2016年北京市顺义区高考数学一模试卷(理科)含答案解析_第1页
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第 1 页(共 18 页) 2016 年北京市顺义区高考数学一模试卷(理科) 一、选择题共 8小题,每小题 5分,共 40分 出符合题目要求的一项 . 1已知 i 为虚数单位,则 i( 2i+1) =( ) A 2+2 2+ 2 i 2已知集合 A=x|1, B=x|1,则 AB=( ) A x| 1 x 1B x|0 x 1C x|0 x 2D x| 1 x 2 3下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A y=2y=x3+ D y= 执行如图所示的程序框图,输出的结果是( ) A 15B 21C 24D 35 5已知向量 , ,其中 xR则 “x=2”是 “ ”成立的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不 充分又不必要条件 6直线 l: ( t 为参数)与圆 C: ( 为参数)的位置关系是( ) A相离 B相切 C相交且过圆心 D相交但不过圆心 7在平面直角坐标系中,若不等式组 ( a 为常数)表示的区域面积等于 1,则 a 的值为( ) A B C D 1 第 2 页(共 18 页) 8如图,已知平面 平面 =l, A、 B 是直线 l 上的两点, C、 D 是平面 内的两点,且 l, l, , , P 是平面 上的一动点,且有 四棱锥 P 积的最大值是( ) A 48B 16C D 144 二、填空题共 6小题,每小题 5分,共 30 分 . 9( ) 6的展开式中 (用数字作答) 10抛物线 8x 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角形面积为 11已知某几何体的三视图如图,正(主)视图中的弧线是半圆,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是 (单位: 12已知函数 f( x) = ,则 = ; f( x)的最小值为 13某慢性疾病患者,因病到医院就医,医生给他开了处方药(片剂),要求此患者每天早、晚间隔 12 小时各服一次药,每次一片,每片 200 毫克假设该患者的肾脏每 12 小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的 50%,并且医生认为这种药在体内的残留量不超过 400毫克时无明显副作用若该患者第一天上午 8 点第一次服药,则第二天上午 8 点服完药时,药在其体内的残留量是 毫克,若该患者坚持长 期服用此药 明显副作用(此空填 “有 ”或 “无 ”) 14设 空间中给定的 5 个不同的点,则使 成立的点 个 三、解答题共 6小题,共 80分 算步骤或证明过程 . 第 3 页(共 18 页) 15已知函数 , xR ( )求函数 f( x)的最大值; ( )若 ,求函数 f( x)的单调递增区间 16在某班级举行的 “元旦联欢会 ”有奖答题活动中,主持人准备了 A, B 两个问题,规定:被抽签抽到的答题同学,答对问题 A 可获得 100 分,答对问题 B 可获得 200 分,答题结果相互独立互不影响,先回答哪个问题由答题同学自主决定;但只有第一个问题答对才能答第二个问题,否则终止答题答题终止后,获得的总分决定获奖的等次若甲是被抽到的答题同学,且假设甲答对 A, B 问题的概率分别为 ( )记甲先回答问题 A 再回答问题 B 得分为随机变量 ,求 的分布列和数学期望; ( )你觉得 应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高?请说明理由 17如图,在四棱锥 P ,等边 在的平面与正方形 在的平面互相垂直, O 为 中点, E 为 中点,且 ( )求证: 平面 ( )求二面角 P A 的余弦值; ( )在线段 是否存在点 M,使线段 在平面成 30角若存在, 求出 长,若不存在,请说明理由 18已知函数 f( x) = ( )求曲线 y=f( x)在点 ( 1, f( 1)处的切线方程; ( )设 g( x) =x+t,若函数 h( x) =f( x) g( x)在 上(这里 e有两个不同的零点,求实数 t 的取值范围 19已知椭圆 E: ( a b 0)的离心率 ,且点 在椭圆 E 上 ( )求椭圆 E 的方程; ( )直线 l 与椭圆 E 交于 A、 B 两点,且 线段 垂直平分线经过点 求 O 为坐标原点)面积的最大值 20在数列 , , ,其中 mR, nN* ( )当 m=1 时,求 ( )是否存在实数 m,使 的等差数列?证明你的结论; ( )当 m 时,证明:存在 kN*,使得 2016 第 4 页(共 18 页) 2016 年北京市顺义区高考 数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题共 8小题,每小题 5分,共 40分 出符合题目要求的一项 . 1已知 i 为虚数单位,则 i( 2i+1) =( ) A 2+2 2+ 2 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用 1,结合复数的乘法,即可得到结论 【解答】 解:由题意, i( 2i+1) =i2i+i= 2+i 故选 C 2已知集合 A=x|1, B=x|1,则 AB=( ) A x| 1 x 1B x|0 x 1C x|0 x 2D x| 1 x 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 先化简集合,即不等式 1,和对数不等式 1,再求交集 【解答】 解:集合 A=x|1=x| 1 x 1, B=x|1=x|0 x 2, 则 AB=x|0 x 1, 故选: B 3下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A y=2y=x3+ D y= 考点】 函数单调性 的判断与证明;函数奇偶性的判断 【分析】 根据奇函数的定义,奇函数定义域和图象的特点,反比例函数在定义域上的单调性,以及一次函数和 y=单调性便可判断每个选项的正误,从而找出正确选项 【解答】 解: A y=2是奇函数, 该选项错误; B y=x3+x 的定义域为 R,且( x) 3+( x) =( x3+x); 该函数为奇函数; y= y=x 在 R 上都是增函数; y=x3+x 在 R 上是增函数, 该选项正确; C反比例函数 在定 义域上没有单调性, 该选项错误; D y= 定义域为( 0, +),不关于原点对称,不是奇函数, 该选项错误 故选: B 4执行如图所示的程序框图,输出的结果是( ) 第 5 页(共 18 页) A 15B 21C 24D 35 【考点】 程序框图 【分析】 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦满足条件就退出循环,从而到结论 【解答】 解:模拟执行程序,可得 S=0, i=1 T=3, S=3, i=2 不满足 i 4, T=5, S=8, i=3 不满足 i 4, T=7, S=15, i=4 不满足 i 4, T=9, S=24, i=5 满足 i 4,退出循环,输出 S 的值为 24 故选: C 5已知向量 , ,其中 xR则 “x=2”是 “ ”成立的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 ,可得 4=0,解得 x 即可判断出结论 【解答】 解: , 4=0,解得 x=2 “x=2”是 “ ”成立的充分不必要条件 故选: A 6直线 l: ( t 为参数)与圆 C: ( 为参数)的位置关系是( ) A相离 B相切 C相 交且过圆心 D相交但不过圆心 【考点】 参数方程化成普通方程 第 6 页(共 18 页) 【分析】 把圆的方程及直线的方程化为普通方程,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离 d,判定发现 d 小于圆的半径 r,又圆心不在已知直线上,则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心 【解答】 解:把圆的参数方程化为普通方程得:( x 2) 2+( y 1) 2=4, 圆心坐标为( 2, 1),半径 r=2, 把直线的参数方程化为普通方程得: x y+1=0, 圆心到直线的距离 d= r=2, 又圆心( 2, 1)不在直线 x y+1=0 上, 则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心 故选: D 7在平面直角坐标系中,若不等式组 ( a 为常数)表示的区域面积等于 1,则 a 的值为( ) A B C D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件 的可行域,根据已知条件中,表示的平面区域的面积等于 2,构造关于 a 的方程,解方程即可得到答案 【解答】 解:不等式组 所围成的区域如图 示, 其面积为 1, A( 2, 2a+1), B( 2, 0), C( 1, ), D( 1, a+1) =1, 解得 a= 故选: B 第 7 页(共 18 页) 8如图,已知平面 平面 =l, A、 B 是直线 l 上的两点, C、 D 是平面 内的两点,且 l, l, , , P 是平面 上的一动点,且有 四棱锥 P 积的最大值是( ) A 48B 16C D 144 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分 析】 由面面垂直的性质可得 知 平面 内建立坐标系求出 P 点的轨迹,得出 P 到直线 l 的最大距离,得出棱锥的最大体积 【解答】 解: 平面 平面 =l, , l, l, 面 , 面 , 平面 , 平面 , 面 , 面 , ,即 , 以直线 l 为 x 轴, 中点为坐标原点建立平面直角坐标系, 则 A( 3, 0), B( 3, 0)设 P( x, y),则 , , 2 = ,整理得( x+5) 2+6( y 0) P 点的轨迹为以( 5, 0)为圆心,以 4 为半径的半圆 当 P 到直线 l 的距离 h=4 时,四棱锥 P 积取得最大值 棱锥的体积最大值为 V= = =48 故选: A 二、填空题共 6小题,每小题 5分,共 30 分 . 第 8 页(共 18 页) 9( ) 6的展开式中 20 (用数字作答) 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的系数等于 3,求得 r 的值,即可求得展开式中 系数 【解答】 解:由于( ) 6 的展开式的通项公式为 = 3r, 令 12 3r=3,解得 r=3,故展开式中 系数是 =20, 故答案为: 20 10抛物线 8x 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角形面积为 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近 线方程,解得两交点,由三角形的面积公式,计算即可得到所求值 【解答】 解:抛物线 8x 的准线为 x=2, 双曲线 的两条渐近线为 y= x, 可得两交点为( 2, ),( 2, ), 即有三角形的面积为 22 =2 故答案为: 2 11已知某几何体的三视图如图,正(主)视图中的弧线是半圆,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是 3+4 (单位: 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知几何体是半个圆柱,由三视图求出几何元素的长度,由圆柱的表面积公式求出几何体的表面积 【解答】 解:根 据三视图可知几何体是半个圆柱,且正视图是底面, 底面圆的半径是 1线长是 2 几何体的表面积 S=12+12+22=3+4( 故答案为: 3+4 第 9 页(共 18 页) 12已知函数 f( x) = ,则 = 1 ; f( x)的最小值为 0 【考点】 函数的最值及其几何意义;函数的概念及其构成要素 【分析】 根据分段函数的表达式代入求解即可,根据基本不等式的性质以及函数的单调性的性质进行 求解即可 【解答】 解: f( ) =, 则 f( 1) =1+2 2=1,即 =1, 当 x1 时, f( x) =x+ 22 2=2 2,当且仅当 x= ,即 x= 时取等号, 当 x 1 时, f( x) =) ; 故函数 f( x)的最小值为 0, 故答案为: 1, 0 13某慢性疾病患者,因病到医院就医,医生给他开了处方药(片剂),要求此患者每天早、晚间隔 12 小时各服一次药,每次一片,每片 200 毫克假设该患者的肾脏每 12 小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的 50%,并且医生认为这种药在体内的残留量不超过 400毫克时无明显副作用若该患者第一天上午 8 点第一次服药,则第二天上午 8 点服完药时,药在其体内的残留 量是 350 毫克,若该患者坚持长期服用此药 无 明显副作用(此空填 “有 ”或 “无 ”) 【考点】 数列与函数的综合 【分析】 由已知中,该药片每片 200 毫克,他的肾脏每 12 小时从体内滤出该药的 50%,我们可设该生第 n 次服药后,药在他体内的残留量为 克,由于上午 8 点第一次服药,则第 2 天上午服完药时共服了 3 次药,依次计算出 值,即可得到第 2 天上午服完药时,药在他体内还残留量;先考虑该运动员若长期服用此药,此药在体内残留量,与 400比照后,即可得到答案 【解答】 解:设该生第 n 次服药后,药在他体 内的残留量为 则: 00, 00+ 1 50%) =20000, 00+ 1 50%) =200+200350 故第二天早间,他第三次服空药后,药在他体内的残留量为 350 毫克 该运动员若长期服用此药,则此药在体内残留量为 =400( 1 当n+时,药在体内残留量无限接近 400 长期服用此药,不会产生副作用, 即该生长期服用该药,不会产生副作用 故答案为: 350,无 第 10 页(共 18 页) 14设 空间中给定的 5 个不同的点,则使 成立的点 1 个 【考点】 空间向量的概念;空间向量的加减法 【分析】 分别设出 M 各点的坐标,得到向量 ( k=1, 2, 3, 4,5)的坐标, 根据加法的坐标运算代入题中的向量等式 =0,化简整理可得点 M 的坐标是唯一的 【解答】 解:设 再设 M( a, b, c),则可得 =( a, b, c), =( a, b, c), =( a, b, c), =( a, b, c), =( a, b, c), = 成立, , 解得 , 因此,存在唯一的点 M,使 = 成立 故答案为: 1 三、解答题共 6小题,共 80分 算步骤或证明过程 . 15已知函数 , xR 第 11 页(共 18 页) ( )求函数 f( x)的最大值; ( )若 ,求函数 f( x)的单调递增区间 【考点】 三角函数中的恒等变换应用;正 弦函数的图象 【分析】 ( )由三角函数公式化简可得 f( x) = 2x+ ),易得最值; ( )解 求出函数的递增区间,取 的即可 【解答】 解:( )由三角函数公式化简可得 = = 2x+ ) 当 即 , kz 时, ; ( ) 当 时, f( x)递增, 即 ,令 k=0,且注意到 , 函数 f( x)的递增区间为 16在某班级举行的 “元旦联欢会 ”有奖答题活动中,主持人准备了 A, B 两个问题,规定:被抽签抽到的答题同学,答对问题 A 可获得 100 分,答对问题 B 可获得 200 分,答题结果相互独立互不影响,先回答哪个问题由答题同学自主决定;但只有第一个问题答对才能答第二个问题, 否则终止答题答题终止后,获得的总分决定获奖的等次若甲是被抽到的答题同学,且假设甲答对 A, B 问题的概率分别为 ( )记甲先回答问题 A 再回答问题 B 得分为随机变量 ,求 的分布列和数学期望; ( )你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高?请说明理由 【考点】 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列 【分析】 ( ) 的可能取值为 0, 100, 300,分别求出相应的概率,由此能求出 的分布列和数学期望 ( )设先回答问题 B,再回答问题 A 得分为随机变量 ,则 的可能取值为 0, 200, 300分别求出相应的概率,由此能求出 的数学期望,由此能求出应先回答 A 所得分的期望值较高 【解答】 (本小题满分 13 分) 解:( ) 的可能取值为 0, 100, 300 , , , 第 12 页(共 18 页) 的分布列为: 0 100 300 P ( )设先回答问题 B,再回答问题 A 得分为随机变量 ,则 的可能取值为 0, 200, 300 , , , 的分布列为: 0 200 300 P 应先回答 A 所得分的期望值较高 17如图,在四棱锥 P ,等边 在的平面与正方形 在的平面互相垂直, O 为 中点, E 为 中点,且 ( )求证: 平面 ( )求二面角 P A 的余弦值 ; ( )在线段 是否存在点 M,使线段 在平面成 30角若存在, 求出 长,若不存在,请说明理由 【考点】 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法 【分析】 ( I)根据三线合一得出 用面面垂直的性质即可得出 平面 ( O 为原点建立空间直角坐标系,求出平面 平面 法向量,则两法向量夹角的余弦的绝对值为二面角的余弦值; ( 设存在符合条件的点 M( 1, x, 0),求出平面 法向量 ,则 |, |= ,解方程得出 x,根据 x 的范围判断 【解答】 解:( ) 等边三角形, O 为 中点, 平面 平面 面 面 D, 面 平面 ( )取 中点 F, 底面 正方形, 两垂直 以 O 为原点,以 坐标轴建立空间直角坐标系如图: 则 O( 0, 0, 0), P( 0, 0, ), B( 1, 2, 0), E( 1, 1, 0), 第 13 页(共 18 页) =( 1, 1, ), =( 2, 1, 0), =( 0, 0, ) 显然平面 法向量为 =( 0, 0, ) 设平面 法向量为 =( x, y, z),则 , ,令 x=1,得 =( 1, 2, ) = 3, | |=2 , | |= , = 二面角 P A 为锐角, 二面角 P A 的余弦值为 ( )设在线段 存在点 M( 1, x, 0)( 0 x2)使线段 平面 在平面成30角, 平面 法向量为 =( 0, 2, 0), =( 1, x, ), , = = = ,解得 ,符合题意 在线段 存在点 M,当线段 时, 平面 在平面成 30角 18已知函数 f( x) = ( )求曲线 y=f( x)在点( 1, f( 1)处的切线方程; ( )设 g( x) =x+t,若函数 h( x) =f( x) g( x)在 上(这里 e有两个不同的零点,求实数 t 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理;利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 ( )求出函数的导数,得到 f( 1) 和 f( 1)的值,代入直线方程即可; ( )问题等价于 t=x 上恰有两个不同的实根,根据函数的单调性求出 第 14 页(共 18 页) 【解答】 解:( )函数定义域为( 0, +), f( x) =2x , f( 1) =1, 又 f( 1) =1, 所求切线方程为 y 1=x 1, 即: x y=0; ( )函数 h( x) =f( x) g( x) = x t 在 上恰有 两个不同的零点, 等价于 x t=0 在 上恰有两个不同的实根, 等价于 t=x 上恰有两个不同的实根, 令 k( x) =x , 当 时, k( x) 0, k( x)在 递减; 当 x( 1, e时, k( x) 0, k( x)在( 1, e递增, 故 x) =k( 1) =1,又 , , , , 即 19已知椭圆 E: ( a b 0)的离心率 ,且点 在椭圆 E 上 ( )求椭圆 E 的方程; ( )直线 l 与椭圆 E 交于 A、 B 两点,且线段 垂直平分线经过点 求 O 为坐标原点)面积的最大值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 ( )运用离心率公式和点满足椭圆方程,解方程可得 a, b,进而得到椭圆方程; ( )设 A( B( 讨论直线 斜率为 0 和不为 0,联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,结合基 本不等式和二次函数的最值的求法,可得面积的最大值 【解答】 解:( )由已

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