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第 1 页(共 23 页) 2015年河南省洛阳市高三(上)期末数学试卷(理科) 一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 . 1若复数 z 满足( 1 z=1+ z 的虚部为( ) A 0 B C 1 D 2已知集合 , B=y|y=x A,则 AB=( ) A B 10 C 1 D 3已知向量 =( m, 1), =( m 2, 1),若 | + |=| |,则实数 m=( ) A 1 B 2 C 1 D 2 4下列不等式一定成立的是( ) A 2 B 4|x| C ) 2x) D + 5某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则( ) A a=3 B a=4 C a=5 D a=6 6分别在区间 0, 和 0, 1内任取两个实数 x, y,则不等式 y 成立的概率为( ) A B C D 7在 ,已知三条边上的 高线长分别为 , , ,则 最大内角为( ) A B C D 8已知双曲线 C 的焦点为 P 是双曲 线上任意一点,若双曲线的离心率为 2,且|2|则 ) 第 2 页(共 23 页) A B C D 9如图,定义在 2, 2上的偶函数 f( x)和定义在 1, 1上的奇函数 g( x)的部分图象分别如图甲、乙,则函数 y=f( g( x)的零点个数为( ) A 9 B 8 C 7 D 6 10已知实数 x, y 满足 ,若不等式 a 恒成立,则实数 a 的最大值为( ) A 1 B C D 2 11已知表面积为 24 的球外接于三棱锥 S , ,则三棱锥 S体积最大值为( ) A B C D 12若函数 y=f( x)的图象上存在关于原点对称的两点 M, N,则称函数 f( x)有一组 “对点 ”( “M 与 N”和 “N 与 M”视为同一组 “对点 ”),已知 f( x) = ,有两组 “对点 ”,则非零实数 m 的取值范围是( ) A( 4 4 ) e , 0) ( 0,( 4 4) e ) B( 2 2 ) e ,0) ( 0,( 2 2) e ) C( 0,( 2 2) e ) D( 0,( 4 4) e ) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 . 13若 ) = ,则 14将一个长、宽、高分别为 10、 4、 8 的长方体毛坯加工成某工件,如图为加工后该工件的三视图,则该工件的材料利用率(材料利用率 = )是 第 3 页(共 23 页) 15若( 1 2015x) 2015=a0+x R),则 + + 的值为 16已知点 P 是圆 C: x2+8x 8y+28=0 上任意一点,曲线 N: 与 x 轴交于 A,B 两点,直线 曲线 N 交于点 M,记直线 斜率分别为 k1k2取值范围是 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 17已知等比数列 公比 q 1, ,且 8 成等差数列,数列 前 ( 1)分别求出数列 通项公式; ( 2)设数列 , n N*, m 恒成立,求实数 m 的最小值 18袋子中装有形状,大小完全相同的小球若干,其中红球 a 个,黄球 b 个,蓝球 c 个;现从中随机取球,规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分 ( 1)若从该袋子中任取一个球,所得分数 X 的数学期望和方差分别为 和 ,求 a: b: c; ( 2)在( 1)的条件下,当袋子中球的总数最少时,从该袋中一次性任取 3 个球,求所得分数之和大于等于 6 的概率 19如图,四棱锥 P ,底面 菱形, ( 1)证明: B; ( 2)若 0, D,求二面角 B D 的余弦值 20已知抛物线 E: y=m 0),圆 C: y 2) 2=4,点 F 是抛物线 E 的焦点, 点N( 0, 0)为抛物线 E 上的动点,点 M( 2, ),线段 被抛物线E 平分 第 4 页(共 23 页) ( 1)求 m 的值; ( 2)若 4,过点 N 向圆 C 作切线,求两条切线与 x 轴围成的三角形面积的最小值 21已知函数 f( x) =( 6x+t) t R ( )若函数 y=f( x)依次在 x=a, x=b, x=c( a b c)处取极值,求 t 的取值范围; ( )若存在实数 t 0, 2,使对任意的 x 1, m,不等式 f( x) x 恒成立,求正整数 m 的最大值 选考题(请考生从 22、 23、 24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分) 选修 4何证明选讲 22如图, 圆 O 的切线, A 是切点, D,割线 圆 O 于 B、 C 两点 ( )证明: O, D, B, C 四点共圆; ( )设 0, 0,求 大小 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 直角坐标方程为 +,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, P 是曲线 一点, ( 0 ),将点 P 绕点 O 逆时针旋转角 后得到点 Q, =2 ,点 M 的轨迹是曲线 ( 1)求曲线 极坐标方程; ( 2)求 |取值范围 选修 4等式选讲 24已知关于 x 的不等式 |2x 1| |x 1| ( 1)当 a=8 时,求不等式解集 ( 2)若不等式有解,求 a 的范围 第 5 页(共 23 页) 2015年河南省洛阳市高三(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 . 1若复数 z 满足( 1 z=1+ z 的虚部为( ) A 0 B C 1 D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知的等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解:由( 1 z=1+ 得 , z 的虚部为 故选: D 2已知集合 , B=y|y=x A,则 AB=( ) A B 10 C 1 D 【考点】 交集及其运算 【分析】 将集合 A 中的元素代入集合 B 中的函数 y=,求出可对应 y 的值,确定出集合 B,找出两集 合的公共元素,即可求出两集合的交集 【解答】 解:将 x=1 代入得: y=;将 x=10 代入得: y=;将 x= 代入得: y= 1, 集合 B=0, 1, 1,又 A=1, 10, , 则 AB=1 故选 C 3已知向量 =( m, 1), =( m 2, 1),若 | + |=| |,则实数 m=( ) A 1 B 2 C 1 D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的数量积的和模的计算即可求出 【解答】 解: =( m, 1), =( m 2, 1), =m( m 2) +1=2m+1, | + |=| |, 第 6 页(共 23 页) | + |2=| |2, =0, 2m+1=0, 解得 m=1, 故选: C 4下列不等式一定成立的是( ) A 2 B 4|x| C ) 2x) D + 【考点】 基本不等式 【分析】 利用基本不等式的性质即可判断出正误 【解答】 解: A当 0 时不成立; B ( |x| 2) 2 0, 4|x|,正确; C当 x=1 时, ) =2x),因此不正确; D当 a=b 0 时, = ,因此不正确 故选: B 5某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则( ) A a=3 B a=4 C a=5 D a=6 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 S, k 的值,当 S= , k=4 时,由题意此时满足条件 4 a,退出 循环,输出 S 的值为 ,结合选项即可得解 【解答】 解:模拟执行程序,可得 S=1, k=1 不满足条件 k a, S= , k=2 不满足条件 k a, S= , k=3 第 7 页(共 23 页) 不满足条件 k a, S= , k=4 由题意,此时满足条件 4 a,退出循环,输出 S 的值为 , 故选: A 6分别在区间 0, 和 0, 1内任取两个实数 x, y,则不等式 y 成立的概率为( ) A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据几何概型的概率公式,求出对应事件对应的平面区域的面积, 进行求解即可 【解答】 解:由题意知 0 x , 0 y 1, 作出对应的图象如图:则此时对应的面积 S= 1= , 阴影部分的面积 S= = , 则不等式 y 成立的概率 P= = , 故选: B 7在 ,已知三条边上的高线长分别为 , , ,则 最大内角为( ) A B C D 【考点】 余弦定理 【分析】 由题意设三条高对应的三角形边长分别为: a, b, c,则由三角形面积公式可得:a= b= ,化简可得: 35a=21b=15c,得 b= , c= , 用余弦定理可求 ,结合范围 C ( 0, ),即可解得 C 的值 第 8 页(共 23 页) 【解答】 解: 在 ,已知三条边上的高线长分别为 , , , 设三条高对应的三角形边长分别为: a, b, c,则由三角形面积公式可得: a= b= ,化简可得: 35a=21b=15c, 解得: b= , c= , C 为三角形最大内角, = = , C ( 0, ), C= 故选: B 8已知双曲线 C 的焦点为 P 是双曲线上任意一点,若双曲线的离心率为 2,且|2|则 ) A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设双曲线 C 的焦点为 c, 0), c, 0),运用离心率公式可得 c=2a,再由双曲线的定义可得 |2|4a,再由余弦定理,计算即可得到所求值 【解答】 解:设双曲线 C 的焦点为 c, 0), c, 0), 由题意可得 e= =2,即 c=2a, 由双曲线的定义可得 | |2a, 由 |2|可得 |2|4a, 又 |2c=4a, 在三角形 , = = 故选: A 9如图,定义在 2, 2上的偶函数 f( x)和定义在 1, 1上的奇函数 g( x)的部分图象分别如图甲、乙,则函数 y=f( g( x)的零点个数为( ) 第 9 页(共 23 页) A 9 B 8 C 7 D 6 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由题意,定义在 2, 2上的偶函数 f( x)有 3 个零点,不妨设 a, 0, a( 1 a 2)由于函数 g( x)的值域为 2, 2,则 g( x) =a 有 3 个根, g( x) = a 有 3 个根,g( x) =0 有 3 个根,即可得出结论 【解答】 解:由题意,定义在 2, 2上的偶函数 f( x)有 3 个零点,不妨设 a, 0, a( 1 a 2) 由于函数 g( x)的值域为 2, 2,则 g( x) =a 有 3 个根, g( x) = a 有 3 个 根, g( x)=0 有 3 个根, 函数 y=f( g( x)的零点个数为 9 故选: A 10已知实数 x, y 满足 ,若不等式 a 恒成立,则实数 a 的最大值为( ) A 1 B C D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域,求出 的范围,由 = = ,求出其范围,可得使不等式 a 恒成立的实数 a 的最大值 【解答】 解:由约束条件 作出可行域如图, 第 10 页(共 23 页) = = = , 设 z= , 由图可知, 1 , z ( 2, ),则 , ( ) 不等式 a 恒成立, 故选: C 11已知表面积为 24 的球外接于三棱锥 S , ,则三棱锥 S体积最大值为( ) A B C D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 设球的半径为 R,球心为 O,如图所示,由球 O 的表面积是 24,可得 44,解得 R设 外心为 接圆的半径为 r,则 r= = 可得= , 在 ,由余弦定理可得: 16=b2+ 11 页(共 23 页) 2利用基本不等式的性质可得 16,利用三棱锥 P 体积V= ,即可得出 【解答】 解:设球的半径为 R,球心为 O,如图所示 球 O 的表面积是 24, 44,解得 R= 设 外心为 接圆的半径为 r,则 r= = , = 在 ,由余弦定理可得: 16=b2+2 化为 b2+c2=6 2 16,当且仅当 b=c=4 时取等号 三棱锥 S 体积 V= = , 故选: B 12若函数 y=f( x)的图象上存在关于原点对称的两点 M, N,则称函数 f( x)有一组 “对点 ”( “M 与 N”和 “N 与 M”视为同一组 “对点 ”),已知 f( x) = ,有两组 “对点 ”,则非零实数 m 的取值范围是( ) A( 4 4 ) e , 0) ( 0,( 4 4) e ) B( 2 2 ) e ,0) ( 0,( 2 2) e ) C( 0,( 2 2) e ) D( 0,( 4 4) e ) 【考点】 分段函数的应用 【分析】 根据 “对点 ”的定义可知,只需要利用图象,作出函数 f( x) =2x, x 0 关于原点对称的图象,利用对称图象在 x 0 时,满足有两个交点即可得到结论 第 12 页(共 23 页) 【解答】 解:由题意知函数 f( x) =2x, x 0 关于原点对称的图象为 y=24x, 即 y= 2x, x 0, 作出两个函数的图象如图,要使函数 f( x)存在两组 “对点 ”, 则等价为当 x 0 时, y= 2x, x 0 与 f( x) = 在 x 0 时,有两个交点, 若 m 0,由图象知此时两个 图象只有一个交点,不满足条件 若 m 0,由 2x= 得 m=( 2x) 设 h( x) =( 2x) 则 h( x) = 2( 2) 由 h( x) = 2( 2) 得 2=0, 得 x= 或 x= (舍), 则当 x 时, h( x) 0,当 0 x 时, h( x) 0, 即当 x= 时, h( x)取得极大值 h( ) =( 4 4) e , 故当 x 0 时,要使两个图象只有 2 个交点, 则 m ( 4 4) e , 综上 0 m ( 4 4) e , 故选: D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 . 13若 ) = ,则 【考点】 二倍角的余弦 【分析】 由条件利用诱导公式求得 值,再利用二倍角的余弦公式,求得 值 【解答】 解: ) =,则 2 = , 故答案为: 第 13 页(共 23 页) 14将一个长、宽、高分别为 10、 4、 8 的长方体毛坯加工成某工件,如图为加工后该工件的三视图,则该工件的材料利用率(材料利用率 = )是 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 零件为半圆柱与四棱柱的组合体,分别求出零件和毛坯的体积即可 【解答】 解:由三视图可知零件上部分为半圆柱,下部分为直四棱柱,其中半圆柱的底面半径为 3,高为 2,小长方体的长宽高分别为 10, 4, 5 零件的体积 0 4 5+ =200+9毛坯的体积 0 4 8=320 该工件的材料利用率为 = 故答案为 15若( 1 2015x) 2015=a0+x R),则 + + 的值为 1 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 由条件利用二项展开式的通项公式,求得 、 值,可得要求式子的值 【解答】 解:由题意可得 ( 2015), ( 2015) 2, ( 2015)3, , ( 2015) 2015, + + = + +( ) =1 + +( ) 1 =( 1 1) 2015 1= 1, 故答案为: 1 第 14 页(共 23 页) 16已知点 P 是圆 C: x2+8x 8y+28=0 上任意一点,曲线 N: 与 x 轴交于 A,B 两点,直线 曲线 N 交于点 M,记直线 斜率分别为 k1k2取值范围是 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 化圆的方程为标准方程,求出圆心坐标和半径,设出 在直线斜率,由 圆相切求出 k 的范围,联立直线方程和椭圆方程,求出 M 的坐标,得到 斜率,作积后求得答案 【解答】 解:如图, 由圆 C: x2+8x 8y+28=0,得( x 4) 2+( y 4) 2=4, 由曲线 N: ,得 , A( 2, 0), B( 2, 0), 设 k3=k,则 程为 y= 由 C( 4, 4)到直线 y=0 的距离 d= , 解得: 或 k 的取值范围为 联立 ,得 M( )(不妨取 M 为第一象限的点), 则 , = , k1k2= k , k1k2 故答案为: 第 15 页(共 23 页) 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 17已知等比数列 公比 q 1, ,且 8 成等差数列,数列 前 ( 1)分别求出数列 通项公式; ( 2)设数列 , n N*, m 恒成立,求实数 m 的最小值 【考点】 等差数 列的通项公式;等差数列的前 n 项和 【分析】 ( 1)由题意可得 2a2=a1+8,进一步得到 ,求出公比后可得数列 通项公式,再由数列 前 n 项和为 ,利用错位相减法求得数列 通项公式; ( 2)由 ,可得 ,然后对 n 分类讨论得答案 【解答】 解:( 1) ,且 8 成等差数列, 2a2=a1+8, 即 , 2q 3=0, 即 q=3 或 1,而 q 1, q=3,则 , +, , 两式相减得: , , bn=n( n 2), 第 16 页(共 23 页) 又 n=1 时,可得 , bn=n; ( 2)由( 1)得, , , 当 = n=5 时, c5= 当 n 5 时, 当 n 5 时, 最大值是 m 的最小值为 18袋子中装有形状,大小完全相同的小球若干,其中红球 a 个,黄球 b 个,蓝球 c 个;现从中随机取球,规定:取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分 ( 1)若从该袋子中任取一个球,所得分数 X 的数学期望和方差分别为 和 ,求 a: b: c; ( 2)在( 1)的条件下,当袋子中球的总数最少时,从该袋中一次性任取 3 个球,求所得分数之和大于等于 6 的概率 【考点】 离散型 随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差 【分析】 ( 1)由已知得先求出 X 的分布列,从而求出 E( X), D( X),由此能求出 a: b: c ( 2)结合( 1)知,当袋子中球的总数量少时,红、黄、蓝球的个数分别是 3, 2, 1,共 6个球,从中任取 3 个,得分之和记为 Y,由此能求出所得分数之和大于等于 6 的概率 【解答】 解:( 1)由已知得 X 的分布列为: X 1 2 3 P 故 E( X) = = = , D( X) =( 1 ) 2 +( 2 ) 2 +( 3 ) 2 = = , = , 由 解得 a=3c, b=2c, a: b: c=3: 2: 1 ( 2)结合( 1)知,当袋子中球的总数量少时, 红、黄、蓝球的个数分别是 3, 2, 1, 共 6 个球,从中任取 3 个,得分之和记为 Y, 第 17 页(共 23 页) 则 P( Y=6) = = , P( Y=7) = = , P( Y 6) =P( Y=6) +P( Y=7) = 19如图,四棱锥 P ,底面 菱形, ( 1)证明: B; ( 2)若 0, D,求二面角 B D 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 ( 1)连结 点 O,连结 导出 而 面 而 O,能证明 B ( 2)以 O 为坐标原点, x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 B D 的余弦值 【解答】 证明:( 1)连结 交 点 O,连结 底面 菱形, O 为 中点, 又 平面 面 O, B 解:( 2) B,且 O 是 点, O, 又 D, 从而 两互相垂直, 以 O 为坐标原点, x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系, 0, 等边三角形,又 D, 则 P( 0, 0, ), B( 0, , 0), A( 1, 0, 0), D( 0, , 0), =( 0, , ), =( 1, 0, ), =( 1, , 0), 设 =( x, y, z)是平面 法向量, 则 ,取 x=1,得 =( 1, ), 设平面 法向量 =( a, b, c), 第 18 页(共 23 页) 则 ,取 a=1,得 =( 1, , ), 设二面角 B D 的平面角为 , 则 = = , 二面角 B D 的余弦值为 20已知抛物线 E: y=m 0),圆 C: y 2) 2=4,点 F 是抛物线 E 的焦点,点N( 0, 0)为抛物线 E 上的动点,点 M( 2, ),线段 被抛物线E 平分 ( 1)求 m 的值; ( 2)若 4,过点 N 向圆 C 作切线,求两条切线与 x 轴围成的三角形面积的最小值 【考点】 抛物线的简 单性质 【分析】 ( 1)线段 中点 P( 1, )在抛物线 E 上,建立方程,即可求 m 的值; ( 2)设切线: y y0=k( x 切线与 x 轴交于点( , 0),圆心到切线的距离d= =2,由此能求出两切线与 x 轴围成的三角形面积 S 的最小值 【解答】 解:( 1)抛物线 E 的焦点 F( 0, ), 线段 中点 P( 1, )在抛物线 E 上, =m, m= 或 (舍去); ( 2)设切线: y y0=k( x 即: y+, 切线与 x 轴交于点( , 0), 第 19 页(共 23 页) 圆心到切线的距离 d= =2, 4+42, 化简得:( 4) 2 k+4, 设两切线斜率分别为 则 k1+, , S= |( )( ) |= = =2 +( 4) +8 2( 2 4+8) =32 当且仅当 =4,即 时取等号 故两切线与 x 轴围成的三角形面积 S 的最小值为 32 21已知函数 f( x) =( 6x+t) t R ( )若函数 y=f( x)依次在 x=a, x=b, x=c( a b c)处取极值,求 t 的取值范围; ( )若存在实数 t 0, 2,使对任意的 x 1, m,不等式 f( x) x 恒成立,求正整数 m 的最大值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件 【分析】 ( 1)根据公式求出函数的导数,根据导数 求出函数的极值,根据极值判断根的个数,判断各个根是否大于零 ( 2)构造不等式,不等式 f( x) x( 6x+t) xt x 3x,转化为存在实数 t 0, 2,使对任意的 x 1, m,不等式 t x 3x 恒成立,即不等式 0 x 3x 在 x 1, m上恒成立利用恒成立问题及导数求出 m 的最值 【解答】 解:( ) f( x) =( 312x+3) 39x+t+3) 39x+t+3) f( x)有 三个极值点 39x+t+3=0 有三个根 a、 b、 c 令 g( x) =39x+t+3,则 g( x) =36x 9=3( x+1)( x 3) g( x)在( , 1),( 3, +)上递增,在( 1, 3)上递减 g( x)有三个零点 g( 1) 0, g( 3) 0 8 t 24 ( )不等式 f( x) x( 6x+t) xt x 3x 转化为存在实数 t 0, 2,使对任意的 x 1, m,不等式 t x 3x 恒成立,即不等式 0 x 3x 在 x 1, m上恒成立 设 ( x) =e x x 3,则 ( x) = e x 2x+6 设 r( x) =( x) = e x 2x+6,则 r( x) =e x 2, x 1, m r( x) 0 故 r( x)在区间 1, m上是减函数,又 r( 1) =4 e 1 0, r( 2) =2 e 2 0, r( 3) =e3 0 第 20 页(共 23 页) 故存在 ( 2, 3),使得 r( =( =0 当 1 x 有 ( 0,当 x 有 ( 0 从而 y=( x)在区间 1, 递增,在 区间 +)上递减 又 ( 1) =e 1+2 0, ( 2) =e 2+5 0, ( 3) =e 3+6 0 ( 4) =e 4+5 0, ( 5) =e 5+2 0, ( 6) =e 6 3 0 当 1 x 5 时,恒有 ( x) 0;当 x 6 时, ( x) 0 故使命题成立的正整数 m 的最大值为 512 分 选考题
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