宝鸡市渭滨区2015-2016年高二下期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 11 页） 2015年陕西省宝鸡市渭滨区高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 . 1 i 为虚数单位，复平面内表示复数 z=（ 2 i）（ 3+i）的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 3 9 岁小孩的身高与年龄的回归模型 y=4，用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高，则正确的叙述是（ ） A身高一定是 146身高在 146上 C身高在 146下 D身高在 146右 3已知随机变量 X 服从二项 分布 X B（ 6， ），则 值为（ ） A 3 B C D 1 4把一枚硬币任意抛掷两次，事件 A=“至少一次出现反面 ”，事件 B=“恰有一次出现正面 ”，则 P（ B|A） =（ ） A B C D 5曲线 y= M（ 的切线斜率为 1，则此切线方程是（ ） A y= x 2 B y= x 1 C y= x+1 D y= x 6从 0， 1， 2， 3， 4 中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中奇数有（ ） A 18 个 B 27 个 C 36 个 D 60 个 7（ + ） 4 展开式中所有项的系 数和为（ ） A 16 B 32 C 64 D 81 8若 f（ x） = （ x 2） 2+（ 1， 2）上单调递减，则 m 的取值范围是（ ） A（ ， 0 B（ ， 1） C（ 0， +） D（ 1， +） 9若 f（ x） = 的值为（ ） A 3e B 3e C 2e D 2e 10已知复数 z 满足 |z i|+|z+i|=3（ i 是虚数单位），若在复平面内复数 z 对应的点为 Z，则点 Z 的轨迹为（ ） A直线 B双曲线 C抛物线 D椭圆 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分 .） 11 04|x 2| 12在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1： 2，则它们的面积比为 1： 4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1： 2，则它们的体积比为 13函数 f（ x） =ex+x 在 1， 1上的最大值是 14函数 f（ x） =5x 2 在 x=3 处有极值，则函数的递减区间 为 第 2 页（共 11 页） 15马路上哟编号 1， 2， 3， ， 10 共 10 盏灯，现要关掉其中的四盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有 种 三、解答题（共 40 分） . 16求证： （ a 3） 17已知函数 f（ x） =3x； （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）求 f（ x）在区间 3， 2上的最值 18甲乙丙三人在进行一项投掷骰子游戏中规定：若掷出 1 点，甲得 1 分，若掷出 2 点或 3点，乙得 1 分；若掷出 4 点或 5 点或 6 点，丙得 1 分，前后共掷 3 次，设 x， y， z 分别表示甲、乙、丙三人的得分 （ 1）求 x=0， y=1， z=2 的概率； （ 2）记 =x+z，求随机变量 的概率分布列和数学期望 19已知函数 f（ x） = x3+，（ a R） （ 1）若 f（ x）图象上横坐标为 1 的点处存在垂直于 y 轴的切线，求 a 的值； （ 2）若 f（ x）在区间（ 1， 2）内有两个不同的极值点，求 a 取值范围； （ 3）当 a=1 时，是否存在实数 m，使得函数 g（ x） =5 2 m） 的图象于函数f（ x）的图象恰有三个不同的交点，若存在，试求出实数 m 的值；若不存在，说明理由 第 3 页（共 11 页） 2015年陕西省宝鸡市渭滨区高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 . 1 i 为虚数单位，复平面内表示复数 z=（ 2 i）（ 3+i）的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【 考点】 复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行求解即可 【解答】 解： z=（ 2 i）（ 3+i） = 5 5i， 对应的点的坐标为（ 5， 5），位于第三象限， 故选： C 2 3 9 岁小孩的身高与年龄的回归模型 y=4，用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高，则正确的叙述是（ ） A身高一定是 146身高在 146上 C身高在 146下 D身高在 146右 【考点】 线性回归方程 【分析】 根据回归 模型为 y=4，将 x=10 代入即可得到预测值 【解答】 解：根据回归模型为 y=4，可得当 x=10 时， y=146可预测 10 岁时的身高在 146右 故选： D 3已知随机变量 X 服从二项分布 X B（ 6， ），则 值为（ ） A 3 B C D 1 【考点】 二项分布与 n 次独立重复试验的模型 【分析】 根 据随机变量 X 服从二项分布 X B（ n， p）， EX=算即可 【解答】 解：随机变量 X 服从二项分布 X B（ 6， ）， 所以 EX= = 故选： B 4把一枚硬币任意抛掷两次，事件 A=“至少一次出现反面 ”，事件 B=“恰有一次出现正面 ”，则 P（ B|A） =（ ） A B C D 【考点】 条件概率与独立事件 【分析】 由题意，先计算 P（ P（ A），再利用条件概率公式，即可求得结论 第 4 页（共 11 页） 【解答】 解：事件 A=“至少一次出现反面 ”，事件 B=“恰有一次出现正面 ”， 则 P（ A） = ， P（ = ， P（ B|A） = = = ， 故选： C 5曲线 y= M（ 的切线斜率为 1，则此切线方程是（ ） A y= x 2 B y= x 1 C y= x+1 D y= x 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标，进而得到切点坐标，由点斜式方程可得切线的方程 【 解答】 解： y=导数为 y= 2x，（ x 0）， 可得在 M（ 的切线斜率为 2 1， 解得 （ 舍去）， 可得切点为（ 1， 1）， 即有切线的方程为 y+1=（ x 1）， 即为 y= x 故选： D 6从 0， 1， 2， 3， 4 中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中奇数有（ ） A 18 个 B 27 个 C 36 个 D 60 个 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 先从 1， 3 中选一个为个位数字，再剩下的 3 个（不包含 0）取 1 个为百位，再从剩下 3 个（包含 0）取一个为十位，根据分步计数原理可得 【解答】 解：先从 1， 3 中选一个为个位数字，再剩下的 3 个（不包含 0）取 1 个为百位，再从剩下 3 个（包含 0）取一个为十位，故有 2 3 3=18 个， 故答案为： 18 7（ + ） 4 展开式中所有项的系数和为（ ） A 16 B 32 C 64 D 81 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 令 x=1，即可得出（ + ） 4 展开式中所有项的系数和 第 5 页（共 11 页） 【解答】 解：令 x=1，则（ + ） 4 展开式中所有项的系数和 =（ 1+2） 4=81 故选： D 8若 f（ x） = （ x 2） 2+（ 1， 2）上单调递减，则 m 的取值范围是（ ） A（ ， 0 B（ ， 1） C（ 0， +） D（ 1， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 可求导数得到 ，根据条件便知 f（ x） 0 在（ 1， 2）上恒成立，利用参数分离法转化为求函数的最值即可 【解答】 解：据题意， 在 x （ 1， 2）上恒成立； 2x+m 0 恒成立； m x 恒 成立； 即 m （ x 1） 2+1 在 x （ 1， 2）上恒成立； 而 x （ 1， 2）时， 0 （ x 1） 2+1 1； m 0 故选 A 9若 f（ x） = 的值为（ ） A 3e B 3e C 2e D 2e 【考点】 极限及其运算 【分析】 由 f（ x） = = 3f（ 1），能求出结果 【解答】 解： f（ x） = f（ x） = = = 3 = 3f（ 1） = 3e 故选： B 10已知复数 z 满足 |z i|+|z+i|=3（ i 是虚数单位），若在复平面内复数 z 对应的点为 Z，则点 Z 的轨迹为（ ） A直线 B双曲线 C抛物线 D椭圆 第 6 页（共 11 页） 【考点】 轨迹方程；复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 根据复数的几何意义进行判断即可 【解答】 解：设 Z（ x， y）， A（ 0， 1）， B（ 0， 1）， 则 |z i|+|z+i|=3 的几何意义为 |3 | 即 Z 的轨迹是以 A， B 为焦点的椭圆， 故选： D 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分 .） 11 04|x 2|4 【考点】 定积分 【分析】 将： 04|x 2|化成 02（ 2 x） 24（ x 2） 后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可 【解答】 解： 04|x 2|02（ 2 x） 24（ x 2） （ 2x |02+（ 2x） |24 =4 故答案为： 4 12在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1： 2，则它们的面积比为 1： 4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1： 2，则它们的体积比为 1： 8 【考点】 类比推理 【分析】 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可 【解答】 解：平面上，若两个正三角形的边长的比为 1： 2，则它们的面积比为 1： 4， 类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出： 在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1： 2，则它们的体积比为 1： 8 故答案为： 1： 8 13函数 f（ x） =ex+x 在 1， 1上的最大值是 e+1 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 可求 导数，判断导数的符号，从而得出 f（ x）在 1， 1上单调递增，从而便可求出 f（ x）的最大值 【解答】 解： f（ x） = 0； f（ x）在 1， 1上单调递增； x=1 时， f（ x）取最大值 e+1 故答案为： e+1 14函数 f（ x） =5x 2 在 x=3 处有极值，则函数的递减区间为 ， 3 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 可求导数 f（ x） =310x+3，从而根据题意 f（ 3） =0，这样即可求出 a=1，从而求出 f（ x），并解 f（ x） 0 即可求出函数的递减区间 【解答】 解： f（ x） =310x+3； 第 7 页（共 11 页） 根据题意， f（ 3） =0； 27a 30+3=0； a=1； f（ x） =310x+3； 解 f（ x） 0 得， ； f（ x）的递减区间为 故答案为： ， 3 15马路上哟编号 1， 2， 3， ， 10 共 10 盏 灯，现要关掉其中的四盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有 20 种 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 先将亮的 7 盏灯排成一排，所以有 6 个符合条件的空位，即可得到结论 【解答】 解：因为关掉的三盏灯不是两端的灯，且任意两盏都不相邻， 所以我使用插空法解决问题，即先将亮的 7 盏灯排成一排， 因为两端的灯不能熄灭， 所以有 6 个符合条件的空位， 所以在 6 个空位中选取 3 个位置插入熄灭的 3 盏灯，即有 0 种 故答案为： 20 三、解答题（共 40 分） . 16求 证： （ a 3） 【考点】 不等式的证明 【分析】 使用分析法逐步找出使不等式成立的条件即可 【解答】 证明：欲证 ， 只需证：（ ） 2 （ ） 2，即 2a 2 2 2a 42 只需证： 1+ ， 只需证： 2a 4a+4+2 ，即 a 2 ， 只需证： 4a+4 4a+3， 只需证： 4 3 显然， 4 3 恒成立， （ a 3） 17已知函数 f（ x） =3x； 第 8 页（共 11 页） （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）求 f（ x）在区间 3， 2上的最值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）先求出函数 f（ x） =3x 的导函数 f（ x），分别令 f（ x） 0 和 f（ x） 0便可求出函数 f（ x）的单调区间； （ ）分别求出两个短点 f（ 3）和 f（ 2）的值以及极值 f（ 1）和 f（ 1）的值，比较一下便可求出 f（ x）在区间 3， 2上的最大值和最小值 【解答】 解：（ I） f（ x） =3x， f（ x） =33=3（ x+1）（ x 1） 令 f（ x） =0，得 x= 1， x=1 若 x （ ， 1） （ 1， +），则 f（ x） 0， 故 f（ x）在（ ， 1）上是增函数， f（ x）在（ 1， +）上是增函数， 若 x （ 1， 1），则 f（ x） 0， 故 f（ x）在（ 1， 1）上是减函数； （ f（ 3） = 18， f（ 1） =2， f（ 1） = 2， f（ 2） =2， 当 x= 3 时， f（ x）在区间 3， 2取到最小值为 18 当 x= 1 或 2 时， f（ x）在区间 3， 2取到最大值为 2 18甲乙丙三人在进行一项投掷骰子游戏中规定：若掷出 1 点，甲得 1 分，若掷出 2 点或 3点，乙得 1 分；若掷出 4 点或 5 点或 6 点，丙得 1 分，前后共掷 3 次，设 x， y， z 分别表示甲、乙、丙三人的得分 （ 1）求 x=0， y=1， z=2 的概率； （ 2）记 =x+z，求随机变量 的概率分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）设事件 A 表示 “投掷一次骰子甲得一分 ”，事件 B 表示 “投掷一次骰子乙得一分 ”，事件 C 表示 “投掷一次骰子丙得一分 ”，由已知得 P（ A） = ， P（ B） = ， P（ C） = ，从而能求出 x=0， y=1， z=2 的概率 （ 2） X=0， 1， 2， 3； Y=0， 1， 2， 3； Z=0， 1， 2， 3但是只得 3 次分，因而必须满足X+Y+Z=3，随机变量 的样本空间为 0， 1， 2， 3，事实上 =3 Y，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1）设事件 A 表示 “投掷一次骰子甲得一分 ”，事件 B 表示 “投掷一次骰子乙得一分 ”，事件 C 表示 “投掷一次骰子丙得 一分 ”， 则 P（ A） = ， P（ B） = ， P（ C） = ， x=0， y=1， z=2 的概率 p=（ ） 3C （ ）（ ） 2 = （ 2） X=0， 1， 2， 3； Y=0， 1， 2， 3； Z=0， 1， 2， 3 但是只得 3 次分，因而必须满足 X+Y+Z=3，随机变量 的样本空间为 0， 1， 2， 3 事实上 =3 Y， P（ =0） =P（ Y=3） =（ ） 3= ， 第 9 页（共 11 页） P（ =1） =P（ Y=2） = = ， P（ =2） =P（ Y=1） = = ， P（ =3） =P（ Y=0） =（ ） 3= ， 的分布列： 0 1 2 3 P E（ ） = =2 19已知函数 f（ x） = x3+，（ a R） （ 1）若 f（ x）图象上横坐标为 1 的点处存在垂直于 y 轴的切线，求 a 的值； （ 2）若 f（ x）在区间（ 1， 2）内有两个不同的极值点，求 a 取值范围； （ 3）当 a=1 时，是否存在实数 m，使得函数 g（ x） =5 2 m） 的图象于 函数f（ x）的图象恰有三个不同的交点，若存在，试求出实数 m 的值；若不存在，说明理由 【考点】 利用导数研究函数的极值；利