2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A= 1， 0， 1， B=y|y=x， x A，则 AB=（ ） A 0 B 2 C 0， 1 D 1， 0 2若平面向量 =（ m， 1）， =（ 2， 1），且（ 2 ） ，则 m=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3设 i 为虚数单位，已知 ，则 | |大小关系是（ ） A | |B |C | |D无法比较 4研究人员随机调查统计了某地 1000 名 “上班族 ”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图若同一 组数据用该区间的中点值作代表，则可估计该地 “上班族 ”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是（ ） A 时 B 时 C 时 D 时 5已知函数 f（ x） =列说法错误的是（ ） A f（ x）的最小正周期为 B x= 是 f（ x）的一条对称轴 C f（ x）在（ ， ）上单调递增 D |f（ x） |的值域是 0， 1 6直线 y=k（ x+1）（ k R）与不等式组 ，表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围是（ ） A 2， 2 B（ ， 2 2， +） C ， D（ ， ， +） 7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ） 第 2 页（共 21 页） A 4 B 2 C 6 D 4 8函数 f（ x） = ， 上的大致图象是（ ） A B C D 9已知 ，且 ，则 的值为（ ） A B C D 10已知 A， B， C 是球面上三点，且 ， ， 0，球心 O 到平面 距离等于该球半径的 ，则此球的表面积为（ ） A B C D 11过抛物线 p 0）的焦点 F，且倾斜角为 的直线与抛物线交于 A， B 两点，若弦 垂直平分线经过点（ 0， 2），则 p 等于（ ） A B C D 12已知 a 0，若函数 且 g（ x） =f（ x） +2a 至少有三个零点，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1 B（ 1， 2 C（ 1， +） D 1， +） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13下列四个函数中： y= ； y=x+1）； y= ； y= 在（ 0， +）上为减函数的是 （填上所有正确选项的序号） 第 3 页（共 21 页） 14甲、乙、丙、丁四支足球队举行 “贺岁杯 ”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比赛成绩是 15公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了 “割圆术 ”利用 “割 圆术 ”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 就是著名的 “徽率 ”如图是利用刘徽的 “割圆术 ”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为 （参考数据： 16在平面直角坐标系 ，已知 顶点 B（ 5， 0）和 C（ 5， 0），顶点 A 在双曲线 的右支上，则 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知等差数列 足 a1+， a2+2 （ ）求数列 前 n 项和为 （ ）若 + + = ，求 n 的值 18某房地产公司新建小区有 A、 B 两种户型住宅，其中 A 户型住宅每套面积为 100 平方米， B 户型住宅每套面积为 80 平方米该公司准备从两种户型住宅中各拿出 12 套销售给内部员工，表是这 24 套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元 /平方米）： 房号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 户型 户型 ）根据表格数据，完成下列茎叶图，并分别求出 A， B 两类户型住宅每平方米销售价格的中 位数； （ ）该公司决定对上述 24 套住房通过抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为 320 万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？ 第 4 页（共 21 页） 19如图，在三棱柱 ， C，且侧面 菱形， 0 （ ）求 证： （ ）若 该三棱柱的体积为 2 ，求 长 20在平面直角坐标系 ，椭圆 E 的中心在原点，经过点 A（ 0， 1），其左、右焦点分别为 =0 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）过点（ ， 0）的直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与圆 O： x2+y2=r 0）相切于点 Q，求 r 的值及 面积 21已知函数 f（ x） =ex+ax+b（ a， b R， e 是自然对数的底数）在点（ 0， 1）处的切线与 （ ）求 a， b 的值； （ ）若对一切 x R，关于 x 的不等式 f（ x） （ m 1） x+n 恒成立，求 m+n 的最大值 选修 4何证明选讲 22如图，在直角 ， D 为 上异于 B、 C 的一点，以 直径作 O，并分别交 点 E， F （ ）证明： C， E， F， D 四点共圆； （ ）若 D 为 中点，且 ， ，求 长 选修 4标系与参数方程 第 5 页（共 21 页） 23在平面直角坐标系 ，已知三圆 x2+， x+ ） 2+（ y 1） 2=4， 为参数）有一公共点 P（ 0， 2） （ ）分别求 于点 P 的公共点 M、 N 的直角坐标； （ ）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点 O、 M、 N 的圆 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x+a|+|x 3|（ a R） （ ）当 a=1 时，求不等式 f（ x） x+8 的解集； （ ）若函数 f（ x）的最小值为 5，求 a 的值 第 6 页（共 21 页） 2016 年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A= 1， 0， 1， B=y|y=x， x A，则 AB=（ ） A 0 B 2 C 0， 1 D 1， 0 【考点】 交集及其运算 【分析】 把 A 中元素代入 B 求出 y 的值，确定出 B，找出两集合的交集即可 【解答】 解：把 x= 1， 0， 1 代入得： y=2， 0，即 B=2， 0， A= 1， 0， 1， AB=0， 故选： A 2若平面向量 =（ m， 1）， =（ 2， 1），且（ 2 ） ，则 m=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 利用向量的共线的充要条件，列出方程求解即可 【解答】 解：平面向量 =（ m， 1）， =（ 2， 1），且（ 2 ） ， 可得 m 4=2（ 1）， 解得 m=2 故选： B 3设 i 为虚数单位，已知 ，则 | |大小关系是（ ） A | |B |C | |D无法比较 【考点】 复数求模 【分析】 利用复数的运算法则分别化简 利用模的计算公式即可得出 【解答】 解： = = = i， |1 ， | =1， 则 | 故选： B 4研究人员随机调查统计了某地 1000 名 “上班族 ”每天在工作之余使用手机上网的时间，并将其绘制为如图所示的频率分布直方图若同一组数据用该区间 的中点值作代表，则可估计该地 “上班族 ”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是（ ） 第 7 页（共 21 页） A 时 B 时 C 时 D 时 【考点】 频率分布直方图 【分析】 根据频率分布直方图，利用同一组数据所在区间的中点值乘以对应的频率，再求和即可 【解答】 解：根据频率分布直方图，得； 估计该地 “上班族 ”每天在工作之余使用手机上网的平均时间为 =2 1+2 3+2 5+2 7=时） 故选： C 5已知函数 f（ x） =列说法错误的是（ ） A f（ x）的最小正周期为 B x= 是 f（ x）的一条对称轴 C f（ x）在（ ， ）上单调递增 D |f（ x） |的值域是 0， 1 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 由三角函数公式化简可得 f（ x） =三角函数的性质逐个选项验证可得 【解答】 解： f（ x） = f（ x）的最小正周期 T= =，选项 A 正确； 由 2x=得 x= ， k Z， x= 是 f（ x）的一条对称轴，选项 B 正确； 由 2 2x 2可得 x ， 函数的单调递增区间为 ， ， k Z， C 错误； |f（ x） |=|故值域为 0， 1， D 正确 故选： C 6直线 y=k（ x+1）（ k R）与不等式组 ，表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围是（ ） 第 8 页（共 21 页） A 2， 2 B（ ， 2 2， +） C ， D（ ， ， +） 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出可行域， k 表示过定点（ 1， 0）的直线 y=k（ x+1）的斜率，数形结合可得 【解答】 解：作出不等式组 所对应的可行域（如图 k 表示过定点（ 1， 0）的直线 y=k（ x+1）的斜率， 数形结合可得当直线经过点 A（ 0， 2）时 ，直线的斜率取最大值 2， 当直线经过点 B（ 0， 2）时，直线的斜率取最小值 2， 故选： A 7如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ） A 4 B 2 C 6 D 4 【考点】 由三视图还原实物图 【分析】 根据几何体的三视图还原几何体形状，由题意解答 【解答】 解：由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥，如图： 由网格可得 长为 = ； 故答案为： 第 9 页（共 21 页） 8函数 f（ x） = ， 上的大致图象是（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究函数的单调性；余弦函数的图象 【分析】 根据奇偶函数图象的对称性排除 A、 C；利用特殊点排除 D，从而得到答案 【解答】 解：由 f（ x） =奇函数知，其图象关于原点对称，排除 A、 C； 又 f（ ） = 0，故排除 D； 故选 B 9已知 ，且 ，则 的值为（ ） A B C D 【考点】 同角三角函数基本关系的 运用 【分析】 利用两角和的正弦函数公式化简已知可得 ） = ，从而可得 ） = ，结合 的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求值得解 【解答】 解：因为： ， 所以： ） = ， 所以： ） = 又因为： ，可得： ， 第 10 页（共 21 页） 所以： = ， 解得： 故选： A 10已知 A， B， C 是球面上三点，且 ， ， 0，球心 O 到平面 距离等于该球半径的 ，则此球的表面积为（ ） A B C D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 求出三角形 外心，利用球心到 在平面的距离为球半径的一半，求出球的半径，即可求出球的表面积 【解答】 解：由题意 ， ， 0， 62+82=102，可知三角形是直角三角形， 三角形的外心是 中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离， 设球的半径为 R，球心到 在平面 的距离为球半径的一半， 所以 R） 2+52， 解得 ， 球的表面积为 4 故选： C 11过抛物线 p 0）的焦点 F，且倾斜角为 的直线与抛物线交于 A， B 两点，若弦 垂直平分线经过点（ 0， 2），则 p 等于（ ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 可以求出抛物线的焦点坐标，从而可以写出弦 在直线方程为 ，可设A（ B（ 直线 方程和抛物线方程联立消去 x 可得到关于 y 的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦 中点坐标为 ，而弦 垂直平分线方程可写出为 y 2= x，弦中点坐标带入该方程便可求出 p 的值 【解答】 解： ，过焦点 F 且倾斜角为 的直线方程为： ，设 A（ B（ 由 得， 2； 第 11 页（共 21 页） y1+p， x1+p； 弦 中点坐标为 ； 弦 垂直平分线方程为 y 2= x，弦 中点在该直线上； ； 解得 故选： C 12已知 a 0，若函数 且 g（ x） =f（ x） +2a 至少有三个零点，则 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1 B（ 1， 2 C（ 1， +） D 1， +） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 把函数零点问题转化为方程根的问题，然后画出 a=1 及 a=2 时的分段函数的简图，由图判断 a=1 及 a=2 时满足题意，结合选项得答案 【解答】 解：函数 g（ x） =f（ x） +2a 的零点的个数等价于方程 f（ x） = 2a 根的个数， 即函数 y=f（ x）的图象与直线 y= 2a 交点的个数，利用特殊值验证法： 当 a=1 时， y=f（ x）的图象如图： 满足题意； 当 a=2 时， y=f（ x）的图象如图： 满足题意 结合选项可知， a 的范围是 D 第 12 页（共 21 页） 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13下列四个函数中： y= ； y=x+1）； y= ； y= 在（ 0， +）上为减函数的是 （填上所有正确选项的序号） 【考点】 函数单调性的判断与证 明 【分析】 根据单调性的定义，对数函数和指数函数的单调性，以及不等式的性质即可判断每个函数在（ 0， +）上的单调性，从而写出在（ 0， +）上为减函数的序号 【解答】 解： x （ 0， +）； x 增大时， 增大， 减小，即 y 减小， 该函数在（ 0， +）上为减函数； x 增大时， x+1 增大， x+1）增大，即 y 增大， 该函数在（ 0， +）上为增函数； x 增大时， x+1 增大， 减小， 增大， 该函数在（ 0， +）上为增函数； x 增大时， x 1 增大， 减小，即 y 减小， 该函数在（ 0， +）上为减函数； 在（ 0， +）上为减函数的是 故答案为： 14甲、乙、丙、丁四支足球队举行 “贺岁杯 ”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比 赛成绩是 全胜 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 根据题意可得，共有 6 胜 6 负，由甲，乙，丙的成绩，运用补集思想即可求出丁的成绩 【解答】 解：由题意可得，甲、乙、丙、丁四支足球队举行 “贺岁杯 ”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负，则共需进行 =6 场， 每场都会产生胜方和负方， 比赛共产生 6 胜 6 负， 甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，已有 3 胜 6 负， 丁队的比赛成绩是全胜，即 3 胜 故答案为：全 胜 15公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了 “割圆术 ”利用 “割圆术 ”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 就是著名的 “徽率 ”如图是利用刘徽的 “割圆术 ”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为 24 （参考数据： 第 13 页（共 21 页） 【考点】 程序框图 【分析】 列出循环过程中 S 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环 【解答】 解：模拟执行程序，可得 n=6， S=3 ， 不满足条件 S n=12， S=6 3， 不满足条件 S n=24， S=12 12 满足条件 S 出循环，输出 n 的值为 24 故答案为： 24 16在平面直角坐标系 ，已知 顶点 B（ 5， 0）和 C（ 5， 0），顶点 A 在双曲线 的右支上 ，则 = 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 首先由正弦定理，有 = ，进而根据双曲线的几何性质，可得|2c=4， | |2a=6，代入 ，即可得到答案 【解答】 解：根据正弦定理：在 ，有 = ， 又由题意 C、 B 分别是双曲线 的左、右焦点， 则 |2c=10， 且 顶点 A 在双曲线的右支上， 又可得 | |2a=6， 则 = = = 故答案为： 第 14 页（共 21 页） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知等差数列 足 a1+， a2+2 （ ）求数列 前 n 项和为 （ ）若 + + = ，求 n 的 值 【考点】 数列的求和；等差数列的前 n 项和 【分析】 （ ）通过 a1+， a2+2 与等差中项的性质可知 ， ，进而可知公差及首项，利用等差数列的求和公式计算即得结论； （ ）通过（ I）裂项可知 = ，进而并项相加并与已知条件比较即得结论 【解答】 解：（ ） a1+， a2+2， ， ， 等差数列 公差 d= 4=2， 首项 a1=d=4 2=2， 数列 首项、公差均为 2 的等差数列， 于是其前 n 项和为 =n（ n+1）； （ ）由（ I）可知， = = ， + + =1 + + = ， 又 + + = ， = ，即 n=999 18某房地产公司新建小区有 A、 B 两种户型住宅，其中 A 户型住宅每套面积为 100 平方米， B 户型住宅每套面积为 80 平方米该公司准 备从两种户型住宅中各拿出 12 套销售给内部员工，表是这 24 套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元 /平方米）： 房号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 户型 户型 ）根据表格数据，完成下列茎叶图，并分别求出 A， B 两类户型住宅每平方米销售价格的中位数； （ ）该公司决定对上述 24 套住房通过 抽签方式销售，购房者根据自己的需求只能在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号，每位购房者只有一次抽签机会小明是第一位抽签的员工，经测算其购买能力最多为 320 万元，抽签后所抽得住房价格在其购买能力范围内则确定购买，否则，将放弃此次购房资格为了使其购房成功的概率更大，他应该选择哪一种户型抽签？ 第 15 页（共 21 页） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图 【分析】 （ ）由表格数据，能作出茎叶图，并能求出 A， B 两类户型住宅每平方米销售价格的中位数 （ ） 若选择 A 户型抽签，求出成功购房的概率；若选择 B 户型抽签，求出成功购房的概率由此得到该员工选择购买 A 户型住房的概率较大 【解答】 解：（ ）由表格数据，作出茎叶图： A 户型销售价格的中位数是 = B 户型销售价格的中位数是 = （ ）若选择 A 户型抽签，则每平方米均价不得高于 元， 有能力购买其中的 8 套住房， 成功购房的概率是 = ， 若选择 B 户型抽签，每平方米均价不得高于 元，有能力购买其中的 6 套住房， 成功购房的概率是 ， ， 该员工选择购买 A 户型住房的概率较大 19如图，在三棱柱 ， C，且侧面 菱形， 0 （ ）求证： （ ）若 该三棱柱的体积为 2 ，求 长 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 第 16 页（共 21 页） 【分析】 （ I）取 点 M，连结 C 得 菱形和等边三角形的性质得出 平面 而 （ 用勾股定理的逆定理得出 而 平面 而 棱柱的高，根据棱柱的体积列方程解 出 【解答】 解：（ I）取 点 M，连结 C， M 是 中点， 侧面 菱形， 0， 又 面 面 1M=M， 平面 面 （ AB=x，则 AC=x， x， M 是 中点， ， ， ， 又 ， 1 由（ I）知 面 面 C=M， 平面 V = = ， x=2，即 20在平面直角坐标系 ，椭圆 E 的中心在原点，经过点 A（ 0， 1），其左、右焦点分别为 =0 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）过点（ ， 0）的直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与圆 O： x2+y2=r 0）相切于 点 Q，求 r 的值及 面积 【考点】 椭圆的简单性质 第 17 页（共 21 页） 【分析】 （ ）设椭圆 E 的方程为 =1（ a b 0），由椭圆 E 经过点 A（ 0， 1）， =0，求出 a， b，由此能求出椭圆 E 的方程 （ ）设直线 l： y=k（ x+ ），联立 ，得（ 2） x+62=0，由此利用根的判别式、直线与圆相切、两点间距离公式，结合已知条件能求出 r 的值及 面积 【解答】 解：（ ） 在平面直角坐标系 ，椭圆 E 的中心在原点，其左、右焦点分别为 设椭圆 E 的方程为 =1（ a b 0）， 椭圆 E 经过点 A（ 0， 1）， b=1， =0，且 b=c=1， +1=2， 椭圆 E 的方程是 （ ）设直线 l： y=k（ x+ ），联立 ， 整理，得（ 2） x+62=0， ， 直线 l 与椭圆相切， =0，解得 k= 1， 代入方程 中，得到 ，解得 x= ， 代入直线 l 的方程中，得 y= ，即 P（ ， ）， 又 直线 l 与圆 x2+y2=切， r= = = ， | = ， | = = ， S 第 18 页（共 21 页） 21已知函数 f（ x） =ex+ax+b（ a， b R， e 是自然对数的底数）在点（ 0， 1）处的切线与 （ ）求 a， b 的值； （ ）若对一切 x R，关于 x 的不等式 f（ x） （ m 1） x+n 恒成立，求 m+n 的最大值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）根据导数的几何意义，建立方程关系即可求 a， b 的值； （ ）将不等式恒成立进行转化，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性，极值和最值与导数的关系进行求解即可 【解答】 解：（ ）函数的导数 f（ x） =ex+a， 函数 f（ x）在点（ 0， 1）处 的切线与 x 轴平行， f（ 0） =0， 即 f（ 0） =e0+a=1+a=0，则 a= 1， 又 f（ 0） =1+b=1，则 b=0； （ ）由（ ）知， f（ x） =x， 则不等式 f（ x） （ m 1） x+n 恒成立等价为 mx+n， 即 n 0， 设 g（ x） =n，则 g（ x） =m， 当 m 0 时， g（ x） 0 恒成立，则 g（ x）在 R 上递增，没有最小值，故不成立， 当 m 0 时，由 g（ x） =0 得 x= 当 g（ x） 0 时，得 x g（ x） 0 时，得 x 即当 x=，函数取得最小值 g（ =n=m n 0， 即 m n， 2m m+n， 令 h（ m） =2m h（ m） =1 令 h（ m） =0 得 m=e， 当 0 m e 时， h（ m）单调递增，当 m e 时， h（ m）单调递减， 故当 m=e 时， h（ m）取得最大值 h（ e） =e， e m+n， 故 m+n 的最大值为 e 选修 4何证明选讲 22如图，在直角 ， D 为 上异于 B、 C 的一点，以 直径作 O，并分别交 点 E， F （ ）证明： C， E， F， D 四点共圆； （ ）若 D 为 中点，且 ， ，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定 第 19 页（共 21 页） 【分析】 （ ）连结 明 O 是直径，推出 C，然后证明 C， E，F， D 四点共圆 （ ）利用切割线定理求解 用 C、 E、 F、 D 四点共圆，得到 C=D，然后求解 【解答】 （ ）证明：连结 为 O 是直径， 所以， 因为 C， 所以 C，即 C=180， C， E， F， D 四点共圆 （ ）解：因为 直径， 所以， 圆的切线， F，即 ， 所以， =2 ， 因为 D 为 中