河南省洛阳市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2015年河南省洛阳市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1若复数 z 满足（ 1 z=1+ z 的虚部为（ ） A 0 B C 1 D 2已知集合 ， B=y|y=x A，则 AB=（ ） A B 10 C 1 D 3已知向量 =（ m， 1）， =（ m 2， 1），若 | + |=| |，则实数 m=（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 4下列不等式一定成立的是（ ） A 2 B 4|x| C ） 2x） D + 5某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（ ） A a=3 B a=4 C a=5 D a=6 6分别在区间 0， 和 0， 1内任取两个实数 x， y，则不等式 y 成立的概率为（ ） A B C D 7在 ，已知三条边上的 高线长分别为 ， ， ，则 最大内角为（ ） A B C D 8已知双曲线 C 的焦点为 P 是双曲 线上任意一点，若双曲线的离心率为 2，且|2|则 ） 第 2 页（共 23 页） A B C D 9如图，定义在 2， 2上的偶函数 f（ x）和定义在 1， 1上的奇函数 g（ x）的部分图象分别如图甲、乙，则函数 y=f（ g（ x）的零点个数为（ ） A 9 B 8 C 7 D 6 10已知实数 x， y 满足 ，若不等式 a 恒成立，则实数 a 的最大值为（ ） A 1 B C D 2 11已知表面积为 24 的球外接于三棱锥 S ， ，则三棱锥 S体积最大值为（ ） A B C D 12若函数 y=f（ x）的图象上存在关于原点对称的两点 M， N，则称函数 f（ x）有一组 “对点 ”（ “M 与 N”和 “N 与 M”视为同一组 “对点 ”），已知 f（ x） = ，有两组 “对点 ”，则非零实数 m 的取值范围是（ ） A（ 4 4 ） e ， 0） （ 0，（ 4 4） e ） B（ 2 2 ） e ，0） （ 0，（ 2 2） e ） C（ 0，（ 2 2） e ） D（ 0，（ 4 4） e ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13若 ） = ，则 14将一个长、宽、高分别为 10、 4、 8 的长方体毛坯加工成某工件，如图为加工后该工件的三视图，则该工件的材料利用率（材料利用率 = ）是 第 3 页（共 23 页） 15若（ 1 2015x） 2015=a0+x R），则 + + 的值为 16已知点 P 是圆 C： x2+8x 8y+28=0 上任意一点，曲线 N： 与 x 轴交于 A，B 两点，直线 曲线 N 交于点 M，记直线 斜率分别为 k1k2取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知等比数列 公比 q 1， ，且 8 成等差数列，数列 前 （ 1）分别求出数列 通项公式； （ 2）设数列 ， n N*， m 恒成立，求实数 m 的最小值 18袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球 a 个，黄球 b 个，蓝球 c 个；现从中随机取球，规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分 （ 1）若从该袋子中任取一个球，所得分数 X 的数学期望和方差分别为 和 ，求 a： b： c； （ 2）在（ 1）的条件下，当袋子中球的总数最少时，从该袋中一次性任取 3 个球，求所得分数之和大于等于 6 的概率 19如图，四棱锥 P ，底面 菱形， （ 1）证明： B； （ 2）若 0， D，求二面角 B D 的余弦值 20已知抛物线 E： y=m 0），圆 C： y 2） 2=4，点 F 是抛物线 E 的焦点， 点N（ 0， 0）为抛物线 E 上的动点，点 M（ 2， ），线段 被抛物线E 平分 第 4 页（共 23 页） （ 1）求 m 的值； （ 2）若 4，过点 N 向圆 C 作切线，求两条切线与 x 轴围成的三角形面积的最小值 21已知函数 f（ x） =（ 6x+t） t R （ ）若函数 y=f（ x）依次在 x=a， x=b， x=c（ a b c）处取极值，求 t 的取值范围； （ ）若存在实数 t 0， 2，使对任意的 x 1， m，不等式 f（ x） x 恒成立，求正整数 m 的最大值 选考题（请考生从 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分） 选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 的切线， A 是切点， D，割线 圆 O 于 B、 C 两点 （ ）证明： O， D， B， C 四点共圆； （ ）设 0， 0，求 大小 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 直角坐标方程为 +，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， P 是曲线 一点， （ 0 ），将点 P 绕点 O 逆时针旋转角 后得到点 Q， =2 ，点 M 的轨迹是曲线 （ 1）求曲线 极坐标方程； （ 2）求 |取值范围 选修 4等式选讲 24已知关于 x 的不等式 |2x 1| |x 1| （ 1）当 a=8 时，求不等式解集 （ 2）若不等式有解，求 a 的范围 第 5 页（共 23 页） 2015年河南省洛阳市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1若复数 z 满足（ 1 z=1+ z 的虚部为（ ） A 0 B C 1 D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：由（ 1 z=1+ 得 ， z 的虚部为 故选： D 2已知集合 ， B=y|y=x A，则 AB=（ ） A B 10 C 1 D 【考点】 交集及其运算 【分析】 将集合 A 中的元素代入集合 B 中的函数 y=，求出可对应 y 的值，确定出集合 B，找出两集 合的公共元素，即可求出两集合的交集 【解答】 解：将 x=1 代入得： y=；将 x=10 代入得： y=；将 x= 代入得： y= 1， 集合 B=0， 1， 1，又 A=1， 10， ， 则 AB=1 故选 C 3已知向量 =（ m， 1）， =（ m 2， 1），若 | + |=| |，则实数 m=（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的数量积的和模的计算即可求出 【解答】 解： =（ m， 1）， =（ m 2， 1）， =m（ m 2） +1=2m+1， | + |=| |， 第 6 页（共 23 页） | + |2=| |2， =0， 2m+1=0， 解得 m=1， 故选： C 4下列不等式一定成立的是（ ） A 2 B 4|x| C ） 2x） D + 【考点】 基本不等式 【分析】 利用基本不等式的性质即可判断出正误 【解答】 解： A当 0 时不成立； B （ |x| 2） 2 0， 4|x|，正确； C当 x=1 时， ） =2x），因此不正确； D当 a=b 0 时， = ，因此不正确 故选： B 5某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（ ） A a=3 B a=4 C a=5 D a=6 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 S， k 的值，当 S= ， k=4 时，由题意此时满足条件 4 a，退出 循环，输出 S 的值为 ，结合选项即可得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=1， k=1 不满足条件 k a， S= ， k=2 不满足条件 k a， S= ， k=3 第 7 页（共 23 页） 不满足条件 k a， S= ， k=4 由题意，此时满足条件 4 a，退出循环，输出 S 的值为 ， 故选： A 6分别在区间 0， 和 0， 1内任取两个实数 x， y，则不等式 y 成立的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据几何概型的概率公式，求出对应事件对应的平面区域的面积， 进行求解即可 【解答】 解：由题意知 0 x ， 0 y 1， 作出对应的图象如图：则此时对应的面积 S= 1= ， 阴影部分的面积 S= = ， 则不等式 y 成立的概率 P= = ， 故选： B 7在 ，已知三条边上的高线长分别为 ， ， ，则 最大内角为（ ） A B C D 【考点】 余弦定理 【分析】 由题意设三条高对应的三角形边长分别为： a， b， c，则由三角形面积公式可得：a= b= ，化简可得： 35a=21b=15c，得 b= ， c= ， 用余弦定理可求 ，结合范围 C （ 0， ），即可解得 C 的值 第 8 页（共 23 页） 【解答】 解： 在 ，已知三条边上的高线长分别为 ， ， ， 设三条高对应的三角形边长分别为： a， b， c，则由三角形面积公式可得： a= b= ，化简可得： 35a=21b=15c， 解得： b= ， c= ， C 为三角形最大内角， = = ， C （ 0， ）， C= 故选： B 8已知双曲线 C 的焦点为 P 是双曲线上任意一点，若双曲线的离心率为 2，且|2|则 ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设双曲线 C 的焦点为 c， 0）， c， 0），运用离心率公式可得 c=2a，再由双曲线的定义可得 |2|4a，再由余弦定理，计算即可得到所求值 【解答】 解：设双曲线 C 的焦点为 c， 0）， c， 0）， 由题意可得 e= =2，即 c=2a， 由双曲线的定义可得 | |2a， 由 |2|可得 |2|4a， 又 |2c=4a， 在三角形 ， = = 故选： A 9如图，定义在 2， 2上的偶函数 f（ x）和定义在 1， 1上的奇函数 g（ x）的部分图象分别如图甲、乙，则函数 y=f（ g（ x）的零点个数为（ ） 第 9 页（共 23 页） A 9 B 8 C 7 D 6 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由题意，定义在 2， 2上的偶函数 f（ x）有 3 个零点，不妨设 a， 0， a（ 1 a 2）由于函数 g（ x）的值域为 2， 2，则 g（ x） =a 有 3 个根， g（ x） = a 有 3 个根，g（ x） =0 有 3 个根，即可得出结论 【解答】 解：由题意，定义在 2， 2上的偶函数 f（ x）有 3 个零点，不妨设 a， 0， a（ 1 a 2） 由于函数 g（ x）的值域为 2， 2，则 g（ x） =a 有 3 个根， g（ x） = a 有 3 个 根， g（ x）=0 有 3 个根， 函数 y=f（ g（ x）的零点个数为 9 故选： A 10已知实数 x， y 满足 ，若不等式 a 恒成立，则实数 a 的最大值为（ ） A 1 B C D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，求出 的范围，由 = = ，求出其范围，可得使不等式 a 恒成立的实数 a 的最大值 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 第 10 页（共 23 页） = = = ， 设 z= ， 由图可知， 1 ， z （ 2， ），则 ， （ ） 不等式 a 恒成立， 故选： C 11已知表面积为 24 的球外接于三棱锥 S ， ，则三棱锥 S体积最大值为（ ） A B C D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 设球的半径为 R，球心为 O，如图所示，由球 O 的表面积是 24，可得 44，解得 R设 外心为 接圆的半径为 r，则 r= = 可得= ， 在 ，由余弦定理可得： 16=b2+ 11 页（共 23 页） 2利用基本不等式的性质可得 16，利用三棱锥 P 体积V= ，即可得出 【解答】 解：设球的半径为 R，球心为 O，如图所示 球 O 的表面积是 24， 44，解得 R= 设 外心为 接圆的半径为 r，则 r= = ， = 在 ，由余弦定理可得： 16=b2+2 化为 b2+c2=6 2 16，当且仅当 b=c=4 时取等号 三棱锥 S 体积 V= = ， 故选： B 12若函数 y=f（ x）的图象上存在关于原点对称的两点 M， N，则称函数 f（ x）有一组 “对点 ”（ “M 与 N”和 “N 与 M”视为同一组 “对点 ”），已知 f（ x） = ，有两组 “对点 ”，则非零实数 m 的取值范围是（ ） A（ 4 4 ） e ， 0） （ 0，（ 4 4） e ） B（ 2 2 ） e ，0） （ 0，（ 2 2） e ） C（ 0，（ 2 2） e ） D（ 0，（ 4 4） e ） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 根据 “对点 ”的定义可知，只需要利用图象，作出函数 f（ x） =2x， x 0 关于原点对称的图象，利用对称图象在 x 0 时，满足有两个交点即可得到结论 第 12 页（共 23 页） 【解答】 解：由题意知函数 f（ x） =2x， x 0 关于原点对称的图象为 y=24x， 即 y= 2x， x 0， 作出两个函数的图象如图，要使函数 f（ x）存在两组 “对点 ”， 则等价为当 x 0 时， y= 2x， x 0 与 f（ x） = 在 x 0 时，有两个交点， 若 m 0，由图象知此时两个 图象只有一个交点，不满足条件 若 m 0，由 2x= 得 m=（ 2x） 设 h（ x） =（ 2x） 则 h（ x） = 2（ 2） 由 h（ x） = 2（ 2） 得 2=0， 得 x= 或 x= （舍）， 则当 x 时， h（ x） 0，当 0 x 时， h（ x） 0， 即当 x= 时， h（ x）取得极大值 h（ ） =（ 4 4） e ， 故当 x 0 时，要使两个图象只有 2 个交点， 则 m （ 4 4） e ， 综上 0 m （ 4 4） e ， 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13若 ） = ，则 【考点】 二倍角的余弦 【分析】 由条件利用诱导公式求得 值，再利用二倍角的余弦公式，求得 值 【解答】 解： ） =，则 2 = ， 故答案为： 第 13 页（共 23 页） 14将一个长、宽、高分别为 10、 4、 8 的长方体毛坯加工成某工件，如图为加工后该工件的三视图，则该工件的材料利用率（材料利用率 = ）是 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 零件为半圆柱与四棱柱的组合体，分别求出零件和毛坯的体积即可 【解答】 解：由三视图可知零件上部分为半圆柱，下部分为直四棱柱，其中半圆柱的底面半径为 3，高为 2，小长方体的长宽高分别为 10， 4， 5 零件的体积 0 4 5+ =200+9毛坯的体积 0 4 8=320 该工件的材料利用率为 = 故答案为 15若（ 1 2015x） 2015=a0+x R），则 + + 的值为 1 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 由条件利用二项展开式的通项公式，求得 、 值，可得要求式子的值 【解答】 解：由题意可得 （ 2015）， （ 2015） 2， （ 2015）3， ， （ 2015） 2015， + + = + +（ ） =1 + +（ ） 1 =（ 1 1） 2015 1= 1， 故答案为： 1 第 14 页（共 23 页） 16已知点 P 是圆 C： x2+8x 8y+28=0 上任意一点，曲线 N： 与 x 轴交于 A，B 两点，直线 曲线 N 交于点 M，记直线 斜率分别为 k1k2取值范围是 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，设出 在直线斜率，由 圆相切求出 k 的范围，联立直线方程和椭圆方程，求出 M 的坐标，得到 斜率，作积后求得答案 【解答】 解：如图， 由圆 C： x2+8x 8y+28=0，得（ x 4） 2+（ y 4） 2=4， 由曲线 N： ，得 ， A（ 2， 0）， B（ 2， 0）， 设 k3=k，则 程为 y= 由 C（ 4， 4）到直线 y=0 的距离 d= ， 解得： 或 k 的取值范围为 联立 ，得 M（ ）（不妨取 M 为第一象限的点）， 则 ， = ， k1k2= k ， k1k2 故答案为： 第 15 页（共 23 页） 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知等比数列 公比 q 1， ，且 8 成等差数列，数列 前 （ 1）分别求出数列 通项公式； （ 2）设数列 ， n N*， m 恒成立，求实数 m 的最小值 【考点】 等差数 列的通项公式；等差数列的前 n 项和 【分析】 （ 1）由题意可得 2a2=a1+8，进一步得到 ，求出公比后可得数列 通项公式，再由数列 前 n 项和为 ，利用错位相减法求得数列 通项公式； （ 2）由 ，可得 ，然后对 n 分类讨论得答案 【解答】 解：（ 1） ，且 8 成等差数列， 2a2=a1+8， 即 ， 2q 3=0， 即 q=3 或 1，而 q 1， q=3，则 ， +， ， 两式相减得： ， ， bn=n（ n 2）， 第 16 页（共 23 页） 又 n=1 时，可得 ， bn=n； （ 2）由（ 1）得， ， ， 当 = n=5 时， c5= 当 n 5 时， 当 n 5 时， 最大值是 m 的最小值为 18袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球 a 个，黄球 b 个，蓝球 c 个；现从中随机取球，规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分 （ 1）若从该袋子中任取一个球，所得分数 X 的数学期望和方差分别为 和 ，求 a： b： c； （ 2）在（ 1）的条件下，当袋子中球的总数最少时，从该袋中一次性任取 3 个球，求所得分数之和大于等于 6 的概率 【考点】 离散型 随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ 1）由已知得先求出 X 的分布列，从而求出 E（ X）， D（ X），由此能求出 a： b： c （ 2）结合（ 1）知，当袋子中球的总数量少时，红、黄、蓝球的个数分别是 3， 2， 1，共 6个球，从中任取 3 个，得分之和记为 Y，由此能求出所得分数之和大于等于 6 的概率 【解答】 解：（ 1）由已知得 X 的分布列为： X 1 2 3 P 故 E（ X） = = = ， D（ X） =（ 1 ） 2 +（ 2 ） 2 +（ 3 ） 2 = = ， = ， 由 解得 a=3c， b=2c， a： b： c=3： 2： 1 （ 2）结合（ 1）知，当袋子中球的总数量少时， 红、黄、蓝球的个数分别是 3， 2， 1， 共 6 个球，从中任取 3 个，得分之和记为 Y， 第 17 页（共 23 页） 则 P（ Y=6） = = ， P（ Y=7） = = ， P（ Y 6） =P（ Y=6） +P（ Y=7） = 19如图，四棱锥 P ，底面 菱形， （ 1）证明： B； （ 2）若 0， D，求二面角 B D 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 （ 1）连结 点 O，连结 导出 而 面 而 O，能证明 B （ 2）以 O 为坐标原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 B D 的余弦值 【解答】 证明：（ 1）连结 交 点 O，连结 底面 菱形， O 为 中点， 又 平面 面 O， B 解：（ 2） B，且 O 是 点， O， 又 D， 从而 两互相垂直， 以 O 为坐标原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 0， 等边三角形，又 D， 则 P（ 0， 0， ）， B（ 0， ， 0）， A（ 1， 0， 0）， D（ 0， ， 0）， =（ 0， ， ）， =（ 1， 0， ）， =（ 1， ， 0）， 设 =（ x， y， z）是平面 法向量， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， ）， 设平面 法向量 =（ a， b， c）， 第 18 页（共 23 页） 则 ，取 a=1，得 =（ 1， ， ）， 设二面角 B D 的平面角为 ， 则 = = ， 二面角 B D 的余弦值为 20已知抛物线 E： y=m 0），圆 C： y 2） 2=4，点 F 是抛物线 E 的焦点，点N（ 0， 0）为抛物线 E 上的动点，点 M（ 2， ），线段 被抛物线E 平分 （ 1）求 m 的值； （ 2）若 4，过点 N 向圆 C 作切线，求两条切线与 x 轴围成的三角形面积的最小值 【考点】 抛物线的简 单性质 【分析】 （ 1）线段 中点 P（ 1， ）在抛物线 E 上，建立方程，即可求 m 的值； （ 2）设切线： y y0=k（ x 切线与 x 轴交于点（ ， 0），圆心到切线的距离d= =2，由此能求出两切线与 x 轴围成的三角形面积 S 的最小值 【解答】 解：（ 1）抛物线 E 的焦点 F（ 0， ）， 线段 中点 P（ 1， ）在抛物线 E 上， =m， m= 或 （舍去）； （ 2）设切线： y y0=k（ x 即： y+， 切线与 x 轴交于点（ ， 0）， 第 19 页（共 23 页） 圆心到切线的距离 d= =2， 4+42， 化简得：（ 4） 2 k+4， 设两切线斜率分别为 则 k1+， ， S= |（ ）（ ） |= = =2 +（ 4） +8 2（ 2 4+8） =32 当且仅当 =4，即 时取等号 故两切线与 x 轴围成的三角形面积 S 的最小值为 32 21已知函数 f（ x） =（ 6x+t） t R （ ）若函数 y=f（ x）依次在 x=a， x=b， x=c（ a b c）处取极值，求 t 的取值范围； （ ）若存在实数 t 0， 2，使对任意的 x 1， m，不等式 f（ x） x 恒成立，求正整数 m 的最大值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件 【分析】 （ 1）根据公式求出函数的导数，根据导数 求出函数的极值，根据极值判断根的个数，判断各个根是否大于零 （ 2）构造不等式，不等式 f（ x） x（ 6x+t） xt x 3x，转化为存在实数 t 0， 2，使对任意的 x 1， m，不等式 t x 3x 恒成立，即不等式 0 x 3x 在 x 1， m上恒成立利用恒成立问题及导数求出 m 的最值 【解答】 解：（ ） f（ x） =（ 312x+3） 39x+t+3） 39x+t+3） f（ x）有 三个极值点 39x+t+3=0 有三个根 a、 b、 c 令 g（ x） =39x+t+3，则 g（ x） =36x 9=3（ x+1）（ x 3） g（ x）在（ ， 1），（ 3， +）上递增，在（ 1， 3）上递减 g（ x）有三个零点 g（ 1） 0， g（ 3） 0 8 t 24 （ ）不等式 f（ x） x（ 6x+t） xt x 3x 转化为存在实数 t 0， 2，使对任意的 x 1， m，不等式 t x 3x 恒成立，即不等式 0 x 3x 在 x 1， m上恒成立 设 （ x） =e x x 3，则 （ x） = e x 2x+6 设 r（ x） =（ x） = e x 2x+6，则 r（ x） =e x 2， x 1， m r（ x） 0 故 r（ x）在区间 1， m上是减函数，又 r（ 1） =4 e 1 0， r（ 2） =2 e 2 0， r（ 3） =e3 0 第 20 页（共 23 页） 故存在 （ 2， 3），使得 r（ =（ =0 当 1 x 有 （ 0，当 x 有 （ 0 从而 y=（ x）在区间 1， 递增，在 区间 +）上递减 又 （ 1） =e 1+2 0， （ 2） =e 2+5 0， （ 3） =e 3+6 0 （ 4） =e 4+5 0， （ 5） =e 5+2 0， （ 6） =e 6 3 0 当 1 x 5 时，恒有 （ x） 0；当 x 6 时， （ x） 0 故使命题成立的正整数 m 的最大值为 512 分 选考题