陕西省咸阳市2015-2016年高二下期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 15 页） 2015年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1若复数 z=i（ 1 2i）（ i 为虚数单位），则 =（ ） A 1 2i B 1+2i C 2+i D 2 i 2设 a=n（ n 1）（ n 2） （ n 50），则 a 可表示为（ ） A B C D 3下列函数求导正确的是（ ） A（ = （ =（ 2x） =x2x 1 D（ ） = 4微积分基本定理：一般的，如果 f（ x）是区间 a， b上的连续函数，并且 F（ x） =f（ x），那么 f（ x） ） A F（ a） F（ b） B F（ b） F（ a） C F（ a） F（ b） D F（ b） F（ a） 5要证明不等式 + 2 ，可选择的方法有（ ） A分析法 B综合法 C反证法 D以上三种方法均可 6一批种子的发芽率为 80%，现播下 100 粒该种种子，则发芽的种子数 X 的均 值为（ ） A 60 B 70 C 80 D 90 7（ 1 2x） 4 展开式中含 x 项的系数（ ） A 32 B 4 C 8 D 32 8某市 16 个交通路段中，在早高峰期间与 7 个路段比较拥堵，现从中任意选 10 个路段，用 X 表示这 10 个路段中交通比较拥堵的路段数，则 P（ X=4） =（ ） A B C D 9实数 x， y 满足（ 1+i） x+（ 1 i） y=2，设 z=x+下列说法错误的是（ ） A z 在复平面内对应的点在第一象限 B |z|= C z 的虚部是 i D z 的实部是 1 10把一枚硬币连续抛掷两次，事件 A=“第一次出现正面 ”，事件 B=“第二次出现正面 ”，则P（ B|A）等于（ ） A B C D 第 2 页（共 15 页） 11观察下列各式： =2 ， =3 ， =4 ， ，若=9 ，则 m=（ ） A 80 B 81 C 728 D 729 12已知函数 f（ x）为偶函数，且当 x 0 时， f（ x） =（ x 1）（ x 2），则下列关系一定成立的是（ ） A f（ 1） f（ 2） B f（ 0） f（ 1） C f（ 2） f（ 1） D f（ 1） f（ 2） 二、填空题：每小题 5 分，共 20 分 13若随机变量 X 的分布列为 P（ X=i） = （ i=1， 2， 3， 4），则 P（ X 2） = 14据气象部门的统计，浙江沿海某市下雨的概率为 雨天时湿度大于 70%该市既下雨同时湿度在 70%以上的概率为 15函数 f（ x） =x 在 x=1 处取得极值，则 a 的值为 16一家 5 口春节回老家探亲，买到了如下图的一排 5 张车票： 其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排 方式一共有 种 三、解答题：共 70 分 17已知函数 f（ x） =9x+3求： （ ） f（ x）的单调递增区间； （ ） f（ x）的极值 18从 4 名男生， 3 名女生中选出三名代表， （ 1）不同的选法共有多少种？ （ 2）至少有一名女生的不同的选法共有多少种？ （ 3）代表中男、女生都有的不同的选法共有多少种？ 19已知数列 ， ， （ n 2， n N+） （ ）求 值，并猜想数列 通项公式 （ ）用数学归纳法证明你猜想的结论 20 指空气中直径小于或等于 米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）为了探究车流量与 浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 50 51 54 57 58 浓度 y（微克 /立方米） 69 70 74 78 79 （ 1）根据上表数据，请在如图坐标系中画出散点图； （ 2）根据上表 数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ；（保留 2 位小数） 第 3 页（共 15 页） （ 3）若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试根据（ 2）求出的线性回归方程预测，此时 留整数）？ 参考公式： = ， = 21为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取 5 名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于 120 分时为优秀成绩 （ 1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率； （ 2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取 2 名学生的成绩，记获优秀成绩的总人数为 X，求 X 的分布列 22已知函数 f（ x） = +x 在 x=1 处的切线方程为 2x y+b=0 （ ）求实数 a， b 的值； （ ）设函数 g（ x） =f（ x） + g（ x）在其定义域上存在单调递减区间（即 g（ x） 0 在其定义域上有解），求实数 k 的取值范围 第 4 页（共 15 页） 2015年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1若复数 z=i（ 1 2i）（ i 为虚数单位），则 =（ ） A 1 2i B 1+2i C 2+i D 2 i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解：复数 z=i（ 1 2i） =i+2，则 =2 i 故选： D 2设 a=n（ n 1）（ n 2） （ n 50），则 a 可表示为（ ） A B C D 【考点】 组合及组合数公式 【分析】 由已知直接利用排列数公式求解 【解答】 解：由排列数公式，得： a=n（ n 1）（ n 2） （ n 50） = 故选： A 3下列函数求导正确的是（ ） A（ = （ =（ 2x） =x2x 1 D（ ） = 【考点】 导数的运算 【分析】 根据基本导数公式判断即可 【解答】 解：（ = = 2x） =x，（ ） = ， 故选： D 4 微积分基本定理：一般的，如果 f（ x）是区间 a， b上的连续函数，并且 F（ x） =f（ x），那么 f（ x） ） A F（ a） F（ b） B F（ b） F（ a） C F（ a） F（ b） D F（ b） F（ a） 【考点】 微积分基本定理 【分析】 直接利用微积分基本定理，可得结论 【解答】 解：微积分基本定理：一般的，如果 f（ x）是区间 a， b上的连续函数，并且 F（ x） =f（ x），那么 f（ x） （ b） F（ a） 第 5 页（共 15 页） 故选： B 5要证明不等式 + 2 ，可选择的方法有（ ） A分析法 B综合法 C反证法 D以上三种方法均可 【考点】 综合法与分析法 (选修） 【分析】 利用三种方法，给出不等式的证明，即可得出结论 【解答】 解：用分析法证明如下：要证明 + 2 ， 需证（ + ） 2 （ 2 ） 2， 即证 10+2 20， 即证 5，即证 21 25，显然成立， 故原结论成立 综合法 ： （ + ） 2（ 2 ） 2=10+2 20=2（ 5） 0， + 2 反证法：假设 + 2 通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论 从以上证法中，可知三种方法均可 故选： D 6一批种子的发芽率为 80%，现播下 100 粒该种种子，则发芽的种子数 X 的均值为（ ） A 60 B 70 C 80 D 90 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 种子要么发芽，要么不发芽，符合二项分布 X B，代入 E（ X） =出即可 【解答】 解： 100 80%=80， 发芽的种子数 X 的均值为 80， 故选： C 7（ 1 2x） 4 展开式中含 x 项的系数（ ） A 32 B 4 C 8 D 32 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用二项展开式的通项求出二项式展开式的通项，令通项中 x 的指数为 1 求出 r 的值，将 r 的值代入通项求出 4 展开式中含 x 项的系数 【解答】 解：（ 1 2x） 4 展开式的通项为 =（ 2） r=1 得展开式中含 x 项的系数为 2 8 故选 C 8某市 16 个交通路段中，在早高峰期 间与 7 个路段比较拥堵，现从中任意选 10 个路段，用 X 表示这 10 个路段中交通比较拥堵的路段数，则 P（ X=4） =（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 第 6 页（共 15 页） 【分析】 由题意本题是一个超几何分布的问题， P（ X=4）即取出的 10 个村庄中交通不方便的村庄数为四，由公式算出概率 即可 【解答】 解：由题意 P（ X=4） = ， 故选： A 9实数 x， y 满足（ 1+i） x+（ 1 i） y=2，设 z=x+下列说法错误的是（ ） A z 在复平面内对应的点在第一象限 B |z|= C z 的虚部是 i D z 的实部是 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把（ 1+i） x+（ 1 i） y=2，化为 x+y 2+（ x y） i=0，利用复数相等的充要条件，求出 x， y 的值，则 z=1+i，再由复数的基本概念逐个判断得答案 【解答】 解：实数 x， y 满足（ 1+i） x+（ 1 i） y=2， 化为 x+y 2+（ x y） i=0， ，解得 x=y=1 则 z=x+i 对于 A， z 在复平面内对应的点的坐标为：（ 1， 1），位于第一象限，故 A 正确 对于 B， |z|= ，故 B 正确 对于 C， z 的虚部是： 1，故 C 错误 对于 D， z 的实部是： 1，故 D 正确 故选： C 10把一枚硬币连续抛掷 两次，事件 A=“第一次出现正面 ”，事件 B=“第二次出现正面 ”，则P（ B|A）等于（ ） A B C D 【考点】 条件概率与独立事件 【分析】 本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是 ，第一次出现正面且第二次也出现正面的概 率是 ，代入条件概率的概率公式得到结果 【解答】 解：由题意知本题是一个条件概率， 第一次出现正面的概率是 ， 第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是 ， 第 7 页（共 15 页） P（ B|A） = 故选 A 11观察下列各式： =2 ， =3 ， =4 ， ，若=9 ，则 m=（ ） A 80 B 81 C 728 D 729 【考点】 归纳推理 【分析】 观察每个等式可以发现每个被开方数的分数部分的分母是分子的立方减去 1 所得，从而可求 m 【解答】 解： =2 =2 ， =3 ， ， =4 =4 ， ， 所以 ， 所以 =9 =9 ， 所以 m=93 1=729 1=728； 故选 C 12已知函数 f（ x）为偶函数，且当 x 0 时， f（ x） =（ x 1）（ x 2），则下列关系一定成立的是（ ） A f（ 1） f（ 2） B f（ 0） f（ 1） C f（ 2） f（ 1） D f（ 1） f（ 2） 【考点】 导数的运算 【分析】 根据导数和函数单调性的关系吗，求出函数的单调区间，再根据偶函数的性质即可判断 【解答】 解：当 f（ x） 0 时，即（ x 1）（ x 2） 0 解得 0 x 1 或 x 2，函数单调递增， 当 f（ x） 0 时，即（ x 1）（ x 2） 0 解得 1 x 2，函数单调递减， f（ x）在（ 0， 1）和（ 2， +）单调递增，在（ 1， 2）上单调递减， 第 8 页（共 15 页） f（ 1） f（ 2）， f（ 0） f（ 1） =f（ 1）， f（ 2） =f（ 2） f（ 1）， f（ 1） =f（ 1） f（ 2）， 故选： C 二、填空题：每小题 5 分，共 20 分 13若随机变量 X 的分布列为 P（ X=i） = （ i=1， 2， 3， 4），则 P（ X 2） = 【考点】 离散型随机变量及其分布列 【分析】 由已知得 P（ X 2） =P（ X=3） +P（ X=4），由此能求出结果 【解答】 解： 随机变量 X 的分布列为 P（ X=i） = （ i=1， 2， 3， 4）， P（ X 2） =P（ X=3） +P（ X=4） = = 故答案为： 14据气象部门的统计，浙江沿海某市下雨的概率为 雨天时湿度大于 70%该市既下雨同时湿度在 70%以上的概率为 【考点】 相互独立事件的概率乘法公式 【分析】 根据题意，某一天浙江沿海某市下雨的概率为 雨天时湿度大于 70%的概率为 而根据根据相互独立事件概率的乘法公式可得答案 【解答】 解：根据题意，浙江沿海某市下雨的概率为 雨天时湿度大于 70% 根据相互独立事件概率的乘法公式可得， 故该市既下雨同时湿度在 70%以上的概率 故答案为： 15函数 f（ x） =x 在 x=1 处取得极值，则 a 的值为 1 【考点】 函数在某点取得极值的条件 【分析】 由题意得求出函数的导数 f（ x） = +1，因为函数 f（ x） =x 在 x=1 处取得极值，所以 f（ 1） =0 进而可以求出答案 【解答】 解：由题意得 f（ x） = +1 因为函数 f（ x） =x 在 x=1 处取得极值， 所以 f（ 1） =0，即 a+1=0，所以 a= 1 故答案为 1 16一家 5 口春节回老家探亲，买到了如下图的一排 5 张车票： 其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有 30 种 第 9 页（共 15 页） 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 有题意需要分两类，第一类，当爷爷在 6 排 D 座时，第二 类，当爷爷在 6 排 C 座时，再排小孙女，最后排其他人，根据分类计数原理可得 【解答】 解：第一类，当爷爷在 6 排 D 座时，再排小孙女，最后排其他人，共有 =18种， 第二类，当爷爷在 6 排 C 座时，再排小孙女，最后再排其他人，共有 =12 种， 根据分类计数原理共有 18+12=30 种， 故答案为： 30 三、解答题：共 70 分 17已知函数 f（ x） =9x+3求： （ ） f（ x）的单调递增区间； （ ） f（ x）的极值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）可求导数得到 f（ x） =3x 9，而通过解 f（ x） 0 即可得出函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）根据 x 的取值可以判断导数符号，这样由极值的概念便可得出函数 f（ x）的极值 【解答】 解：（ ） f（ x） =3x 9，解 f（ x） 0 得： x 1，或 x 3； f（ x）的单调递增区间为（ ， 3， 1， +）； （ ） x 3 时， f（ x） 0， 3 x 1 时， f（ x） 0， x 1 时， f（ x） 0； x= 3 时 f（ x）取极大值 30， x=1 时， f（ x）取极小值 2 18从 4 名男生， 3 名女生中选出三名代表， （ 1）不同的选法共有多少种？ （ 2）至少有一名女生的不同的选法共有多少种？ （ 3）代表中男、女生都有的不同的选法共有多少种？ 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 （ 1）根据题意，要从 7 人中选出 3 名代表，由组合数公式可得答案； （ 2）至少有一名女生包括 3 种情况， 、有 1 名女生、 2 名男生， 、有 2 名女生、 1 名男生， 、 3 名全是女生，由组合数公式可得每种情况的选法数目，由分类计数原理 计算可得答案； （ 3）由（ 1）可得，从 7 人中选出 3 人的情况有 ，从中排除选出的 3 人都是男生的情况与选出的 3 人是女生的情况，即可得答案 【解答】 解：（ 1）根据题意，共有 7 人，要从中选出 3 名代表，共有选法 种； （ 2）至少有一名女生包括 3 种情况， 、有 1 名女生、 2 名男生，有 情况， 、有 2 名女生、 1 名男生，有 情况， 、 3 名全是女生，有 情况， 则至少有一名女生的不同选法共有 种； 第 10 页（共 15 页） （ 3）由（ 1）可得，从 7 人中选出 3 人的情况有 ， 选出的 3 人都是男生的情况有 ， 选出的 3 人是女生的情况有 ， 则选出的 3 人中，男、女生都要有的不同的选法共有 种 19已知数列 ， ， （ n 2， n N+） （ ）求 值，并猜想数列 通项公式 （ ） 用数学归纳法证明你猜想的结论 【考点】 数学归纳法；归纳推理 【分析】 （ ）由题意 ， （代入计算，可求 ，并根据规律猜想出数列 通项公式； （ ）检验 n=1 时等式成立，假设 n=k 时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 【解答】 解：（ ） ， ， = ， = ， = ， 猜想： ， （ ）： 当 n=1 时，猜想成立， 假设 n=k（ k N*）时猜想 成立，即 那么 n=k+1 时， = = = 当 n=k+1 时猜想仍成立 根据 ，可以断定猜想对任意的 n N*都成立 20 指空气中直径小于或等于 米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）为了探究车流量与 浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间 段车流量与 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 50 51 54 57 58 浓度 y（微克 /立方米） 69 70 74 78 79 （ 1）根据上表数据，请在如图坐标系中画出散点图； 第 11 页（共 15 页） （ 2）根据上表数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ；（保留 2 位小数） （ 3）若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试根据（ 2）求出的线性回归方程预测，此时 留整数）？ 参考公式： = ， = 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ 1）利用描点法可得数据的散点图； （ 2）根据公式求出 b， a，可写出线性回归 方程； （ 3）根据（ 2）的性回归方程，代入 x=25 求出 浓度 【解答】 解：（ 1）散点图如图所示 （ 2） ， ， =64，=50， 第 12 页（共 15 页） ， ， 故 y 关于 x 的线性回归方程是： 8 （ 3）当 x=， y=25+37 所以可以预测此时 浓度约为 37 21为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取 5 名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于 120 分时为优秀成绩 （ 1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率； （ 2）从甲、乙两 个班级的样本中分别抽取 2 名学生的成绩，记获优秀成绩的总人数为 X，求 X 的分布列 【考点】 离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图 【分析】 （ 1）由茎叶图知甲班样本的 5 个数据中优秀成绩有 2 个，非优秀成绩有 3 个，由此能求出从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，其中只有一个优秀成绩的概率 （ 2）由茎叶图知甲班样本的 5 个数据中优秀成绩有 2 个，非优秀成绩有 3 个，乙班样本的5 个数据中优秀成绩有 1 个，非优秀成绩有 4 个， X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列 【解答】 解：（ 1）由