湖北省联考2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年湖北省潜江、天门、仙桃市联考高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效 1已知复数 （其中 i 为虚数单位），则复数 z 在坐标平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2集合 A=x|（ x 1）（ x 2） =0， A B=1， 2，则满足条件的集合 B 有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3一首小诗数灯，诗曰： “远望灯塔高 7 层，红光点点倍加增，顶层数来有 4 盏，塔上共有多少灯？ ”答曰（ ） A 252 盏 B 256 盏 C 508 盏 D 512 盏 4已知 0 ，则双曲线 与 =1 的（ ） A实轴长相 等 B虚轴长相等 C焦距相等 D离心率相等 5在四边形 ， “ R，使得 = ， = ”是 “四边形 平行四边形 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6已知点 M（ a， b）（ a 0， b 0）是圆 C： x2+ 内任意一点，点 P（ x， y）是圆上任意一点，则 ax+1 的值（ ） A一定等于 0 B一定是负数 C一定是正数 D可能为正数也可能为负数 7一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 m），则该棱锥的全面积是（单位： （ ）A B C D 8斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、 B 两点，则线段长为（ ） A B C D 8 9已知 x （ 0， ），且 ，则 ） 第 2 页（共 19 页） A B C D 10已知数列 前 n 项和 ， n N*）则（ ） A 等差数列， 等比数列 B 等比数列， 等差数列 C 等差数列， 等差数列 D 等比数列， 等比数列 11方程 x=x+a 有解（ x表示不大于 x 的最大整数），则参数 a 的取值集合是（ ） A a|0 a 1 B a| 1 a 0 C a| 1 a 1 D a|a R， aZ 12如果存在正实数 a，使得 f（ x a）为奇函数， f（ x+a）为偶函数，我们称函数 f（ x）为 “和谐函数 ”给出下列四个函数： f（ x） =（ x 1） 5+5 f（ x） =x ） f（ x） =f（ x） =ln|x+1| 其中 “和谐函数 ”的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 13已知 a= ，则二项式 的展开式中的常数项为 14已知 f（ x）为偶函数，且当 x 0 时， f（ x） =x（ 1+x），则满足 f（ x） 2 的 x 的取值范围是 15在半径为 其体积之比 V 圆柱 ： V 球 的比值为 16数列 足 = ， ，则 三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第 171 题为必做题，第 22选做题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤把答案填在答题卡上对应题号指定框内 17已知函数 的最大值为 1 （ ）求常数 a 的值； （ ）若 ， ， ，求 长 第 3 页（共 19 页） 18甲、乙两人都准备于下午 12： 00 13： 00 之间到某车站乘某路公交车外出，设在 12：00 13： 00 之间有四班该路公交车开出，已知开车时间分别为 12： 20； 12： 30； 12： 40；13： 00，分别求他们在下述情况下坐同一班车的概率 （ 1）他们各自选择乘坐每一班车 是等可能的； （ 2）他们各自到达车站的时刻是等可能的（有车就乘） 19矩形 ， ， ，将矩形沿对角线 起，使 B 点与 P 点重合，点 的射影 M 正好在 （ ）求证 （ ）求二面角 P D 的余弦值 20已知椭圆 =1（ a b 0）的右焦点为 F， A 为短轴的一个端点，且 |（ 其中 O 为坐标原点） （ ）求椭圆的方程； （ ）若 C、 D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 M 满足 结 椭圆于点 P，试问： x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q，使得以 直径的圆经过直线 存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，说明理由 21已知函数 f（ x） =x2+x a） a R （ ）若 f（ x）有两个不同的极值点，求 a 的取值范围； （ ）当 a 2 时，用 g（ a）表示 f（ x）在 1， 0上的最大值，求 g（ a）的表达式 四 22），（ 23），（ 24）三题中任选 一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑（选修 4何证明选讲） 22如图 角平分线 延长线交它的外接圆于点 E （ ）证明： （ ）若 接圆的直径且 E=2，求 面积 （选修 4标系与参数方程选讲） 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）， 圆 C 的参数方程为 （ 为常数） （ 1）求直线 l 和圆 C 的普通方程； （ 2）若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围 （选修 4等式选讲） 24设函数 f（ x） =|x+1|+|x 5|， x R 第 4 页（共 19 页） （ 1）求不等式 f（ x） x+10 的解集； （ 2）如果关于 x 的不等式 f（ x） a（ x 2） 2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2015年湖北省潜江、天门、仙桃市联考高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择 题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效 1已知复数 （其中 i 为虚数单位），则复数 z 在坐标平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数 对应点的坐标得答案 【解答】 解：由 = ， 得复数 z 在坐标平面内对应的点的坐标为（ ），在第四象限 故选： D 2集合 A=x|（ x 1）（ x 2） =0， A B=1， 2，则满足条件的集合 B 有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 并集及其运算 【分析】 先求出集合 A，从而求出集合 B 的元素的个数即可 【解答】 解： 集合 A=x|（ x 1）（ x 2） =0， A=1， 2， A B=1， 2， 则满足条件的集合 B 有： 22=4 个， 故选： D 3一首小诗数灯，诗曰： “远望灯塔高 7 层，红光点点倍加增，顶层数来有 4 盏，塔上共有多少灯？ ”答曰（ ） A 252 盏 B 256 盏 C 508 盏 D 512 盏 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 由已知可得：数列 等比数列， ， n=7，公比 q=2利用等比数列的前 【解答】 解：由已知可得：数列 等比数列， ， n=7，公比 q=2 =508 故选： C 第 6 页（共 19 页） 4已知 0 ，则双曲线 与 =1 的（ ） A实轴长相等 B虚轴长相等 C焦距相等 D离心率相等 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案 【解 答】 解：双曲线 的实轴长为 2轴长 2距 2，离心率 ， 双曲线 的实轴长为 2轴长 2距2心率 ， 故它们的离心率相同 故选 D 5在四边形 ， “ R，使得 = ， = ”是 “四边形 平行四边形 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形和必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可 【解答】 解：由在四边形 ， “ R，使得 = ， = ”，得出 D 得到四边形 平行四边形， 反之，由四边形 平行四边形，得到 C， C，从而有： =1 R，使得 故在四边形 ， “ R，使得 “四 边形 平行四边形 ”的必要而不充分条件 故选 C 6已知点 M（ a， b）（ a 0， b 0）是圆 C： x2+ 内任意一点，点 P（ x， y）是圆上任意一点，则 ax+1 的值（ ） A一定等于 0 B一定是负数 C一定是正数 D可能为正数也可能为负数 【考点】 点与圆的位置关系 【分析】 由题意， a2+1， x2+，利用基本不等式，即可得出结论 第 7 页（共 19 页） 【解答】 解：由题意， a2+1， x2+， ax+（ a2+ （ b2+ 1， ax+1 0， 故选： B 7一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为 m），则该棱锥的全面积是（单位： （ ）A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为 2，底连长也为 2 的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可 【解答】 解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥 由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为 2，底面连长为 2，故它们的面积皆为=2， 由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为 ， 将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为 2 ，同理可求出侧面底边长为 ， 可求得此两侧面 的面积皆为 = ， 故此三棱锥的全面积为 2+2+ + = ， 故选 A 8斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、 B 两点，则线段长为（ ） A B C D 8 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求得焦点，设出直线方程，代入抛物线的方程，解得交点坐标，由两点的距离公式，即可得到所求值 【解答】 解： x 的焦点 F（ 1， 0）， 第 8 页（共 19 页） 直线 l 的方程为 y=x 1， 代入抛物线的方程，可得 6x+1=0， 解得 x=3 2 ， 交点为 A（ 3+2 ， 2+2 ）， B（ 3 2 ， 2 2 ）， 即有 | =8 故选： D 9已知 x （ 0， ），且 ，则 ） A B C D 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 由和差角的公式化简可得 ，结合 和 x 的范围可得 值，可得 【解答】 解： ， ， ， 又 ， x （ 0， ）， 0， 联立解得 ， ， = 故选： C 10已知数列 前 n 项和 ， n N*）则（ ） A 等差数列， 等比数列 B 等比数列， 等差数列 C 等差数列， 等差数列 D 等比数列， 等比数列 【考点】 等比关系的确定；等差关系的确定 第 9 页（共 19 页） 【分析】 数列 前 n 项和 ， 1+2，解得 n 2时， n 1，化为： 22n 11=1，再利用等差数列与等比数列的定义及其通项公式即可得出 【解答】 解： 数列 前 n 项和 ， 1+2，解得 当 n 2 时， n 1= +2 ， 化为： ， 变形为： 22n 11=1， 又 1=1， 数列 等差数列，首项为 1，公差为 1 另一方面：由 ， 可得 21= ， 又 n N*），则 ， 数列 等比数列，首项为 ，公比为 故选： A 11方程 x=x+a 有解（ x表示不大于 x 的最大整数），则参数 a 的取值集合是（ ） A a|0 a 1 B a| 1 a 0 C a| 1 a 1 D a|a R， aZ 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 化简 a=x x，从而确定 1 x x 0，从而解得 【解答】 解： x=x+a， a=x x， x表示不大于 x 的最大 整数， 1 x x 0， 参数 a 的取值集合是 a| 1 a 0， 故选 B 12如果存在正实数 a，使得 f（ x a）为奇函数， f（ x+a）为偶函数，我们称函数 f（ x）为 “和谐函数 ”给出下列四个函数： f（ x） =（ x 1） 5+5 f（ x） =x ） f（ x） =f（ x） =ln|x+1| 第 10 页（共 19 页） 其中 “和谐函数 ”的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由 f（ 0） =4 0，故无论正数 a 取什么值， f（ x a）都不是奇函数，因此函数 f（ x）不可能是 “和谐函数 ”； 先化简 f（ x） =为只有将函数 f（ x）的图象向左或向右平移 的整数倍时，才为奇函数或偶函数，代入进行验证看是否符合 “和谐函数 ”的定义即可； 由 f（ x） =，因为只有将函数 f（ x）的图象向左 的整数倍时，才为奇函数或偶函数，代入进行验证看是否符合 “和谐函数 ”的定义即可； 只有 f（ x 1） =ln|x|为偶函数；而 f（ x+1） =ln|x+2|为非奇非偶函数，故可得出答案 【解答】 解： 由 f（ x） =（ x 1） 5+5 f（ 0） =4 0， 无论正数 a 取什么值， f（ x a）都不是奇函数，函数 f（ x）不可能是 “和谐函数 ”； f（ x） =2x ） = 当 时， f（ x a） =2x 2k ） = 偶函数； 当 时， f（ x a） =2x （ 2） = 奇函数 因为只有将函数 f（ x）的图象向左或向右平移 的整数倍时，才为奇函数或偶函数，故不存在正数 a 使得函数 f（ x）是 “和谐函数 ”； 由 f（ x） =，因为 f（ x ） = 奇函数， f（ x+ ）= 偶函数，故是 “和谐函数 ”； f（ x） =ln|x+1|， 只有 f（ x 1） =ln|x|为偶函数；而 f（ x+1） =ln|x+2|为非奇非偶函数，故不存在正数 a 使得函数 f（ x）是 “和谐函数 ” 综上可知： 都不是 “和谐函数 ” 故答案为 1 个 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 13已知 a= ，则二项式 的展开式中的常数项为 15 【考点】 二项式定理的应用；定积分 【分析】 运用积分公式得出 a=1，二项式 的展开式中项为： = 1）r ，利用常数项特征求解即可 【解答】 解： a= =1， 第 11 页（共 19 页） 二项式 的展开式中项为： = 1） r ， 当 6 r=0 时， r=4，常数项为： 1） 4=15 故答案为： 15 14已知 f（ x）为偶函数，且当 x 0 时， f（ x） =x（ 1+x），则满足 f（ x） 2 的 x 的取值范围是 1， 1 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 可令 x（ 1+x） =2，根据 x 0 从而解得 x=1，根据二次函数的单调性容易判断 f（ x）在 0， +）上单调递增，这样便可由 f（ x） 2 得到 f（ |x|） f（ 1），根据 f（ x）在 0，+）上单调递增便可得出 |x| 1，从而便可得出满足 f（ x） 2 的 x 的取值范围 【解答】 解：令 x（ 1+x） =2，解得 x=1，或 2（舍去）； x 0 时， f（ x） =x2+x，对称轴为 x= ，在 0， +）上单调递增； f（ x）为偶函数； 由 f（ x） 2 得， f（ |x|） f（ 1）； |x| 1； 1 x 1； 满足 f（ x） 2 的 x 的取值范围是 1， 1 故答案为： 1， 1 15在半径为 R 的球内截取一个最大的圆柱，则其体积之比 V 圆柱 ： V 球 的比值为 【考点】 球内接多面体 【分析】 本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，为求出圆柱体积最 大时的底面半径，我们可以设圆柱体的底面半径为 r，进而根据截面圆半径、球半径、球心距满足勾股定理，可得 R2=，进而得到其体积的表达式，然后结合基本不等式，得到圆柱体积最大时的底面半径的值，即可求出 V 圆柱 ： V 球 【解答】 解：设圆柱体的底面半径为 r，高为 h，则 R2=， R2= 3 ， 圆柱的体积 V= 当且仅当 h= R， r= R 时， V 取最大值 V 球 = ， V 圆柱 ： V 球 = ， 第 12 页（共 19 页） 故答案为： 16数列 足 = ， ，则 【考点】 数 列递推式 【分析】 根据 ，令 n=7 代入递推公式 = ，求得 依次求出 结果，发现规律，求出 值 【解答】 解：由题意得， = ， ， 令 n=7 代入上式得， ，解得 ； 令 n=6 代入得， ，解得 1； 令 n=5 代入得， ，解得 ； 根据以上结果发现，求得结果按 2， ， 1 循环， 8 3=22，故 故答案为： 三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第 171 题为必做题，第 22选做题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤把答案填在答题卡上对应题号指定框内 17已知函数 的最大值为 1 （ ）求常数 a 的值； （ ）若 ， ， ，求 长 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）由三角函数公 式化简可得 f（ x） =2x+ ） +a 由最大值为 1 可 2+a=1，解方程可得； 第 13 页（共 19 页） （ ）由题意和（ ）可得 ，由三角形的面积公式可得 b=2，再由余弦定理可得 【解答】 解：（ ）由三角函数公式化简可得： f（ x） = a = a=2x+ ） +a 由最大值为 1 可 2+a=1，解得 a= 1， ； （ ）由 ， ，得 ， ， b=2， a2=b2+2， a=2，即 长为 2 18甲、乙两人都准备于下午 12： 00 13： 00 之间到某车站乘某路公交车外出，设在 12：00 13： 00 之间有四班该路公交车开出，已知开车时间分别为 12： 20； 12： 30； 12： 40；13： 00，分别求他们在下述情况下坐同一班车的概率 （ 1）他们各自选择乘坐每一班车是等可能的； （ 2）他们各自到达车站的时刻是等可能的（有车就乘） 【考 点】 几何概型；古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ 1）为古典概型，可得总数为 4 4=16 种，符合题意得为 4 种，代入古典概型得公式可得； （ 2）为几何概型，设甲到达时刻为 x，乙到达时刻为 y，可得 0 x 60， 0 y 60，作出图象由几何概型的公式可得 【解答】 解：（ 1）他们乘车总的可能结果数为 4 4=16 种， 乘同一班车的可能结果数为 4 种， 由古典概型知甲乙乘同一班车的概率为 P= = （ 2）利用几 何概型，设甲到达时刻为 x，乙到达时刻为 y， 可得 0 x 60， 0 y 60 试验总结果构成区域为图 ， 乘坐同一班车的事件所构成的区域为图 中 4 个黑色小方格， 故所求概率为 P= = 第 14 页（共 19 页） 19矩形 ， ， ，将矩形沿对角线 起，使 B 点与 P 点重合，点 的 射影 M 正好在 （ ）求证 （ ）求二面角 P D 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ ）推导出 而 平面 此能证明 （ 足为 N，连接 导出 所求二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值 【解答】 证明：（ ） M 是 P 点在平面 内的射影， 平面 矩形， 平面 面 ：（ 足为 N，连接 平面 得 所求二面角的平面角 设 AM=a，在 ， 0， 在 ， ，由 ， 从而， 在 ， 在 ， = = ， 即所求二面角的余弦值为 第 15 页（共 19 页） 20已知椭圆 =1（ a b 0）的右焦点为 F， A 为短轴的一个端点，且 |（其中 O 为坐标原点） （ ）求椭圆的方程； （ ）若 C、 D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 M 满足 结 椭圆于点 P，试问： x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q，使得以 直径的圆经过直线 存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）通过 | 可得 b、 c 的值，进而可得结论； （ ） 通过（ 1）知 C（ 2， 0）， D（ 2， 0），设直线 程并与椭圆联立，利用韦达定理可得点 P 坐标，利用 =0，计算即得结论 【解答】 解：（ ） | ， ， a2=b2+， 椭圆方程为： ； （ ）结论：存在 Q（ 0， 0），使得以 直径的圆恒过直线 交点 理由如下： 由（ 1）知： C（ 2， 0）， D（ 2， 0） 由题意可设 y=k（ x+2）， P（ M（ 2， 4k）， 联立 ，消去 y，整理得：（ 1+24=0， =（ 82 4（ 1+2 84） 0， ， ， ， 设 Q（ 0），且 2， 若以 直径的圆经过 交点， 则 =0 恒成立， ， ， ， 第 16 页（共 19 页） 即 恒成立， 存在 Q（ 0， 0），使得以 直径的圆恒过直线 交点 21已知 函数 f（ x） =x2+x a） a R （ ）若 f（ x）有两个不同的极值点，求 a 的取值范围； （ ）当 a 2 时，用 g（ a）表示 f（ x）在 1， 0上的最大值，求 g（ a）的表达式 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出函数的导数，令 h（ x） =22，得到关于 a 的不等式组，解出即可； （ ）求出函数的单调区间，根据二次函数的性质，求出 f（ x）的最大值，从而求出 g（ a）的表达式 【解答】 解：（ ） f（ x）有两个不同的极点 令 h（ x） =22，则 h（ x）有两个大于 a 的零点 ； （ ）由（ ）知当 a 2 时， f（ x）在 ， 上单调递增；在 上单调递减，又 ，故 0， 注意到 h（ x） =22 的对称轴 h（ 1） =3+2a 0， h（ 0） =1 0，可推知 1 0， 当 x 1， 0时， g（ a） =f（ x） f（ 1）， f（ 0） 而 f（ 0） = a）， f（ 1） =1+ 1 a）， 又若 ，但 ，故 f（ 0） f（ 1）不成立 第 17 页（共 19 页） 综上分析可知， g（ a） =f（ 1） =1+ 1 a）（ a 2） 四 22），（ 23），（ 24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑（选修 4何证明选讲） 22如图 角平分线 延长线交它的外接圆于点 E （ ）证明： （ ）若 接圆的直径且 E=2，求 面积 【考点】 与圆有关的比例线段；相似三角形的判定 【分析】 （ ）推导出 此能