甘肃兰州数学一诊理科

2007年甘肃兰州市高考数学一诊试题(理科)一. 选择题（共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则等于（ ） A. RB. C. D. 2. 在等差数列中，已知，则等于（ ） A. 40B. 42C. 43D. 45 3. 已知，其中m，n是实数，i是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 4. 对于不重合的两直线m，n和平面，下列命题中的真命题是（ ） A. 如果是异面直线，那么n/ B. 如果共面，那么m/n C. 如果是异面直线，那么n与相交 D. 如果m/，n/，m，n共面，那么m/n 5. 函数，若，则a的所有可能取值组成的集合为（ ） A. B. C. D. 6. P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，以PF为直径的圆与y轴的位置关系是（ ） A. 相切B. 相离 C. 相交D. 与P点的位置有关 7. 已知的等差中项是，则的最小值是（ ） A. 3B. 4C. 5D. 6 8. 将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 9. 已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ） A. 35B. 34C. 33D. 36 10. 甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地。又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快。若某人离开A地的距离S与所用时间t的函数关系可用图中的某一个来表示，则甲、乙两人所对应的函数图象只可能分别是（ ） A. 甲是图，乙是图 B. 甲是图，乙是图 C. 甲是图，乙是图 D. 甲是图，乙是图 11. 已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上，A，B两点和A，C两点的球面距离都是，B，C两点的球面距离是，则二面角的大小是（ ） A. B. C. D. 12. 用n个不同的实数，得到n！个不同的排列，每个排列为一行，可写出一个n!行的数阵。第i行为：，记，。例如：用1，2，3可得数阵（如图所示）由于每行都是1，2，3的一个排列，其中1作排头的有个，于是每一列中1，2，3都分别出现2次，所以此数阵每一列各数之和都是，所以。那么用1，2，3，4，5，形成的数阵中等于（ ） A. 36001 2 3 B. 18001 3 2 C. 2 1 3 D. 2 3 13 1 23 2 1二. 填空题（共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13. 若曲线的一条切线l与直线平行，则l的方程为_。 14. 已知实数x，y满足，求的取值范围是_。 15. 设常数展开式中的系数为，则=_。 16. 已知数列的前n项和为Sn，定义为数列的“凯森和”。若，则数列的“凯森和”为_。三. 解答题 17. （本小题满分12分） 已知向量，函数。 （I）求f(x)的解析式； （II）求f(x)的单调递增区间； （III）如果ABC的三边a、b、c满足，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数的值域。 18. （本小题满分12分） 某小组中有男生、女生若干人，如果从中选一人参加某项测试，女生被选中的概率是；如果从中选两人参加测试，两人都是女生的概率为（每个人被选中是等可能的）。 （I）求该小组男生、女生各多少人？ （II）从该小组中选出3人，求男、女生都有的概率； （III）若对该小组的同学进行某项测试，其中女生通过的概率为，男生通过的概率为，现对该小组中男生甲、乙和女生丙三人进行测试，求至少有2人通过测试的概率。 19. （本小题满分12分） 如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点。 （I）求证：； （II）求证：； （III）求二面角的大小。 20. （本小题满分12分） 某地区的一种特色水果上市时间持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数： （1） （2） （3）（以上三式中p、q均为常数，且） （I）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？ （II）若，求出所选函数的解析式（注：函数的定义域是1，6，其中以此类推）； （III）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽销路，请你预测该水果在哪几个月内价格下跌。 21. （本小题满分12分） 已知，且构成一个数列，又 （I）求数列an的通项公式； （II）求证：。 22. （本小题满分14分） 已知圆，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足。 （I）求点G的轨迹C的方程； （II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由。参考答案一. 选择题（共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. C2. B3. D4. B5. B 6. A7. C8. D9. C10. B 11. C12. C 提示：1. A=0，4，B=4，0，所以，故选C。 2. 故选B。 3. 由m、n是实数，得 ，故选D。 4. 选B 5. 由 解得 由 故选B 6. 设，则，以PF为直径的圆的圆心为，圆心到y轴的距离为。故相切，故选A。 7. a、b的等差中项是，则 且 故选C。 8. 将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，所以，故选D。 9. 不考虑限定条件确定的不同点的个数为，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为个，故选C。 10. 由图知：图中斜线段的斜率是速度，故选B。 11. 球O的半径是R=1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球面距离都是，则AOB，AOC都等于，AB=AC，B，C两点的球面距离是，BC=1，过B作，垂足为D，连接CD，则，则BDC是二面角BOAC的平面角，二面角BOAC的大小是，故选C。 12. 当n=5时，n!=120，故所研究的数阵有120行5列，每行都是1，2，3，4，5的一个排列，其中1作排头的有2，3，4，5作排头的都分别是。于是每一列中1，2，3，4，5都分别出现24次，故每列数之和相等，为：。 故选C。二. 填空题（共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13. 提示：因为l与直线平行，所以切线的斜率为4，所以 故，即切点为（1，1） 于是切线方程为： 即 14. 提示：由，令 则 15. 1 提示： 由 所以 16. 2007 提示：由题意知 故 所以的“凯森和”为 三. 解答题（共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解：（I）2分 （II）由6分 得 8分 （III） 10分 12分 18. 解：（I）设该小组男、女生共n人，其中女生有x人，据题意得： 2分 解得： 答：男生4人，女生6人。4分 （II）由题意得：8分 （III）12分 19. 解：（I） AB是PB在平面ABCD上的射影2分 又 4分 （II）连接BD，与AC相交于O，连接OE ABCD是平行四边形 O是BD的中点 又E是PD的中点 OE/PB6分 又 PB/平面AEC8分 （III）解法一：过E作EF平面ABCD，垂足为F PA平面ABCD F在AD上，且为AD的中点 连接OF，则OF/AB ABAC，OFAC OEAC，故EOF为二面角EACD的平面角。10分 在RtEOF中 所以二面角12分 解法二：以A点为坐标原点，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设（图略） 取BC中点G，连接OG，则， 二面角的大小为12分 20. 解：（I）由已知水果的价格先上涨，再下跌，然后再次上涨，反映到函数的图像上就是先是增函数，后是减函数，又是增函数。 因为是单周递增函数 是单调递增函数 令有两个零点，既有递增区间，又有递减区间，所以应选为其模拟函数。3分 （II）由5分 解之得 8分 （III）由 解得10分 函数在区间（2，4）上单调递减 这种果品在5、6月份价格连续下跌。12分 21. 解：（I） 2分 （II） 6分 两式相减得： 8分 10分 12分 22. 解：（