2009年广东高考数学理科卷带详解.doc

学习资料收集于网络，仅供参考2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( ) 第1题图 A. 3个 B. 2个C. 1个 D. 无穷多个【测量目标】集合的表示方法（描述法），集合的并集.【考查方式】给出2个集合，通过并集运算求出集合的元素共有几个.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由得，则，有2个，选B.2.设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位， ( )A. 8 B. 6 C. 4 D. 2【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】给出相关信息，求解出满足最小正整数【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】，则最小正整数为4，选C.3.若函数是函数且的反函数，其图象经过点则 （ ） A. B. C. D. 【测量目标】反函数.【考查方式】给出反函数的原函数的方程和其图象经过点，求解出反函数的方程.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】代入解得所以选B.4.已知等比数列满足且则当时， （ ）A. B. C. D. 【测量目标】已知递推关系求通项.【考查方式】给出相关信息，先求出通项，再利用对数函数化简，求解.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】由得（步骤1）则 选C.（步骤2） 5.给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和【测量目标】平行与垂直关系的综合问题.【考查方式】给出4个命题，通过直线与直线、面，面与面之间的位置关系判断其真假.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】显然 和是假命题，故否定A,B,C,选D.6.一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知成角，且的大小分别为2和4，则的大小为 （ ） A. 6 B. 2 C. D. 【测量目标】余弦定理.【考查方式】给出物理学相关信息，通过余弦定理求解.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】所以，选D.7.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( ) A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】给出相关信息，考查了排列组合的公式.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法若小张、小赵都入选，则有选法共有选法36种，选A. 8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为和（如图所示）那么对于图中给定的和，下列判断中一定正确的是 （ ） 第8题图 A.在时刻，甲车在乙车前面 B.时刻后，甲车在乙车后面C.在时刻，两车的位置相同D.时刻后，乙车在甲车前面【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】给出相关图象，再求解.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】由图象可知，曲线比在与轴所围成图形面积大，则在时刻，甲车均在乙车前面，选A. 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（9 12题）9.随机抽取某产品件，测得其长度分别为则如图所示的程序框图输出的 ，表示的样本的数字特征是 （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”“：=”）第9题图 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出算法流程图，阅读框图，运行程序，得出结果.【难易程度】容易【参考答案】 平均数【试题解析】第一次当i=1时,第二次当i=2时,最后输出平均数.10.若平面向量满足平行于轴，则 . 【测量目标】向量的坐标运算.【考查方式】考查向量的基本概念及向量的坐标运算.【难易程度】中等【参考答案】或【试题解析】设，则，依题意，得 ，（步骤1）解得或，所以或.（步骤2）11.已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 【测量目标】椭圆的标准方程.【考查方式】给出相关信息，通过离心率公式，长短轴间的关系，求解出标准方程.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】则所求椭圆方程为12.已知离散型随机变量的分布列如右表若则 ， 第12题图 【测量目标】离散型随机变量的分布列.【考查方式】给出离散型随机变量的分布列，通过公式求解.【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】由题知解得.（二）选做题（13 15题，考生只能从中选做两题）13（坐标系与参数方程选做题）若直线（为参数）与直线（为参数）垂直，则 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出两条直线的参数方程，且两条直线垂直，求解.【难易程度】较难【参考答案】【试题解析】直线（为参数）化为普通方程是，该直线的斜率为，（步骤1） 直线（为参数）化为普通方程是，该直线的斜率为，（步骤2）则由两直线垂直的充要条件，得，（步骤3）14（不等式选讲选做题）不等式的实数解为 【测量目标】解一元二次不等式【考查方式】给出不等式方程，先求定义域，再把它换成整数不等式求解.【难易程度】中等【参考答案】|且【试题解析】 解得且.所以原不等式的解集为|且.15（几何证明选讲选做题）如图，点是圆上的点，且， 则圆的面积等于 第15题图 【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出圆上线段长，角度大小，求解圆的面积.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】解法一：连结则（步骤1）所以为等腰直角三角形，又，（步骤2）所以，圆的半径，圆的面积等于（步骤3）解法二：设圆的半径为，在中，由正弦定理，得，解得，（步骤1）所以，圆的面积等于.（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 【测量目标】余弦定理.【考查方式】利用两向量垂直公式、诱导公式、余弦定理求解.【难易程度】中等【试题解析】（1） 向量与互相垂直， ，即，（步骤1）又 代入，整理，得，（步骤2）由，可知，（步骤3）代入得.故， .（步骤4）（2）（步骤5）则（步骤6）（步骤7）17（本小题满分12分）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表： 050 51100101150151200 201250 251300 300级别 状况 优 良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染 xy67 xy68 xy69 xy70xy71对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中的值； （2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.（结果用分数表示已知) 第17题图 【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出直方图，阅读，从图中找到相关信息，利用公式定理求解.【难易程度】中等【试题解析】（1）因为，在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于1，依题意，得（步骤1）又 所以 .（步骤2）（2）一年中空气质量为良的天数为 （天）；（步骤3）一年中空气质量为轻微污染的天数为 （天）；（步骤4）（3）由（2）可知，在一年之中空气质量为良或轻微污染的天数共有119+100=219（天） 所以，在一年之中的任何一天空气质量为良或轻微污染的概率是，（步骤5） 设一周中的空气质量为良或轻微污染的天数为，则B（7，） ，（k=0,1,2,7）（步骤6）设“该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染”为事件A，则= =.（步骤7）18（本小题满分14分）如图，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点分别是棱的中点设点分别是点在平面内的正投影（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线平面；（3）求异面直线所成角的正弦值.第18题图 【测量目标】锥的体积、空间直角坐标系.【考查方式】考查了锥的体积、线面垂直的判定、异面直线所成的角，建立空间直角坐标系求解【难易程度】较难【试题解析】（1）依题得所求为四棱锥的体积，其底面面积为，（步骤1）又面，.（步骤2）（2）以为坐标原点，、所在直线分别作轴，轴，轴，得,，又因为，则，（步骤3），即，（步骤4）又，平面.（步骤5）第18(2)题图 （3），则，（步骤6）设异面直线所成角为，则.（步骤7）19.（本小题满分14分）已知曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程； （2）若曲线与有公共点，试求的最小值【测量目标】直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的探索性问题.【考查方式】给出了抛物线方程与直线方程，利用公式、定理求解.【难易程度】较难【试题解析】曲线与直线的联立方程组,得,（步骤1） 又，所以点的坐标分别为（步骤2） 点是线段的中点点的坐标为（步骤3）点是上的任一点，且点与点和点均不重合 ，即，且（步骤4）设线段的中点为,则点M的轨迹的参数方程为（为参数，且）；消去整理，得，且所以，线段的中点的轨迹方程是，；（步骤5）（)曲线可化为，它是以为圆心，以为半径的圆，（步骤6）设直线与轴相交于点，则点的坐标为；自点做直线的垂线，交直线于点，在RtEAF中，所以， ， 当且圆与直线相切时，圆心必定在线段上，且切点必定在线段AE上，（步骤7）于是，此时的的值就是所求的最小值.当圆与直线相切时 ， 解得，或者（舍去）所以，使曲线与平面区域有公共点的的最小值是（步骤8）第19(2)题图 20（本小题满分14分）已知二次函数的导函数的图象与直线平行，且在处取得极小值设（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点 【测量目标】函数零点的应用.【考查方式】利用导数求函数的极值、两点间距离公式、函数零点的判断等求解.【难易程度】较难【试题解析】设二次函数的解析式为 则它的导函数为，（步骤1）函数的图象与直线平行， ，解得,所以，（步骤2）在处取得极小值，即，解得.所以，=（）（步骤3）（1）设点（，）为曲线上的任意一点 则点到点的距离为（步骤4） 由基本不等式定理可知， 当且仅当时，等号成立，此时=（步骤5） 又已知点到点的距离的最小值为，所以令 两边平方整理， 得 当时，解得 当时，解得 所以的值为或者；（步骤6）（2）函数令=（）令，即（），整理，得（），（步骤7）函数存在零点，等价于方程有非零实数根，由可知，方程不可能有零根，当时，方程变为，解得，方程有唯一实数根， 又香又甜 又大又圆 又高又大 又细又长 此时， 函数存在唯一的零点；（步骤8）当时，方程根的判别式为，元 且 几 生 昌 月 夕 乃 口 也 心 十 令=0，解得，原和园 园和圆 进和近 话和画 阳和洋 称和秤方程有两个相等的实数根，（步骤9） 此时，函数存在唯一的零点；令，得,元 且 几 生 昌 月 夕 乃 口 也 心 十当时，解得，一（ 间）书房 一（群）羊 一（个）人 一（头 ）牛当时，解得，以上两种情况下，方程都有两个不相等的实数根，哭笑 早晚 出入 左右 上下 此时， 函数存在两个零点，（步骤10）慢（快） （南）（北） （古）（今） 闲（忙）综上所述，函数存在零点的情况可概括为（14）自己学会（生活）的本领，才能成为（真正）的狮子。当时，函数存在唯一的零点；2、仔细观察画面，弄懂图意。当时，函数存在唯一的零点；当且，或者且时，函数存在两个零点，.（步骤11）火 火字旁 （炒 烧 ） 口 方框（国 园 圆）21（本小题满分14分）已知曲线,从点向曲线引斜率为的切线，切点为（）求数列的通项公式；（）证明：【测量目标】数列的实际应用，间接证明.【考查方式】利