2016年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2016 年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A y=x+1 B y= D y=x|x| 3设 首项大于零的等比 数列，则 “ “数列 递增数列 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4如图所示，已知正方形 边长为 1，点 E 从 D 点出发，按字母顺序 DABA， 动到 C 点，在此过程中 的最大值是（ ） A 0 B C 1 D 1 5某四面体 的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ） A 8 B C 10 D 6函数 f（ x） =2x+）（ 0， | ）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ） 第 2 页（共 17 页） A B C D 7已知抛物线 x 的弦 点的横坐标为 2，则 |最大值为（ ） A 1 B 3 C 6 D 12 8将数字 1， 2， 3， 4， 5， 6 书写在每一个骰子的六个表面上，做成 6 枚一样的骰子分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图 A 和 B 所示的两个柱体，则柱体 A 和 B 的表面（不含地面）数字之和分别是 （ ） A 47， 48 B 47， 49 C 49， 50 D 50， 49 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9双曲线 =1 的焦距是 ，渐近线方程是 10若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值 11如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”执行该 程序框图，若输入的 a， b 分别为 14， 20，则输出的 a= 12设 ， b=1 2 ，则 a， b， c 的大小关系是 （从小到大排列） 第 3 页（共 17 页） 13已知函数 若直线 y=m 与函数 f（ x）的图象只有一个交点，则实数 m 的取值范围是 14某次考试的第二大题由 8 道判断题构成，要求考生用画 “”和画 “ ”表示对各题的正误判断，每题判断正确得 1 分，判断错误不得分请根据如下甲，乙，丙 3 名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题 第 6 题 第 7 题 第 8 题 得分 甲 5 乙 5 丙 6 丁 ？ 丁得了 分 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或 证明过程 15已知在等比数列 ， ，且 1 的等差中项 （ ）求数列 通项公式； （ ）若数列 足 n 1+n N*），求 前 n 项和 16在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 b=3， 别求 a 和 c 的值 17交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通 指数T其范围为 0， 10，分别有五个级别： T 0， 2）畅通； T 2， 4）基本畅通； T 4，6）轻度拥堵； T 6， 8）中度拥堵； T 8， 10严重拥堵在晚高峰时段（ T 2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区 20 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示 （ 1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？ （ 2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出 6 个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数； （ 3）从（ 2）中抽取的 6 个路段中任取 2 个，求至少一个路段为轻 度拥堵的概率 18如图所示，在直四棱柱 ， C， M 是棱 一点 （ 1）求证： 面 （ 2）求证： （ 3）试确定点 M 的位置，使得平面 平面 第 4 页（共 17 页） 19已知函数 f（ x） =2x （ ）求函数 f（ x）的极值； （ ）证明：当 x 0 时， 20在平面直角坐标系 ，动点 P 到两点 ， 的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为曲线 C，直线 l 过点 E（ 1， 0）且与曲线 C 交于 A， B 两点 （ 1）求曲线 C 的轨迹方程； （ 2）是否存在 积的最大值，若存在，求出 面积；若不存在，说明理由 第 5 页（共 17 页） 2016 年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设 i 是虚数单位 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论 【解答】 解： =i（ 1+i） = 1+i，对应复平面上的点为（ 1， 1），在第二象限， 故选： B 2下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A y=x+1 B y= D y=x|x| 【考点】 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 【分析】 逐个分析函数的单调性与奇偶性判断 【解答】 解： y=x+1 不是奇函数， y= R 上是减函数， y= 在定义域上不是增函数， y=x|x|= ，故 y=x|x|是增函数且为奇函数 故选： D 3设 首项大于零的等比数列，则 “ “数列 递增数列 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 等比数列 【分析】 首项大于零是前提条件，则由 “q 1， 0”来判断是等比数列 递增数列 【解答】 解：若已知 设数列 公比为 q， 因为 以有 得 q 1，又 0， 所以数列 递增数列；反之，若数列 递增数列， 则公比 q 1 且 0，所以 所以 数列 递增数列的充分必要条件 故选 C 4如图所示，已知正方形 边长为 1，点 E 从 D 点出发，按字母顺序 DABA， 动到 C 点，在此过程中 的最大值是（ ） 第 6 页（共 17 页） A 0 B C 1 D 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 建系，由向量数量积的坐标运算公式，分类讨论，结合点 E 的运动，即可求出最大值 【解答】 解：以 在直线为 x 轴、 y 轴 ，建立坐标系如图 可得 A（ 0， 1）， B（ 0， 0）， C（ 1， 0）， D（ 1， 1）， 当 E 在 ，设 E（ x， 1），其中 0 x 1 =（ x 1， 0）， =（ 0， 1）， =0， 当 E 在 ，设 E（ 0， y），其中 0 y 1 =（ 1， y 1）， =（ 0， 1）， =y 1，（ 0 y 1），此时最大值为 0， 当 E 在 ，设 E（ x， 0），其中 0 x 1 =（ x 1， 1）， =（ 0， 1）， = 1， 当 E 在 ，设 E（ 1， y），其中 0 y 1 =（ 0， y 1）， =（ 0， 1）， =y 1，（ 0 y 1），此时最大值为 0， 综上所述 的最大值是 0， 故选： A 5某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ） 第 7 页（共 17 页） A 8 B C 10 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值 【解答】 解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为： 8， 6， ，10， 显然面积的最大值， 10 故选 C 6函数 f（ x） =2x+）（ 0， | ）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ） A B C D 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【 分析】 由图象和函数的周期公式可得 ，代入点的坐标结合角的范围可得 值 【解答】 解：由图象可得函数的周期 T 满足 T= （ ） = ， T=， = =2， f（ x） =22x+）， 第 8 页（共 17 页） 又函数图象经过点（ ， 2）， 2+） =2， +=2， =2， k Z | ， 当 k=0 时， = 故选： A 7已知抛物线 x 的弦 点的横坐标为 2，则 |最大值为（ ） A 1 B 3 C 6 D 12 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由题意，设直线 方程为 y=kx+b，代入抛物线 x，再结合弦长公式| |示出 |把弦长用引入的参数表示出来，再由中点的横坐标为2，研究出参数 k， b 的关系，使得弦长公式中只有一个参数，再根据其形式判断即可得出最值 【解答】 解：设 A（ B（ 则 x1+， 令直线 方程为 y=kx+b，代入抛物线 x 得 （ 2） x+， 故有 x1+， ， 故有 4= ，解得 b= ，即 ， 又 | | ， =4 =4 4 =6 故 |最大值为 6， 故选 C 8将数字 1， 2， 3， 4， 5， 6 书写在每一个骰子的六个表面上，做成 6 枚一样的骰子分别取三枚同样的这种骰 子叠放成如图 A 和 B 所示的两个柱体，则柱体 A 和 B 的表面（不含地面）数字之和分别是（ ） 第 9 页（共 17 页） A 47， 48 B 47， 49 C 49， 50 D 50， 49 【考点】 棱柱的结构特征 【分析】 根据骰子中 1 与 6， 2 与 5， 3 与 4 分别相对，找出图 A 与图 B 的表面数字，分别求出之和即可 【解答】 解：图 A 中数字之和为 1+6+3+4+2+5+6+1+6+1+4+3+5=47； 图 B 中数字之和为 3+4+5+2+1+6+5+2+3+4+2+5+6=48， 故选： A 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9双曲线 =1 的焦距是 2 ，渐近线方程是 y= x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程 【解答】 解：双曲线 =1 中， a= ， b=1， c= ， 焦距是 2c=2 ，渐近线方程是 y= x 故答案为： 2 ； y= x 10若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值 10 【考点】 简单线性规划 【分析】 由 约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 化目标函数 z=2x+y 为 y= 2x+z， 由图可知，当直线过 B（ 4， 2）时直线在 y 轴上的截距最大， z 最大， 为 z=2 4+2=10 故答案为： 10 第 10 页（共 17 页） 11如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”执行该程序框 图，若输入的 a， b 分别为 14， 20，则输出的 a= 2 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 a=14， b=20 时，满足 a b，但不满足 a b，执行 b=b a 后， a=14， b=6， 当 a=14， b=6 时，满足 a b，且满足 a b，执行 a=a b 后， a=8， b=6， 当 a=8， b=6 时，满足 a b，且满足 a b，执 行 a=a b 后， a=2， b=6， 当 a=2， b=6 时，满足 a b，但不满足 a b，执行 b=b a 后， a=2， b=4， 当 a=2， b=4 时，满足 a b，但不满足 a b，执行 b=b a 后， a=2， b=2， 当 a=2， b=2 时，不满足 a b， 故输出的 a 值为 2， 故答案为： 2 12设 ， b=1 2 ，则 a， b， c 的大小关系是 c a b （从小到大排列） 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 根据两角和的正弦公式求出 a=根据倍角公式求出 b=64，根据三角函数值求出 c=60，从而判断出 a， b， c 的大小即可 【解答】 解： = b=1 2 = 则 c a b， 故答案为： c a b 13已知函数 若直线 y=m 与函数 f（ x）的图象只有 一个交点，则实数 m 的取值范围是 m 2 或 m=0 【考点】 分段函数的应用 【分析】 作出函数 f（ x）的图象，判断函数的单调性和取值范围，利用数形结合进行判断即可 第 11 页（共 17 页） 【解答】 解：作出函数 f（ x）的图象如图， 则当 x 1 时， f（ x） （ 0， 2）， 当 x 1 时， f（ x） 0， 则若直线 y=m 与函数 f（ x）的图象只有一个交点， 则 m 2 或 m=0， 故答案为： m 2 或 m=0 14某次考试的第二大题由 8 道判断题构成，要求考生用画 “”和画 “ ”表示对各题 的正误判断，每题判断正确得 1 分，判断错误不得分请根据如下甲，乙，丙 3 名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题 第 6 题 第 7 题 第 8 题 得分 甲 5 乙 5 丙 6 丁 ？ 丁得了 6 分 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 由已知得第 3、 4 题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，即可得出结论 【解答】 解：因为由 已知得第 3、 4 题应为一对一错，所以丙和丁得分相同， 所以，丁的得分也是 6 分 故答案为： 6 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15已知在等比数列 ， ，且 1 的等差中项 （ ）求数列 通项公式； （ ）若数列 足 n 1+n N*），求 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的性质 【分析】 （ I）设等比数列 公比为 q，由 1 的等差中项， ，知 2a2= 1） =此能求出数列 通项公式 （ ）由 n 1+ （ 2n 1+2n 1） =1+3+5+（ 2n 1） +（ 1+2+22+2n 1），由等差数列和等比数列的求和公式能求出 【解答】 解：（ I）设等比数列 公比为 q， 第 12 页（共 17 页） 1 的等差中项， ， 2a2= 1） = =2， =2n 1，（ n N*） （ ） n 1+ （ 2n 1+2n 1） =1+3+5+（ 2n 1） +（ 1+2+22+2n 1） = + =n 1 16在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 a （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 b=3， 别求 a 和 c 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）由 a正弦定理可得： 简整理即可得出 （ 2）由 得 c=2a，由余弦定理可得： b2=a2+2入计算即可得出 【解答】 解：（ 1） a正弦定理可得： 0， B （ 0， ）， 可知： 0，否则矛盾 ， B= （ 2） c=2a， 由余弦定理可得： b2=a2+2 9=a2+ 把 c=2a 代入上式化为： ，解得 a= ， 17交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T其范围为 0， 10，分别有五个级别： T 0， 2）畅通； T 2， 4）基本畅通； T 4，6）轻度拥堵； T 6， 8）中度拥堵； T 8， 10严重拥堵在晚高峰时段（ T 2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区 20 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示 （ 1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？ （ 2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出 6 个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数； （ 3）从（ 2）中抽取的 6 个路段中任取 2 个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率 第 13 页（共 17 页） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）由频率分布直方图可知底 高 =频率，频数 20=个数，即可得出结论； （ 2）根据分层抽样，交通指数在 4， 10）的路段共 18 个，抽取 6 个，求出抽取的比值，继而求得路段个数 （ 3）考查古典概型，一一列举所有满足条件的基本事件，利用概率公式求得 【解答】 解：（ 1）由直方图得：这 20 个路段中，轻度拥堵的路段有（ 1 20=6个，中度拥堵的路段有（ 1 20=9 个，严重拥堵的路段有（ 1 20=3个 （ 2）由（ 1）知：拥堵路段共有 6+9+3=18 个，按分层抽样，从 18 个路段选出 6 个，依次抽取的三个级别路段的 个数分别为 ，即从交通指数在4， 6）， 6， 8）， 8， 10的路段中分别抽取的个数为 2， 3， 1 （ 3）记选出的 2 个轻度拥堵路段为 出的 3 个中度拥堵路段为 出的 1 个严重拥堵路段为 从这 6 个路段中选出 2 个路段的所有可能情况如下：（ 2），（ （ （ （ （ （ （ （ 1），（ （ （ （ （ （ 共 15 种情况其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有：（ （ （ （ （ 1），（ （ （ （ 共 9 种 所以所选 2 个路段中至少一个轻度拥堵的概率是 18如图所示，在直四棱柱 ， C， M 是棱 一点 （ 1）求证： 面 （ 2）求证： （ 3）试确定点 M 的位置，使得平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定 第 14 页（共 17 页） 【分析】 （ 1）在平面 找到和 行的直线 可利用线线平行来推线面平行 （ 2）先利用条件 得 面 证明 可 （ 3）因为棱 最特殊的点是中点，所以先看中点取 中点 N， 中点 接 O， 面 面 又可证得 以可得 平面 面 平面 【解答】 解：（ 1）证明：由直四棱柱，得 以 平行四边形， 所以 而 面 面 所以 平面 （ 2）证明：因为 面 以 又因为 ， 所以 面 而 以 （ 3）当点 M 为棱 中点时，平面 平面 中点 N， 中点 接 O，连接 因为 N 是 点， C，所以 因为 面 面 交线，而面 面 所以 面 又可证得， O 是 中点，所以 N，即 平行四边形，所以以 平面 为 以平面 平面 19已知函数 f（ x） =2x （ ）求函数 f（ x）的极值； （ ）证明：当 x 0 时， 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （ ）令 g（ x） =出函数的导数，根据函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ ）函