2016年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1若复数 z 满足 i，则 z 的共轭复数是（ ） A 1 i B 1 i C 1+i D 1+i 2若 A=x|x 8 0， B=x|x 1，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A（ 4， 1 B（ 1， 2） C 1， 2） D（ 4， 1） 3如图所示，程序框图（算法流程 图）的输出结果是（ ） A B C D 4某全日制大学共有学生 5400 人，其中专科生有 1500 人，本科生有 3000 人，研究生有900 人现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为 180人，则 应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（ ） A 55 人， 80 人， 45 人 B 40 人， 100 人， 40 人 C 60 人， 60 人， 60 人 D 50 人， 100 人， 30 人 5设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若 ， m， n，则 m n B若 ， m， n，则 m n C若 m n， m， n，则 D若 m ， m n， n ，则 6直线 与圆 O： x2+ 交于 A、 B 两 点，则 =（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 7某班 5 位同学分别选择参加数学、物理、化学这 3 个学科的兴趣小组，每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有 1 人参加的不同选择方法种数为（ ） A 150 B 180 C 240 D 540 8如图，椭圆 + 的左、右焦点分别为 轴端点分别为 沿 20角（图二），则异面直线 成 角的余弦值为（ ） 第 2 页（共 23 页） A 0 B C D 9在区间 1， 1上任取两数 m 和 n，则关于 x 的方程 x2+mx+n=0 的两根都是负数的概率（ ） A B C D 10设点 P 是曲线 C： y=x+ 上的任意一点，曲线 C 在 P 点处的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ） A ， ） B（ ， C 0， ） ， ） D 0， ） ， ） 11已知倾斜角为 的直线与双曲线 C： =1（ a 0， b 0）相交于 A， B 两点，M（ 4， 2）是弦 中点，则双曲线 C 的离心率是（ ） A B C 2 D 12已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ 2） =1，且 f（ x）的导数 f（ x）在 R 上的恒有 f（ x） （ x R），则不等式 f（ + 的解集为（ ） A（ ， 2） （ 2， +） B（ 2， 2） C（ ， ） （ ， +）D（ ， ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 13已知四边形 足 | | 且 0， = ，那么四边形 面积为 14记不等式组 所表示的平面区域为 D若直线 y=a（ x+1）与 D 有公共点，则a 的取值范围是 15一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 第 3 页（共 23 页） 16已知函数 f（ x） =中 0）且对任意的 x R，有 f（ x） f（ ），给出以下命题： a=b； f（ x+ ）为偶函数； 函数 y=f（ x）的图象关于点（ ， 0）对称； 函数 y=f（ x）的图象可由函数 y=f（ x）的图象向左平移 得到； 函数 f（ x）在 y 轴右侧的图象与直线 y= 的交点按横坐标从小到大依次为 4， ，则 |2 其中正确命题的序号是 （将所有正确命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知函数 f（ x） = ， x R （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期及单调递增区间； （ 2）设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 c= ， f（ C） =0， 面积 S 18已知数列 足 ，且对任意的正整数 m， n 都有 an+m=an数列 足 bn=n 1+前 n 项和为 （ ）求 （ ）令 cn=an，数列 前 n 项和为 列 前 n 项和为 别求 19如图，四棱锥 P 底面 菱形，且 0，侧面 边长为 2的正三角形且与底面 直 （ ）求证： （ ）线段 是否存在点 M，使得二面角 P M 的平面角余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 第 4 页（共 23 页） 20已知函数 （ 1）若 x=1 是函数 f（ x）的极大值点，求函数 f（ x）的单调递减区间； （ 2）若 恒成立，求实数 最大值 21已知椭圆 的中心在原点，焦点 x 轴上，离心率等于 ，它的一个顶 点恰好是抛物线 y= 焦点 （ 1）求椭圆 的标准方程； （ ） Q 为椭圆 的左顶点，直线 l 经过点（ ， 0）与椭圆 交于 A， B 两点 （ 1）若直线 l 垂直于 x 轴，求 大小； （ 2）若直线 l 与 x 轴不垂直，是否存在直线 l 使得 等腰三角形？如果存在，求出直线 l 的方程；如果不存在，请说明理由 22已知 a 为实数，函数 f（ x） =4x （ ）是否存在实数 a，使得 f（ x）在 x=1 处取极值？证明你的结论； （ ）若函数 f（ x）在 2， 3上存在单调递增区间，求实数 a 的取值范围； （ ）设 g（ x） =（ a 2） x，若存在 ， e，使得 f（ g（ 立，求实数 第 5 页（共 23 页） 2016 年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1若复 数 z 满足 i，则 z 的共轭复数是（ ） A 1 i B 1 i C 1+i D 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由复数 z 满足 i，可得 z，从而求出 即可 【解答】 解： 复数 z 满足 i， z= = = 1 i， 故 = 1+i， 故选： C 2若 A=x|x 8 0， B=x|x 1，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A（ 4， 1 B（ 1， 2） C 1， 2） D（ 4， 1） 【考点】 表达集合的关系及运算 【分析】 先观察 ，由图可知阴影部分表示的集合为（ A，根据集合的运算求解即可 【解答】 解： A=x|x 8 0=（ 4， 2）， B=x|x 1， 1， +）， （ A=1， 2） 故选： C 3如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） 第 6 页（共 23 页） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序图框的运行过程，得出当 n=8 时，不再运行循环体，直接输出 S 值 【解答】 解：模拟程序图框的运行过程，得； 该程 序运行后输出的是计算 S= + + = 故选： D 4某全日制大学共有学生 5400 人，其中专科生有 1500 人，本科生有 3000 人，研究生有900 人现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为 180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（ ） A 55 人， 80 人， 45 人 B 40 人， 100 人， 40 人 C 60 人， 60 人， 60 人 D 50 人， 100 人， 30 人 【考点】 分层抽样方法 【分析】 先根据总体数和抽取的样本，求出每个个体被抽到的概率，用每一个层次的数量乘以每个个体被抽到的概率就等于每一个层次的值 【解答】 解：每个个体被抽到的概率为 = ， 专科生被抽的人数是 1500=50， 本科生要抽取 3000=100， 研究生要抽取 900=30， 故选： D 5设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若 ， m， n，则 m n B若 ， m， n，则 m n C若 m n， m， n，则 D若 m ， m n， n ，则 第 7 页（共 23 页） 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间 的位置关系 【分析】 由 ， m， n，可推得 m n， m n，或 m， n 异面；由 ， m， n，可得 m n，或 m， n 异面；由 m n， m， n，可得 与 可能相交或平行；由m ， m n，则 n ，再由 n 可得 【解答】 解：选项 A，若 ， m， n，则可能 m n， m n，或 m， n 异面，故 选项 B，若 ， m， n，则 m n，或 m， n 异面，故 B 错误； 选项 C，若 m n， m， n，则 与 可能相交，也可能平行，故 C 错误； 选项 D，若 m ， m n，则 n ，再由 n 可得 ，故 D 正确 故选 D 6直线 与圆 O： x2+ 交于 A、 B 两点，则 =（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 【考点】 平面向量数量积的运算；直线与圆相交的性质 【分析】 先求圆心到直线的距离，再求弦心距所在直线与 夹角，然后求数量积 【解答】 解：圆 O： x2+ 的圆心是（ 0， 0），由此知圆心到直线 的距离是 = 2 所以直线与圆相交 故 =2=r，所以 所以 =2 2 2 故选 A 7某班 5 位同学分别选择参加数学、物理、化学这 3 个学科的兴趣小组， 每人限选一门学科，则每个兴趣小组都至少有 1 人参加的不同选择方法种数为（ ） A 150 B 180 C 240 D 540 【考点】 计数原理的应用 【分析】 根据题意，分析有将 5 位同学分成满足题意的 3 组有 1， 1， 3 与 2， 2， 1 两种，分别计算可得分成 1、 1、 3 与分成 2、 2、 1 时的分组情况种数，进而相加可得答案 【解答】 解：将 5 位同学分成满足题意的 3 组有 1， 1， 3 与 2， 2， 1 两种， 分成 1、 1、 3 时，有 33=60 种， 分成 2、 2、 1 时，有 =90 种， 所以共有 60+90=150 种， 故选： A 8如图，椭圆 + 的左、右焦点分别为 轴端点分别为 沿 20角（图二），则异面直线 成角的余弦值为（ ） 第 8 页（共 23 页） A 0 B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由 得 二面角 平面角，即为120，求得椭圆的 a， b， c，运用向量的夹角公式可得 ， = ，计算即可得到所求异面直线所成的角的余弦值 【解答】 解：由 可得 二面角 平面角，即为 120， 椭圆 + 中 a= ， b=1 c= ， 可得 2= ， = + ， = + ， = + + + = 1+0+0+ （ ） = 2， 即有 ， = = = ， 可得异面直线 成角的余弦值为 故选： C 9在区间 1， 1上任取两数 m 和 n，则关于 x 的方程 x2+mx+n=0 的两根都是 负数的概率（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据几何概型的概率公式，利用积分求出对应区域的面积进行求解即可 【解答】 解： 区间 1， 1上任取两数 m 和 n， ，对应的区域为正方形，面积 S=2 2=4， 若方程 x2+mx+n=0 的两根都是负数， 第 9 页（共 23 页） 则 ，即 ， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则对应的面积 S= = ， 则对应的概率 P= = ， 故选： A 10设点 P 是曲线 C： y=x+ 上的任意一点，曲线 C 在 P 点处的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ） A ， ） B（ ， C 0， ） ， ） D 0， ） ， ） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率的取值范围，结合正切函 数的图象和性质进行求解即可 【解答】 解：函数的导数 f（ x） =3， 则 f（ x） =3 ， 即 ， 则 0 或 ， 故角 的取值范围是 0， ） ， ）， 故选： D 第 10 页（共 23 页） 11已知倾斜角为 的直线与双曲线 C： =1（ a 0， b 0）相交于 A， B 两点，M（ 4， 2）是弦 中点，则双曲线 C 的离心率是（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 A（ B（ 根据 中点 P 的坐标，表示出斜率，从而得到关于 a、 b 的关系式，再求离心率 【解答】 解： 倾斜角为 的直线与双曲线 C： =1（ a 0， b 0） 相交于 A， 直线的斜率 k= ， 设 A（ B（ 则 =1， ； =1， ， 得 = ， 则 k= = M（ 4， 2）是 中点， x1+， y1+， 直线 l 的斜率为 ， = ， 即 = ，则 c2=a2+ 1+ ） + = =（ ） 2 则 e= 故选： D 第 11 页（共 23 页） 12已知定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ 2） =1，且 f（ x）的导数 f（ x）在 R 上的恒有 f（ x） （ x R），则不等式 f（ + 的解集为（ ） A（ ， 2） （ 2， +） B（ 2， 2） C（ ， ） （ ， +）D（ ， ） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；不等式的综合 【分析】 由 f（ x） ，构造辅助函数 g（ x） =f（ x） x，求导，利用导数判断函数单调递减，根据 f（ 2） =1，求得 g（ 2） = ，根据 f（ + ，将其转换成 g（ g（ 2），根据函数单调性即可求得不等的解集 【解答】 解： f（ x） （ x R）， f（ x） 0， 设 g（ x） =f（ x） x， g（ x） =f（ x） 0， g（ x）是 R 上的减函数， g（ 2） =g（ 2） = ， f（ + ， g（ =f（ =g（ 2）， 2， 解得： x 或 x ， 原不等式的解集为（ ， ） （ ， +） 故答案选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 13已知四边形 足 | | 且 0， = ，那么四边形 面积为 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 由题意作图辅助，从而可判断四边形为直角梯形，从而求其面积 【解答】 解：由题意作图如右图， = = ， | | 又 |且 0， 第 12 页（共 23 页） | | | | 平行四边形， | ， |2， S= = ， 故答案为： 14记不等式组 所表示的平面区域为 D若直线 y=a（ x+1）与 D 有公共点，则a 的取值范围是 ， 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入 y=a（ x+1）中，求出 y=a（ x+1）对应的 a 的端点值即可 【解答】 解：满足约束条件 的平面区域如图示： 因为 y=a（ x+1）过定点（ 1， 0） 所以当 y=a（ x+1）过点 B（ 0， 4）时，得到 a=4， 当 y=a（ x+1）过点 A（ 1， 1）时，对应 a= 又因为直线 y=a（ x+1）与平面区域 D 有公共点 所以 a 4 故答案为： ， 4 第 13 页（共 23 页） 15一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 16 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 3 的正三角形，侧棱长是 2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积 【解答】 解：由三视图知，几何体是一个三棱柱 三棱柱的底面 是边长为 3 的正三角形 棱长是 2， 三棱柱的两个底面的中心连接的线段 中点 O 与三棱柱的顶点 A 的连线 是外接球的半径， 边长为 3 的等边三角形， ， ， ， 这个球的半径 r= =2， 这个球的表面积 S=4 22=16， 故答案为： 16 第 14 页（共 23 页） 16已知函数 f（ x） = 中 0）且对任意的 x R，有 f（ x） f（ ），给出以下命题： a=b； f（ x+ ）为偶函数； 函数 y=f（ x）的图象关于点（ ， 0）对称； 函数 y=f（ x）的图象可由函数 y=f（ x）的图象向左平移 得到； 函数 f（ x）在 y 轴右侧的图象与直线 y= 的交点按横坐标从小到大依次为 4， ，则 |2 其中正确命题的序号是 （将所有正确命题的序号都填上） 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 由三角函数的最大值相等列式判断 ；利用辅助角公式化简代值判断 ；求出得值判断 ；求导后利用函数的图象平移判断 ；由函数图象平移周期不变判断 【解答】 解： f（ x） =， 对任意的 x R，有 f（ x） f（ ）， ，则 2 a+b） 2， （ a b） 2=0，则 a=b，故 正确； f（ x） =a（ = ， f（ x+ ） = ， f（ x+ ）为偶函数，故 正确； = 0，故 错误； y=f（ x） = ， 而 f（ x+ ） = = ，故 正确； 由 f（ x）的周期为 2，而 f（ x） = 是把 向左平移 个单位得到的， |2，故 正确 故答案为： 第 15 页（共 23 页） 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知函数 f（ x） = ， x R （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期及单调递增区间； （ 2）设 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 c= ， f（ C） =0， 面积 S 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f（ x） =2x ） 1，由周期公式可求最小正周期，由 2k ， k Z 可解得单调递增区间 （ 2）由 f（ C） =2C ） 1=0，可得 2C ） =1，解得 C 的范围利用正弦函数的图象和性质即可求得 C 的值，由 用正弦定理，余弦定理即可解得 a， b，根据三角形面积公式即可得解 【解答】 解：（ 1） f（ x） = = =2x ） 1， 最小正周期 T= ， 由 2k ， k Z 得 k ， k Z， f（ x）的最小正周期为 ，单调递增区间为 k ， k （ k Z） （ 2） f（ C） =2C ） 1=0，则 2C ） =1， 0 C ， 0 2C 2， ， 2C = ， C= ， 正弦定理，得 ， 由余弦定理，得 c2=a2+2即 a2+， 由 解得 a=1， b=2 S = 第 16 页（共 23 页） 18已知数列 足 ，且对任意的正整数 m， n 都有 an+m=an数列 足 bn=n 1+前 n 项和为 （ ）求 （ ）令 cn=an，数列 前 n 项和为 列 前 n 项和为 别求 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）对任意的正整数 m， n 都有 an+m=an得 =an用等比数列的通项公式可得 得 可得出 前 n 项和为 （ 2n 1） 3n利用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式可得 = ，利用 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 解：（ I） 对任意的正整数 m， n 都有 an+m=an =an 数列 等比 数列，公比为 3，首项为 3， n bn=n 1+n 1+n=2n 1， 前 n 项和为 = （ cn=an=（ 2n 1） 3n 数列 前 n 项和为 +3 32+5 33+（ 2n 1） 3n， 32+3 33+（ 2n 3） 3n+（ 2n 1） 3n+1， 2+2（ 32+33+3n）（ 2n 1） 3n+1= 3（ 2n 1） 3n+1=（ 2 2n） 3n+1 6， n 1） 3n+1+3 = = ， 当 n=1 时， ； 当 n 2 时， + + + = 当 n=1 时也成立， 19如图，四棱锥 P 底面 菱形，且 0，侧面 边长为 2的正三角形且与底面 直 （ ）求证： 第 17 页（共 23 页） （ ）线段 是否存在点 M，使得二面角 P M 的平面角余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 【考点】 二面角的平面角及求法；空间中直线与直 线之间的位置关系 【分析】 （ ）取 点 O，连结 O 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 （ ）设 M（ a， b， c），由 = 可得点 M 的坐标为 M（ ， 0， ），求出平面法向量和平面 法向量，由此利用向量法 能求出结果 【解答】 （ ）证明：取 点 O，连结 侧面 边长为 2 的正三角形，且与底面垂直， 底面 0的菱形， 等边三角形， 两垂直， 以 O 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意得 P（ 0， 0， ）， C（ ， 0， 0）， B（ ， 2， 0）， =（ 0， 2， 0）， =（ ， 0， ）， =0， （ ）解：假设存在符合要求的点 M，令 =（ 0 1），则 = =（ ， 0， ），可得 M（ ， 0， ）， =（ ， 1， ）， =（ ， 1， ）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，令 z=，得 =（ 1， 0， ）， 显然平面 一个法向量为 =（ ， 0， 0）， 二面角 P M 的平面角余弦值为 ， | = ， = 或 = 1（舍去） 线段 存在点 M， = 时，使得二面角 P M 的平面角余弦值为 第 18 页（共 23 页） 20已知函数 （ 1）若 x=1 是函数 f（ x）的极大值点，求函数 f（ x）的单调递减区间； （ 2）若 恒成立，求实数 最大值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件 【分析】 （ 1）求导数，利用 x=1 是函数 f（ x）的极大值点，确定 a 的范围，即可得到函数 f（ x）的单调递减区间； （ 2）构造函数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论 【解答】 解：（ 1）求导数可得， f（ x） = x=1 是函数 f（ x）的极大值点， 0 a 1 函数 f（ x）的单调递减区间为（ 0， a），（ 1， +）； （ 2） 恒成立， x+b 0 恒成立， 令 g（ x） =x+b，则 g（ x） = g（ x）在（ 0， a）上单调递增，在（ a， +）上单调递减 g（ x） g（ a） =a+b 0 b a h（ x） =x 0），则 h（ x） =x（ 1 2 h（ x）在（ 0， ）上单调递增，在（ ， +）上单调递减 h（ x） h（ ） = ， 即 最大值为 21已知椭圆 的中心在原点，焦点 x 轴上，离心率等于 ，它 的一个顶点恰好是抛物线 y= 焦点 第 19 页（共 23 页） （ 1）求椭圆 的标准方程； （ ） Q 为椭圆 的左顶点，直线 l 经过点（ ， 0）与椭圆 交于 A， B 两点 （ 1）若直线 l 垂直于 x 轴，求 大小； （ 2）若直线 l 与 x 轴不垂直，是否存在直线 l 使得 等腰三角形？如果存在，求出直线 l 的方程；如果不存在，请说明理由 【考点】 抛物线的简单性质 【分 析】 （ I）设椭圆的标准方程为： ，根据条件列方程组解出 a， b 即可； （ 1）把 x= 代入椭圆方程解出 A， B 坐标，根据三角形的边长即可求出 （ 2）设 率为 k，联立方程组求出 A， B 坐标的关系，通过计算 =0 得出 ，则当 等腰直角三角形时，取 点 N，则 算 斜率判断是否为 即可得出结论 【解答】 解：（ I）设椭圆的标准方程为： ，（ a b 0） 抛物线 y= 焦点为（ 0， 1）， ，解得 ， 椭圆 的标准方程为 + （ Q（ 2， 0），设 A（ B（ （ 1）当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 的方程为 x= 则直线 l 与 x 轴交于 M（ ， 0） 联立方程组 ，解得 或 不妨设 A 在第二象限，则 A（ ， ）， B（ ， ） 第 20 页（共 23 页） | 5， 0 （ 2）当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 方程为 y=k（ x+ ）（ k 0） 联立方程组 ，消元得（ 25+1004044100=0 x1+， ）（ ） = + =（ ， =（ ， =（ x1+4+ +4+ + =0 直角三角形 假设存在直线 l 使得 等腰直角三角形，则 | 取 中点 N，连结 又 （ x1+= = ， yN=k（ ） = ， 1 垂直，矛盾 直线 l 与 x 轴不垂直，不存在直线 l 使得 等腰三角形 22已知 a 为实数，函数 f（ x