知识的整体发展过程 看 双曲线不失为一种重要曲线 故要引起重视估计仍以选择题或填空题的形式出现 注重 对数学思想和数学语言的考查 题组设计 再现型题组 1 2008 年海南卷 双曲线的焦距为 22 1 102 xy A 3B 4C 3D 42233 2 2008 年山东卷 已知圆 以圆与坐标轴的交点分别作为 22 6480C xyxy C 双曲线的一个焦点和顶点 则适合上述条件的双曲线的标准方程为 巩固型题组 3 设双曲线与椭圆有共同的焦点 且与椭圆相交 一个交点的纵坐标为 4 求 22 1 2736 xy 双曲线的方程 4 直线的右支交于不同的两点 A B 12 1 22 yxCkxyl与双曲线 求实数k的取值范围 是否存在实数k 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F 若存在 求出k的值 若不存在 说明理由 8 提高型题组 5 已知双曲线的中心在原点 焦点在坐标轴上 离心率为 且过点 21 F F2 10 4 1 求双曲线方程 2 若点 M 3 m 在双曲线上 求证 21 MFMF 3 求 的面积 21MF F 反馈型题组 6 方程表示双曲线 则的取值范围是 1 52 22 k y k x k A k5 B 2 k5 或 2 k 2 D k2 7 2008 年陕西卷 双曲线 的左 右焦点分别是 过 22 22 1 xy ab 0a 0b 12 FF 9 1 4 2 3 1 1 2 3 44231O x y 作倾斜角为的直线交双曲线右支于点 若垂直于轴 则双曲线的离心率为 1 F30 M 2 MFx A B C D 632 3 3 8 过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线于A B两点 若 则1 2 2 2 y x 这样的直线l有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 9 点是双曲线上的一点 分别是双曲线的左 右两焦点 P 22 1 412 xy 1 F 2 F 则等于 12 90FPF 12 PFPF A48 B32 C16 D24 10 已知分别是双曲线的实半轴 虚半轴和半焦距 若方程无实数根 a b c 2 0axbxc 则此双曲线的离心率的取值范围是 e 11 2008 年江西卷 已知双曲线的两条渐近线方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 3 3 yx 若顶点到渐近线的距离为 1 则双曲线方程为 12 2007 年上海浦东 已知曲线 4 1 2 xyyxC 1 画出曲线的图像 C 2 若直线与曲线有两个公共点 求的取值范围 1 xkylCk 3 若 为曲线上的点 求的最小值 00 ppP QCPQ 9 3 抛物线 新课标要求 了解抛物线的实际背景 了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 10 掌握抛物线的定义 几何图形 标准方程及简单性质 了解抛物线的简单应用 重点难点聚焦 本节的重点是抛物线的定义 标准方程和几何性质 本节的难点是抛物线定义的应用 标准方程的应用及直线与抛物线的综合问题 高考分析及预策 纵观近几年的高考试题 今后高考会以选择题 填空题的形式考查抛物线的定义 标准 方程及简单几何性质的基础知识 也会以解答题的形式考查抛物线的综合问题 有关抛物线 的概念和性质 直线与抛物线的位置关系综合问题 更加注重对数学思想方法及数学语言的 考查 估计题目的运算量不会很大 难度趋于中低档 题组设计 再现型题组 抛物线上的一点 M 到焦点的距离为 1 则点 M 的纵坐标是 2 4xy A B C D 0 16 17 16 15 8 7 2 设a 0 a R R 则抛物线y 4ax2的焦点坐标为 A a 0 B 0 a C 0 D 随a符号而定 a16 1 巩固型题组 设是抛物线上的一动点 P 2 4yx 1 求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值 P 1 1 A P1x 2 若 求的最小值 3 2 B PBPF 4 已知抛物线的顶点在原点 焦点在轴的正半轴上 设是抛物线上的两个CFx A BC 动点 不垂直于轴 但 线段的垂直平分恒经过定点 ABx 8AFBF AB 6 0 Q 求抛物线的方程 11 提高型题组 设抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F 经过点 F 的直线交抛物线于 A B 两点 点 C 在抛 物线的准线上 且 BC x 轴 证明直线 AC 经过原点 O 反馈型题组 6 6 焦点坐标为的抛物线的标准方程为 2 0 A B C D 2 4yx 2 8yx 2 4yx 2 8yx 7 2008 年海南卷 已知点 P 在抛物线 y2 4x 上 那么点 P 到点 Q 2 1 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时 点 P 的坐标为 A A 1 B 1 C 1 2 D 1 2 4 1 4 1 8 8 抛物线上有一点 它的横坐标是 3 它到焦点的距离为 5 则抛物 2 24 0 yax a M 线的方程为 A B C D 2 8yx 2 12yx 2 20yx 2 16yx 9 9 已知为抛物线上任一动点 记点到轴的距离为 对于给定点 P 2 4yx Pyd 4 5 A 则的最小值为 PAd 12 A B C D 434171 341 1010 已知圆与抛物线的准线相切 则 22 70 xymx 2 4 3 xy m 11 2007 年山东卷 设 O 是坐标原点 F 是抛物线 y2 2px p 0 的焦点 A 是抛物线上的 一点 与 x 轴正向的夹角为 60 则为 FAOA 12 已知抛物线的焦点为 F A 是抛物线上横坐标 0 2 2 ppxy 为 4 且位于轴上方的点 A 到抛物线准线的距离等于 5 过 A 作 ABx 垂直于轴 垂足为 B OB 的中点为 M y 1 求抛物线方程 2 过 M 作 垂足为 N 求点 N 的坐标 FAMN 3 以 M 为圆心 MB 为半径作圆 M 当是轴上一动点 0 mKx 时 讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系 9 4 直线与圆锥曲线的位置关系 新课标要求 在理解和掌握两种圆锥曲线 双曲线只要求理解 的定义和标准方程的基础上 能熟练 的解决直线和圆锥曲线的位置关系的一些问题 会判断 解决直线与圆锥曲线的位置关系 交点个数 参数范围及对称问题 熟练运用所学知识 解决有关弦长 面积 中点的问题 重点难点聚焦 13 本节的重点是直线与椭圆的位置关系 直线与双曲线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 数形结合 分类讨论 方程思想方法的应用 本节的难点是弦长问题及中点弦问题 高考分析及预策 纵观近几年的高考试题 直线与圆锥曲线的简单问题一般在选择题 填空题中考查 比 较容易 解答题中的直线与圆锥曲线的问题难度较大 为中难档次 时常作为压轴题出现 直线与圆锥曲线的位置关系 由于集中交汇了解析几何中直线 圆锥曲线两部分的知识内容 还涉及到函数方程 不等式 向量 平面几何 数列等许多知识 形成了轨迹 最值 范围 定值 弦长等多种问题 因而为解析几何中综合性最强 能力要求最高的内容 也成为高 考命题的重点和热点 题组设计 再现型题组 过点 作直线与抛物线 只有一个公共点 这样的直线有 2 y 一条 两条 三条 四条 双曲线 的左焦点为 F 点 P 为左支下半支上任意一点 异于顶点 则直线 22 yx 的斜率的变化范围是 0 B 1 C 0 1 D 1 1 3 直线 y kx 1 与焦点在 轴上的椭圆 1 恒有公共点 则 m 的取值范围是 m yx 22 5 A B C D 巩固型题组 4 过点作直线与椭圆交于两点 若线段的中点为 求直线 1 1 P 22 1 42 xy A BABP 所在的直线方程和线段的长度 ABAB 14 5 已知椭圆 试确定的取值范围 便得椭圆上存在不同的两点关于直 22 1 43 xy E mE 线对称 4l yxm 提高型题组 6 设椭圆方程为 过点 M 0 1 的直线 l 交椭圆于点 A B O 是坐标原点 1 4 2 2 y x 点 P 满足 点 N 的坐标为 当 l 绕点 M 旋转时 求 2 1 OBOAOP 2 1 2 1 1 动点 P 的轨迹方程 2 的最小值与最大值 NP 15 反馈型题组 7 设坐标原点为 O 抛物线与过焦点的直线交于两点 则 2 2yx A BOA OB A B C D 3 4 3 4 33 8 不论取值何值 直线与曲线总有公共点 则实数的取值k 2 yk xb 22 1xy b 范围是 A B C D 3 3 3 3 2 2 2 2 9 点 在椭圆上 则点 到直线 的距离的最大值2847 22 yx 是 13 1312 13 1316 13 1324 13 2813 10 过双曲线 a 0 b 0 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M N 22 22 1 xy ab 两点 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 11 点是椭圆的焦点 是其上的一动点 当为钝角时 点 21 F F3694 22 yx 21PF F 的横坐标的取值范围是 12 椭圆中过点的弦恰好被点平分 则此弦所在的直线方程是 22 1 42 xy 1 1 PP 13 2007 年山东省枣庄市模拟考试 如图 已知直线l与抛物线相切于点P 2 1 yx4 2 且与x轴交于点A O为坐标原点 定点B的坐标为 2 0 I 若动点 M 满足 求点 M 的轨迹 C 0 2 AMBMAB II 若过点 B 的直线l 斜率不等于零 与 I 中的轨迹 C 交于不同的两点 E F E 在 B F 之间 试求 OBE 与 OBF 面积之比的取值范围 16 9 5 曲线与方程 新课标要求 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 重点难点聚焦 本节的重点是曲线的方程及方程的曲线的概念及求曲线方程的步骤 坐标法思想的本质理解 及应用 本节的难点是曲线的方程和方程的曲线的理解 高考分析及预策 普通高中数学课程标准 及 考试说明 要求 能够根据所给条件选择合适的坐标系 求曲线方程 并由方程研究曲线的性质 这里既有思想 又有方法 本节考查会以选择或 填空的形式求常见曲线的方程或研究常见曲线的性质 求曲线的性质也会在 解答题中出现 属于中低档题 常见的方法有直接法 定义法 待定系数法 动点转移法 求曲线的方程是 高考中的热点 常见方法应熟练掌握并能灵活应用 题组设计 再现型题组 1 已知点 动点 则点 P 的轨迹是 0 2 A 0 3 B 2 xPBPAyxP 满足 圆 椭圆 双曲线 抛物线 A B C D 2 已知椭圆的两个焦点分别是 F1 F2 P 是这个椭圆上的一个动点 延长 F1P 到1 34 22 yx Q 使得 PQ F2P 求 Q 的轨迹方程是 巩固型题组 17 在 PMN 中 tan PMN tan MNP 2 且 PMN 的面积为 1 建立适当的坐标系 2 1 求以 M N 为焦点 且过点 P 的椭圆的方程 M N P 4 4 如下图 P 是抛物线 C y x2上一点 直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q 若直 2 1 线 l 与过点 P 的切线垂直 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程 x y O Q M T P S l 提高型题组 5 如图 在平面直角坐标系中 N 为圆 A上的一动点 点 B 1 0 16 1 22 yx 点 M 是 BN 中点 点 P 在线段 AN 上 且 0 BNMP 1 求动点 P 的轨迹方程 2 试判断以 PB 为直径的圆与圆的位置关系 并说明理由 4 22 yx 18 反馈型题组 6 x 表示的曲线是 2 31y A 双曲线 B 椭圆 C 双曲线的一部分D 椭圆的一部分 7 在同一坐标系中 方程 a2x2 b2y2 1 与 ax by2 0 a b 0 的曲线大致是 8 设 k 1 则关于 x y 的方程 1 k x2 y2 k2 1 所表示的曲线是 A 长轴在 y 轴上的椭圆 B 长轴在 x 轴上的椭圆 C 实轴在 y 轴上的双曲线 D 实轴在 x 轴上的双曲线 9 2007 江西 一动点到两坐标轴的距离之和的 2 倍等于动点到原点距离的平方 则动点 的轨迹方程为 P A B yxyx22 22 yxyx22 22 C D yxyx22 22 yxyx22 22 10 直线 l 的方程为 y x 3 在 l 上任取一点 P 若过点 P 且以双曲线 12x2 4y2 3 的焦点作椭 圆的焦点 那么具有最短长轴的椭圆方程为 11 已知两点 M 1 0 N 1 0 且点 P 使成公差小于零NPNMPNPMMNMP 的等差数列 点 P 的轨迹是什么曲线 若点 P 坐标为 为的夹角 求 tan 00 yx PNPM与 19 第九章 圆锥曲线与方程 45 分钟单元综合检测题 一 选择题 1 在平面直角坐标系 xoy 中 已知 ABC 的顶点 A 4 0 和 C 4 0 顶点 B 在椭圆 等于 B CAyx sin sinsin 1 925 22 则上 A B C D 5 4 2 5 4 5 3 5 2 已知 F1 F2是两个定点 点 P 是以 F1和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点 并且 PF1 PF2 e1和 e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率 则有 A B C D 4 11 2 2 2 1 ee 2 11 2 2 2 1 ee 4 2 2 2 1 ee2 2 2 2 1 ee 3 已知 P 是椭圆上的一点 F1 F2是该椭圆的两个焦点 若 PF1F2的内切圆半 22 1 43 xy 径为 则的值为 1 2 21 PFPF A B C D 0 3 2 9 4 9 4 4 已知分别是双曲线的左 右焦点 过作垂直于轴的 12 F F 22 22 10 0 xy ab ab 1 Fx 直线交双曲线于 A B 两点 若为锐角三角形 则双曲线的离心率的范围是 2 ABF A B C D 1 12 12 12 12 2 21 5 抛物线的准线 l 与 y 轴交于点 P 若 l 绕点 P 以每秒弧度的角速度按逆 2 0 xay a 12 时针方向旋转 t 秒钟后 恰与抛物线第一次相切 则 t 等于 A 1B 2C 3D 4 6 从双曲线的切线 FP 交双曲线右支于点 P T 为切31 53 22 22 yxF yx 引圆的左焦点 点 M 为线段 FP 的中点 O 为坐标原点 则 MO MT 等于 20 A B C D 3535 35 二 填空题 7 已知双曲线的右焦点为 则该双曲线的渐近线方程为 22 1 9 xy a 13 0 8 抛物线的焦点恰好为双曲线的一个焦点 则 2 axy 2 22 xy a 9 与椭圆具有相同的离心率且过点 2 的椭圆的标准方程是 22 1 43 xy 3 10 过抛物线与抛物线交于 A B 两点 且0 0 2 2 mmyxppxy的焦点的直线 OAB O 为坐标原点 的面积为 46 22mm 则 11 已知定点 F 1 0 动点 P 在 y 轴上运动 过点 P 做 PM 交 x 轴于点 M 并延长 MP 到 点 N 且 0PNPMPFPM 求点 N 的轨迹方程 直线 l 与点 N 的轨迹交于 A B 不同两点 若 且4 OBOA 求直线 l 的斜率 k 的取值范围 304 64 AB 12 椭圆 C 的中心为坐标原点 O 焦点在 y 轴上 离心率 椭圆上的点到焦点的最 2 2 e 短距离为与 y 轴交于 P 点 0 m 与椭圆 C 交于相异两点 A B 且le 直线 1 21 PBAP 1 求椭圆方程 2 若的取值范围 mOPOBOA求 4 解答部分 解答部分 9 1 椭 圆 再现型题组 提示或答案提示或答案 8 基础知识聚焦基础知识聚焦 本小题考查椭圆的定义 即平面内一动点与两定点F1 F2的距离之 和为常数 2a 当 2a F1F2 时 动点的轨迹是椭圆 当 2a F1F2 时动点的轨迹是线段 F1F2 当 2a0 n 0 且 nm 依题意得 解得 从而所求椭圆的标准方程为 1 4 1 1 9 1 9 1 n nm 4 5 n m 1 5 1 4 1 22 xy 2 因为椭圆的焦点坐标为 从而可设所求的椭圆的方程为3649 22 yx 5 0 23 将又因为经过点 2 3 从而得 解得或 0 1 5 22 yx 1 5 94 10 舍去 故所求椭圆的标准方程为 2 1 1510 22 yx 点评 对于 1 由题设条件不能确定椭圆的焦点在哪一坐标轴上 因此应分别设出焦 点在 x 轴 y 轴上的标准方程 进行讨论求解 或采用椭圆方程 mx2 ny2 1 m 0 n 0 且 直nm 接求解 避免讨论 对于 2 由于椭圆的焦点坐标为 因而可设3649 22 yx 5 0 所求的椭圆方程为 只要由题设条件确定的值即可 由于题 1 中 0 1 5 22 yx 的椭圆是唯一存在的 为了运算方便 可设其方程为 mx2 ny2 1 m 0 n 0 且 而不必nm 考虑焦点的位置 直接求得椭圆的方程 题 2 中椭圆变形为3649 22 yx 其焦点坐标为 所设的方程1 94 22 yx 1 F 5 0 2 F 5 0 是具有共同焦点的 的椭圆系方程 遇到与本 0 1 5 22 yx 1 F 5 0 2 F 5 0 题类似的问题 我们可以采用类似的方法来求解椭圆的方程 另外本题还可以设方程 等解决 一般说来 与椭圆 5 1 5 22 yx 4 1 94 22 yx 具有相同焦点的椭圆方程可设为 其 0 1 2 2 2 2 ba b y a x min 1 22 nm n y m x 中 本题实质上运用的也是待定系数法 2 cnm 解 设 P x y 由椭圆定义可知 点 P 的轨迹 C 是以为焦距 0 3 0 3 长半轴为 2 的椭圆 它的短半轴 故曲线 C 的方程为 22 2 3 1 b 1 4 2 2 y x 设 其坐标满足 1122 A x yB xy 消去 y 并整理得 3 0 2 2 1 4 1 y x ykx 22 4 2kxkx 故 1212 22 23 44 k xxx x kk 若即 OAOB 1212 0 x xy y 24 则 22 1212 222 332 10 444 kk x xy y kkk 化简得所以 2 410 k 1 2 k 点评 本小题主要考查平面向量 椭圆的定义 标准方程及直线与椭圆位置关系等基础 知识 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力 提高型题组 6 解 解 如图所示 以线段 BC 所在直线为 x 轴 线段 BC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系 设 M 为的重心 BD 是 AC 边上的中线 CE 是 AB 边上的中线 由重心的性质知ABC 3 2 BDBM 3 2 CECM 于是 MCMB 3 2 BD 3 2 CE 3 2 BD CE 2639 3 2 根据椭圆的定义知 点 M 的轨迹是以 B C 为焦点的椭圆 26 又 a2 MCMB13 a24 2 BCc 故所求的椭圆方12 c251213 22222 cab 程为 0 1 25169 22 y yx 点评 有一定长线段 BC 两边上的中线长也均与定点 B C 和的重心有关 因此需考虑以 BC 的中点为坐标原点建立ABC 直角坐标系 但需注意点 A 不能在 BC 的所在的直线上 在求点 的轨迹时 要特点注意所求点轨迹的几何意义 在本题中 所求 的椭圆方程为 应考虑若时 A B C 三点在同一条直线上 不 0 1 25169 22 y yx 0 y 可能构成三角形 所以应将去掉 另外 平面内一动点与两定点 F1 F2的距离之和为0 y 常数 2a 当 2a F1F2 时 动点的轨迹是椭圆 当 2a F1F2 时动点的轨迹是线段 F1F2 当 2a 得 1 0 2 k0 0 2 k0 得 0 k20 解得或 p 4 1 4 A x p 2 2 A x p 因为 AMN 是锐角三角形 所以 xA 故舍去 所以 p 4 xA 1 2 p 2 2 A x p 由点 B 在曲线段 C 上 得 xB BN 4 2 p 综上得曲线段 C 的方程为 y2 8x 1 x 4 y 0 4 解 解 设 P x1 y1 Q x2 y2 M x0 y0 依题意知 x1 0 y1 0 y2 0 由 y x2 得 y x 2 1 过点 P 的切线的斜率 k切 x1 直线 l 的斜率 kl 切 k 1 1 1 x 直线 l 的方程为 y x12 x x1 2 1 1 1 x 解法一解法一 联立 消去 y 得 x2 x x12 2 0 M 为 PQ 的中点 1 2 x x0 2 21 xx 1 1 x 46 y0 x12 x0 x1 2 1 1 1 x 消去 x1 得 y0 x02 1 x0 0 2 0 2 1 x PQ 中点 M 的轨迹方程为 y x2 1 x 0 2 2 1 x 解法二解法二 由 y1 x12 y2 x22 x0 2 1 2 1 2 21 xx 得 y1 y2 x12 x22 x1 x2 x1 x2 x0 x1 x2 2 1 2 1 2 1 则 x0 kl x1 21 21 xx yy 1 1 x 0 1 x 将上式代入 并整理 得 y0 x02 1 x0 0 2 0 2 1 x PQ 中点 M 的轨迹方程为 y x2 1 x 0 2 2 1 x 点评 本题主要考查了直线 抛物线的基础知识 以及求轨迹方程的常用方法 与弦的中 点有关的问题 可采用 消参法 即设出弦中点坐标 代入圆锥曲线方程 根据斜率公式 消去参数 得弦中点的轨迹方程 或直接设出弦的两个端的坐标及中点坐标 根据端点坐标 适合圆锥曲线方程 联立方程 采用 设点作差 的方法 分析轨迹方程 这种方法相比较而 言 设点作差 即点差法 的计算过程更为简单 但是一般要知道相交弦的中点坐标时方可 采用 有一定的限制性 提高型题组 解解 1 由点 M 是 BN 中点 又 0 BNMP 可知 PM 垂直平分 BN 所以 ANPNPAPBPN 又 所以 PA PB 4 由椭圆定义知 点 P 的轨迹是以 A B 为焦点的椭圆 设椭圆方程为 1 2 2 2 2 b y a x 由 3 4 22 42 22 baca可得 可知动点 P 的轨迹方程为 1 34 22 yx 2 设点 2 2 1 00 00 yx QQPByxP 则的中点为 47 2 00 2 0 2 0 2 0 4 3 312 1 xxxyxPB 2 1 242 4 1 00 2 0 xxx 即以 PB 为直径的圆的圆心为 2 2 1 00 yx Q 半径为又圆的圆心为 O 0 0 半径 4 1 1 01 xr 4 22 yx 2 2 r 又 2020 2 2 1 yx OQ 4 3 3 4 1 4 1 2 1 4 1 2 000 xxx 1 2 1 16 1 0 2 0 xx 4 1 1 0 x 故即两圆相切 12 rrOQ 点评 本题考查求曲线方程的基本方法 定义法及两圆间的位置关系 课堂小结 1 求曲线的方程问题是解析几何学的两大基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹 其实质就是利用题设中几何条件 通过 坐标互化 将其转变为寻求变量间的关系 在求与 圆锥曲线有关的轨迹问题时 要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程时的作用 只要动点 满足已知曲线的定义时 就可以直接得出方程 2 要注意一些轨迹问题 都包括一定的隐含条件 也就是曲线上的点的取值范围 3 解答曲线的方程问题 首先要明确圆锥曲线的性质 作好对图形变化可能性的总体分析 选好相应的解题策略和拟定好具体的方法 如参数的选取 相关点的变化规律及限制条件等 等 注意将动点的几何性质用数学语言表述 4 在求轨迹方程问题中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略 因此 在求出轨迹方程 以后 应仔细检查有无 不法份子 掺杂其中 将其删除 另一方面 还应注意圾无 漏网 之鱼 逍遥法外 将其捉回 即轨迹上点不能含有杂点 也不能少点 也就是曲线上点不多 也不少 反馈型题组 6 D 7 D 8 C 9 D 10 1 45 22 yx 13 解 解 记 P x y 由 M 1 0 N 1 0 得 1 yxMPPM 1 yxNPPN 0 2 NMMN 所以 1 2xMNMP 1 22 yxPNPM 1 2xNPNM 于是 是公差小于零的等差数列等价于NPNMPNPMMNMP 48 即 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2