2016年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科） 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分 出符合题目要求的一项 . 1已知 i 为虚数单位，则 i（ 2i+1） =（ ） A 2+2 2+ 2 i 2已知集合 A=x|1， B=x|1，则 AB=（ ） A x| 1 x 1B x|0 x 1C x|0 x 2D x| 1 x 2 3下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A y=2y=x3+ D y= 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A 15B 21C 24D 35 5已知向量 ， ，其中 xR则 “x=2”是 “ ”成立的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不 充分又不必要条件 6直线 l： （ t 为参数）与圆 C： （ 为参数）的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交且过圆心 D相交但不过圆心 7在平面直角坐标系中，若不等式组 （ a 为常数）表示的区域面积等于 1，则 a 的值为（ ） A B C D 1 第 2 页（共 18 页） 8如图，已知平面 平面 =l， A、 B 是直线 l 上的两点， C、 D 是平面 内的两点，且 l， l， ， ， P 是平面 上的一动点，且有 四棱锥 P 积的最大值是（ ） A 48B 16C D 144 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 9（ ） 6的展开式中 （用数字作答） 10抛物线 8x 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角形面积为 11已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 （单位： 12已知函数 f（ x） = ，则 = ； f（ x）的最小值为 13某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔 12 小时各服一次药，每次一片，每片 200 毫克假设该患者的肾脏每 12 小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的 50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过 400毫克时无明显副作用若该患者第一天上午 8 点第一次服药，则第二天上午 8 点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长 期服用此药 明显副作用（此空填 “有 ”或 “无 ”） 14设 空间中给定的 5 个不同的点，则使 成立的点 个 三、解答题共 6小题，共 80分 算步骤或证明过程 . 第 3 页（共 18 页） 15已知函数 ， xR （ ）求函数 f（ x）的最大值； （ ）若 ，求函数 f（ x）的单调递增区间 16在某班级举行的 “元旦联欢会 ”有奖答题活动中，主持人准备了 A， B 两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题 A 可获得 100 分，答对问题 B 可获得 200 分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题答题终止后，获得的总分决定获奖的等次若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对 A， B 问题的概率分别为 （ ）记甲先回答问题 A 再回答问题 B 得分为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； （ ）你觉得 应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由 17如图，在四棱锥 P ，等边 在的平面与正方形 在的平面互相垂直， O 为 中点， E 为 中点，且 （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 P A 的余弦值； （ ）在线段 是否存在点 M，使线段 在平面成 30角若存在， 求出 长，若不存在，请说明理由 18已知函数 f（ x） = （ ）求曲线 y=f（ x）在点 （ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）设 g（ x） =x+t，若函数 h（ x） =f（ x） g（ x）在 上（这里 e有两个不同的零点，求实数 t 的取值范围 19已知椭圆 E： （ a b 0）的离心率 ，且点 在椭圆 E 上 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）直线 l 与椭圆 E 交于 A、 B 两点，且 线段 垂直平分线经过点 求 O 为坐标原点）面积的最大值 20在数列 ， ， ，其中 mR， nN* （ ）当 m=1 时，求 （ ）是否存在实数 m，使 的等差数列？证明你的结论； （ ）当 m 时，证明：存在 kN*，使得 2016 第 4 页（共 18 页） 2016 年北京市顺义区高考 数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分 出符合题目要求的一项 . 1已知 i 为虚数单位，则 i（ 2i+1） =（ ） A 2+2 2+ 2 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用 1，结合复数的乘法，即可得到结论 【解答】 解：由题意， i（ 2i+1） =i2i+i= 2+i 故选 C 2已知集合 A=x|1， B=x|1，则 AB=（ ） A x| 1 x 1B x|0 x 1C x|0 x 2D x| 1 x 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 先化简集合，即不等式 1，和对数不等式 1，再求交集 【解答】 解：集合 A=x|1=x| 1 x 1， B=x|1=x|0 x 2， 则 AB=x|0 x 1， 故选： B 3下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A y=2y=x3+ D y= 考点】 函数单调性 的判断与证明；函数奇偶性的判断 【分析】 根据奇函数的定义，奇函数定义域和图象的特点，反比例函数在定义域上的单调性，以及一次函数和 y=单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项 【解答】 解： A y=2是奇函数， 该选项错误； B y=x3+x 的定义域为 R，且（ x） 3+（ x） =（ x3+x）； 该函数为奇函数； y= y=x 在 R 上都是增函数； y=x3+x 在 R 上是增函数， 该选项正确； C反比例函数 在定 义域上没有单调性， 该选项错误； D y= 定义域为（ 0， +），不关于原点对称，不是奇函数， 该选项错误 故选： B 4执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） 第 5 页（共 18 页） A 15B 21C 24D 35 【考点】 程序框图 【分析】 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=0， i=1 T=3， S=3， i=2 不满足 i 4， T=5， S=8， i=3 不满足 i 4， T=7， S=15， i=4 不满足 i 4， T=9， S=24， i=5 满足 i 4，退出循环，输出 S 的值为 24 故选： C 5已知向量 ， ，其中 xR则 “x=2”是 “ ”成立的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 ，可得 4=0，解得 x 即可判断出结论 【解答】 解： ， 4=0，解得 x=2 “x=2”是 “ ”成立的充分不必要条件 故选： A 6直线 l： （ t 为参数）与圆 C： （ 为参数）的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相 交且过圆心 D相交但不过圆心 【考点】 参数方程化成普通方程 第 6 页（共 18 页） 【分析】 把圆的方程及直线的方程化为普通方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离 d，判定发现 d 小于圆的半径 r，又圆心不在已知直线上，则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心 【解答】 解：把圆的参数方程化为普通方程得：（ x 2） 2+（ y 1） 2=4， 圆心坐标为（ 2， 1），半径 r=2， 把直线的参数方程化为普通方程得： x y+1=0， 圆心到直线的距离 d= r=2， 又圆心（ 2， 1）不在直线 x y+1=0 上， 则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心 故选： D 7在平面直角坐标系中，若不等式组 （ a 为常数）表示的区域面积等于 1，则 a 的值为（ ） A B C D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件 的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于 2，构造关于 a 的方程，解方程即可得到答案 【解答】 解：不等式组 所围成的区域如图 示， 其面积为 1， A（ 2， 2a+1）， B（ 2， 0）， C（ 1， ）， D（ 1， a+1） =1， 解得 a= 故选： B 第 7 页（共 18 页） 8如图，已知平面 平面 =l， A、 B 是直线 l 上的两点， C、 D 是平面 内的两点，且 l， l， ， ， P 是平面 上的一动点，且有 四棱锥 P 积的最大值是（ ） A 48B 16C D 144 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分 析】 由面面垂直的性质可得 知 平面 内建立坐标系求出 P 点的轨迹，得出 P 到直线 l 的最大距离，得出棱锥的最大体积 【解答】 解： 平面 平面 =l， ， l， l， 面 ， 面 ， 平面 ， 平面 ， 面 ， 面 ， ，即 ， 以直线 l 为 x 轴， 中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 则 A（ 3， 0）， B（ 3， 0）设 P（ x， y），则 ， ， 2 = ，整理得（ x+5） 2+6（ y 0） P 点的轨迹为以（ 5， 0）为圆心，以 4 为半径的半圆 当 P 到直线 l 的距离 h=4 时，四棱锥 P 积取得最大值 棱锥的体积最大值为 V= = =48 故选： A 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 第 8 页（共 18 页） 9（ ） 6的展开式中 20 （用数字作答） 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的系数等于 3，求得 r 的值，即可求得展开式中 系数 【解答】 解：由于（ ） 6 的展开式的通项公式为 = 3r， 令 12 3r=3，解得 r=3，故展开式中 系数是 =20， 故答案为： 20 10抛物线 8x 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角形面积为 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近 线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：抛物线 8x 的准线为 x=2， 双曲线 的两条渐近线为 y= x， 可得两交点为（ 2， ），（ 2， ）， 即有三角形的面积为 22 =2 故答案为： 2 11已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 3+4 （单位： 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知几何体是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的表面积公式求出几何体的表面积 【解答】 解：根 据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面， 底面圆的半径是 1线长是 2 几何体的表面积 S=12+12+22=3+4（ 故答案为： 3+4 第 9 页（共 18 页） 12已知函数 f（ x） = ，则 = 1 ； f（ x）的最小值为 0 【考点】 函数的最值及其几何意义；函数的概念及其构成要素 【分析】 根据分段函数的表达式代入求解即可，根据基本不等式的性质以及函数的单调性的性质进行 求解即可 【解答】 解： f（ ） =， 则 f（ 1） =1+2 2=1，即 =1， 当 x1 时， f（ x） =x+ 22 2=2 2，当且仅当 x= ，即 x= 时取等号， 当 x 1 时， f（ x） =） ； 故函数 f（ x）的最小值为 0， 故答案为： 1， 0 13某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔 12 小时各服一次药，每次一片，每片 200 毫克假设该患者的肾脏每 12 小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的 50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过 400毫克时无明显副作用若该患者第一天上午 8 点第一次服药，则第二天上午 8 点服完药时，药在其体内的残留 量是 350 毫克，若该患者坚持长期服用此药 无 明显副作用（此空填 “有 ”或 “无 ”） 【考点】 数列与函数的综合 【分析】 由已知中，该药片每片 200 毫克，他的肾脏每 12 小时从体内滤出该药的 50%，我们可设该生第 n 次服药后，药在他体内的残留量为 克，由于上午 8 点第一次服药，则第 2 天上午服完药时共服了 3 次药，依次计算出 值，即可得到第 2 天上午服完药时，药在他体内还残留量；先考虑该运动员若长期服用此药，此药在体内残留量，与 400比照后，即可得到答案 【解答】 解：设该生第 n 次服药后，药在他体 内的残留量为 则： 00， 00+ 1 50%） =20000， 00+ 1 50%） =200+200350 故第二天早间，他第三次服空药后，药在他体内的残留量为 350 毫克 该运动员若长期服用此药，则此药在体内残留量为 =400（ 1 当n+时，药在体内残留量无限接近 400 长期服用此药，不会产生副作用， 即该生长期服用该药，不会产生副作用 故答案为： 350，无 第 10 页（共 18 页） 14设 空间中给定的 5 个不同的点，则使 成立的点 1 个 【考点】 空间向量的概念；空间向量的加减法 【分析】 分别设出 M 各点的坐标，得到向量 （ k=1， 2， 3， 4，5）的坐标， 根据加法的坐标运算代入题中的向量等式 =0，化简整理可得点 M 的坐标是唯一的 【解答】 解：设 再设 M（ a， b， c），则可得 =（ a， b， c）， =（ a， b， c）， =（ a， b， c）， =（ a， b， c）， =（ a， b， c）， = 成立， ， 解得 ， 因此，存在唯一的点 M，使 = 成立 故答案为： 1 三、解答题共 6小题，共 80分 算步骤或证明过程 . 15已知函数 ， xR 第 11 页（共 18 页） （ ）求函数 f（ x）的最大值； （ ）若 ，求函数 f（ x）的单调递增区间 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正 弦函数的图象 【分析】 （ ）由三角函数公式化简可得 f（ x） = 2x+ ），易得最值； （ ）解 求出函数的递增区间，取 的即可 【解答】 解：（ ）由三角函数公式化简可得 = = 2x+ ） 当 即 ， kz 时， ； （ ） 当 时， f（ x）递增， 即 ，令 k=0，且注意到 ， 函数 f（ x）的递增区间为 16在某班级举行的 “元旦联欢会 ”有奖答题活动中，主持人准备了 A， B 两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题 A 可获得 100 分，答对问题 B 可获得 200 分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题， 否则终止答题答题终止后，获得的总分决定获奖的等次若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对 A， B 问题的概率分别为 （ ）记甲先回答问题 A 再回答问题 B 得分为随机变量 ，求 的分布列和数学期望； （ ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ） 的可能取值为 0， 100， 300，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望 （ ）设先回答问题 B，再回答问题 A 得分为随机变量 ，则 的可能取值为 0， 200， 300分别求出相应的概率，由此能求出 的数学期望，由此能求出应先回答 A 所得分的期望值较高 【解答】 （本小题满分 13 分） 解：（ ） 的可能取值为 0， 100， 300 ， ， ， 第 12 页（共 18 页） 的分布列为： 0 100 300 P （ ）设先回答问题 B，再回答问题 A 得分为随机变量 ，则 的可能取值为 0， 200， 300 ， ， ， 的分布列为： 0 200 300 P 应先回答 A 所得分的期望值较高 17如图，在四棱锥 P ，等边 在的平面与正方形 在的平面互相垂直， O 为 中点， E 为 中点，且 （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 P A 的余弦值 ； （ ）在线段 是否存在点 M，使线段 在平面成 30角若存在， 求出 长，若不存在，请说明理由 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 【分析】 （ I）根据三线合一得出 用面面垂直的性质即可得出 平面 （ O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 平面 法向量，则两法向量夹角的余弦的绝对值为二面角的余弦值； （ 设存在符合条件的点 M（ 1， x， 0），求出平面 法向量 ，则 |， |= ，解方程得出 x，根据 x 的范围判断 【解答】 解：（ ） 等边三角形， O 为 中点， 平面 平面 面 面 D， 面 平面 （ ）取 中点 F， 底面 正方形， 两垂直 以 O 为原点，以 坐标轴建立空间直角坐标系如图： 则 O（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， ）， B（ 1， 2， 0）， E（ 1， 1， 0）， 第 13 页（共 18 页） =（ 1， 1， ）， =（ 2， 1， 0）， =（ 0， 0， ） 显然平面 法向量为 =（ 0， 0， ） 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， ，令 x=1，得 =（ 1， 2， ） = 3， | |=2 ， | |= ， = 二面角 P A 为锐角， 二面角 P A 的余弦值为 （ ）设在线段 存在点 M（ 1， x， 0）（ 0 x2）使线段 平面 在平面成30角， 平面 法向量为 =（ 0， 2， 0）， =（ 1， x， ）， ， = = = ，解得 ，符合题意 在线段 存在点 M，当线段 时， 平面 在平面成 30角 18已知函数 f（ x） = （ ）求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）设 g（ x） =x+t，若函数 h（ x） =f（ x） g（ x）在 上（这里 e有两个不同的零点，求实数 t 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出函数的导数，得到 f（ 1） 和 f（ 1）的值，代入直线方程即可； （ ）问题等价于 t=x 上恰有两个不同的实根，根据函数的单调性求出 第 14 页（共 18 页） 【解答】 解：（ ）函数定义域为（ 0， +）， f（ x） =2x ， f（ 1） =1， 又 f（ 1） =1， 所求切线方程为 y 1=x 1， 即： x y=0； （ ）函数 h（ x） =f（ x） g（ x） = x t 在 上恰有 两个不同的零点， 等价于 x t=0 在 上恰有两个不同的实根， 等价于 t=x 上恰有两个不同的实根， 令 k（ x） =x ， 当 时， k（ x） 0， k（ x）在 递减； 当 x（ 1， e时， k（ x） 0， k（ x）在（ 1， e递增， 故 x） =k（ 1） =1，又 ， ， ， ， 即 19已知椭圆 E： （ a b 0）的离心率 ，且点 在椭圆 E 上 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）直线 l 与椭圆 E 交于 A、 B 两点，且线段 垂直平分线经过点 求 O 为坐标原点）面积的最大值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得 a， b，进而得到椭圆方程； （ ）设 A（ B（ 讨论直线 斜率为 0 和不为 0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合基 本不等式和二次函数的最值的求法，可得面积的最大值 【解答】 解：（ ）由已