2016年浙江省杭州市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2016 年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1设集合 A=x|2x 0， B=x| 1 x 2，则 AB=（ ） A x|0 x 2 B x|0 x 2 C x| 1 x 0 D x| 1 x 0 2若 ，则 ） A B C D 3某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的侧面 面积是（ ） A B 2 C D 4命题： “ R， 否定是（ ） A x R， x x R， x R， R， 设函数 f（ x） =|满足 f（ a） =f（ b）（ a b），则（注：选项中的 e 为自然对数的底数）（ ） A ab= ab=e C D 6设抛物线 y=bx+c（ a 0）与 x 轴有两个交点 A， B，顶点为 C，设 =4，则 ） A B C D 7在 ， C 是直角， ， ， 内切圆交 点 D， E，点 P 是图中阴影区域内的一点（不包含边界）若 =x +y ，则 x+y 的值可以是（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 第 2 页（共 17 页） 8设 U 为全集，对集合 A， B 定义运算 “*”， A*B=U（ AB），若 X， Y， Z 为三个集合，则（ X*Y） *Z=（ ） A（ X Y） （ XY） （ Z D（ Z 二、填空题（共 7 小题，每小题 4 分，满分 36 分） 9设 a， b，则 ea+ （其中 e 为自然对数的底数） 10 若函数 f（ x） = ，则 f（ 1） = ；不等式 f（ x） 4 的解集是 11设直线 m 1） y 1=0（ m R），则直线 过定点 ；若直线圆 x2+y 3=0 的一条对称轴，则实数 m= 12设实数 x， y 满足不等式组 ，若 z=2x+y，则 z 的最大值等于 ， 13如图， 等腰直角三角形， C， 0，且 ，将 C 的边翻折，设点 A 在平面 的射影为点 M，若点 M 在 部（含边界），则点 M 的轨迹的最大长度等于 ；在翻折过程中，当点 M 位于线段 时，直线 成的角的余弦值等于 14设 x， y R， y2+，则 2x+y 的最小值等于 15若点 P 在曲线 上，点 Q 在曲线 x 5） 2+ 上，点 R 在曲线 x+5） 2+ 上，则 | |最大值是 三、解答题（共 5 小题，满分 74 分） 16在 ， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， ， ， （ 1）求 C； （ 2）若 ，求 a， b， c 17在四棱锥 P ，平面 平面 边形 直角梯形， 0， D= ， D， E， F 分别为线段 中点 （ 1）求证： 平面 第 3 页（共 17 页） （ 2）若直线 成的角为 45，求线段 长 18设数列 足 ， =（ n N*） （ 1）证明： 3； （ 2）设数列 的前 n 项和为 明： 3 19设点 A， B 分别是 x， y 轴上的两个动点， ，若 （ 1）求点 C 的轨迹 ； （ 2）已知直线 l： x+4y 2=0，过点 D（ 2， 2）作直线 m 交轨迹 于不同的两点 E， F，交直线 l 于点 K问 + 的值是否为定值 ，请说明理由 20设函数 f（ x） =（ x 1） |x a|（ a R） （ 1）当 a=2 且 x 0 时，关于 x 的方程 f（ x） =有且仅有三个不同的实根 t=求实数 t 的取值范围 （ 2）当 a （ 1， ）时，若关于 x 的方程 f（ x） =2x a 有且仅有三个不同的实根 x1， x1+x2+取值范 围 第 4 页（共 17 页） 2016 年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1设集合 A=x|2x 0， B=x| 1 x 2，则 AB=（ ） A x|0 x 2 B x|0 x 2 C x| 1 x 0 D x| 1 x 0 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集，再由 B，求出两集合的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得： x（ x 2） 0， 解得： x 0 或 x 2，即 A=x|x 0 或 x 2， B=x| 1 x 2， AB=x| 1 x 0， 故选： D 2若 ，则 ） A B C D 【考点】 二倍角的余弦 【分析】 由条件利用二倍角的余弦公式，求得 值 【 解答】 解： ，则 2 2 = ， 故选： B 3某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的侧面 面积是（ ） A B 2 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直 该几何体的侧面 面积 = = 第 5 页（共 17 页） 故选： D 4命题： “ R， 否定是（ ） A x R， x x R， x R， R， 考点】 命题的否定 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可 【解答】 解：命题是特称命题，则命题的否定是： x R， x 故选： A 5设函数 f（ x） =|满足 f（ a） =f（ b）（ a b），则（注：选项中的 e 为自然对数的底数）（ ） A ab= ab=e C D 【考 点】 对数函数的图象与性质 【分析】 作出函数 f（ x）的图象，设 a b，得到 0 a 1， b 1，结合对数的运算性质进行求解即可 【解答】 解：作出函数 f（ x）的通项如图， 在若 f（ a） =f（ b）（ a b）， 则设 a b，则 0 a 1， b 1， 即 | 则 ， 即 ， 故选： D 6设抛物线 y=bx+c（ a 0）与 x 轴有两个交点 A， B，顶点为 C，设 =4，则 ） A B C D 【考点】 二次函数的性质 【分析】 根据二次函数的性质结合余弦定理求出 值即可 【解答】 解：如图示： 第 6 页（共 17 页） ， | = = ， | ， 而 | |= ， +|= + = =1 =1 ， = ， 故选： A 7在 ， C 是直角， ， ， 内切圆交 点 D， E，点 P 是图中阴影区域内的一点（不包含边界）若 =x +y ，则 x+y 的值可以是（ ） 第 7 页（共 17 页） A 1 B 2 C 4 D 8 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 求出内切圆半径，根据三点共线原理得出 x+y 分别对于 1， 2， 4， 8 时 P 点的轨迹，从而判断出答案 【解答】 解：设圆心为 O，半径为 r，则 3 r+4 r=5，解得 r=1 连结 当 x+y=1 时， P 在线段 ，排 除 A； 在 取点 M，在 取点 N，使得 结 = + 则点 P 在线段 时， + =1，故 x+y=2 同理，当 x+y=4 或 x+y=8 时， P 点不在三角形内部排除 C， D 故选： B 8设 U 为全集，对集合 A， B 定义运算 “*”， A*B=U（ AB），若 X， Y， Z 为三个集合，则（ X*Y） *Z=（ ） A（ X Y） （ XY） （ Z D（ Z 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 利用 X*Y=U（ XY），得到对于任意集合 X、 Y、 Z，（ X*Y ） *Z=U（ XY） *Z=UU（ XY） Z，整理即可得到答案 【解答】 解： X*Y=U（ XY）， 对于任意集合 X， Y， Z， （ X*Y ） *Z=U（ XY） *Z =UU（ XY） Z =（ XY） 选： B 第 8 页（共 17 页） 二、填空题（共 7 小题，每小题 4 分，满分 36 分） 9设 a， b，则 ea+5 （其中 e 为自然对数的底数） 【考点】 对数的运算性质 【分析】 直接利用导数的运算法则化简求解即可 【解答】 解： a， b，则 ea+eb=+3=5 故答案为： 5 10若函数 f（ x） = ，则 f（ 1） = 1 ；不等式 f（ x） 4 的解集是 （4， ） 【考点】 其他不等式的解法；分段函数的应用 【分析】 代值计算即可，根据分段函数得到则 或 ，解得即可 【解答】 解：函数 f（ x） = ， 则 f（ 1） =（ 1） =1， 不等式 f（ x） 4，则 或 ， 解得 0 x 或 4 x 0， 故不等式的解集为（ 4， ）， 故答案为： 1，（ 4， ） 11设直线 m 1） y 1=0（ m R），则 直线 过定点 （ 1， 1） ；若直线圆 x2+y 3=0 的一条对称轴，则实数 m= 2 【考点】 直线与圆的位置关系；恒过定点的直线 【分析】 直线 化为（ x y） m+y 1=0，令 m 的系数为 0，能求出直线 过定点（ 1，1）由已知得直线 m 1） y 1=0（ m R）经过圆 x2+y 3=0 的圆心（ 0， 1），由此能求出 m 【解答】 解： 直线 m 1） y 1=0（ m R）， （ x y） m+y 1=0， 由 ，解得 x=1， y=1， 直线 过定点（ 1， 1） 直线 m 1） y 1=0（ m R）为圆 x2+y 3=0 的一条对称轴， 直线 m 1） y 1=0（ m R）经过圆 x2+y 3=0 的圆心（ 0， 1）， m 0（ m 1） （ 1） 1=0， 解得 m=2 故答案为：（ 1， 1）， 2 第 9 页（共 17 页） 12设实数 x， y 满足不等式组 ，若 z=2x+y，则 z 的最大值等于 2 ， z 的最小值等于 0 【考点】 简单线性 规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 化 z=2x+y 为 y= 2x+z， 由图可知，当直线 y= 2x+z 过 O 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为 0； 当直线过 A（ 1， 0）时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 2 故答案为： 2， 0 13如图， 等腰直角 三角形， C， 0，且 ，将 C 的边翻折，设点 A 在平面 的射影为点 M，若点 M 在 部（含边界），则点 M 的轨迹的最大长度等于 ；在翻折过程中，当点 M 位于线段 时，直线 成的角的余弦值等于 【考点】 异面直线及其所成的角；轨迹方程 【分析】 点 A 的射影 M 的轨迹为 中位线，可得其长度；当点 M 位于线段 时，取 点为 N， 点为 P，可得 其补角即为直线 成的角，由已知数据和余弦定理可得 【解答】 解：由题意可得点 A 的射影 M 的轨迹为 中位线，其长度为 ； 当点 M 位于线段 时， 平面 点为 N， 点为 P， 第 10 页（共 17 页） 其补角即为直线 成的角， 则由中位线可得 ， ， 又 边 中线，故 ， 在 ，由余弦定理可得 = ， 故答案为： ； 14设 x， y R， y2+，则 2x+y 的最小值等于 2 【考点】 基本不等式 【分析】 令 2x+y=t，代入整理可得 771=0，由 0 可解得 t 的范围，可得答案 【解答】 解：令 2x+y=t，则 y=t 2x， y2+， （ t 2x） 2+x（ t 2x） =1， 整理可得 771=0， 由 =494 7 （ 21） 0 可解得 2 t 2， 故 2x+y 的最小值为 2， 故答案为： 2 15若点 P 在曲线 上，点 Q 在曲线 x 5） 2+ 上，点 R 在曲线 x+5） 2+ 上，则 | |最大值是 10 【考点】 圆与圆锥曲线的综合 【分析】 先由已知条件知道双曲 线的两个焦点为两个圆的圆心，再把 | |最大值转化为求 |PQ|PR|可求得结论 第 11 页（共 17 页） 【解答】 解：曲线 的两个焦点分别是 5， 0）与 5， 0）， | |8 则这两点正好是两圆（ x+5） 2+ 和（ x 5） 2+ 的圆心， 两圆（ x+5） 2+ 和（ x 5） 2+ 的半径分别是 ， ， |PQ|1， |PR| 1， | |最大值 =（ |1）（ | 1） =8+2=10， 故答案为： 10 三、解答题（共 5 小题，满分 74 分） 16在 ， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， ， ， （ 1）求 C； （ 2）若 ，求 a， b， c 【考点】 正弦定理；平面向量数量积的运算 【分析】 （ 1）先利用正弦定理把题设条件中的边转化成角的正弦，进而利用两角和 的公式化简整理求的 值，进而求得 C （ 2）根据 求得 值，进而利用题设中 和正弦定理联立方程组，求得 a， b 和 c 【解答】 解：（ 1）由 得 则有 = 得 即 、 （ 2）由 推出 ；而 ， 即得 ， 则有 解得 17在四棱锥 P ，平面 平面 边形 直角 梯形， 0， D= ， D， E， F 分别为线段 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）若直线 成的角为 45，求线段 长 第 12 页（共 17 页） 【考点】 异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）以 E 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线 平面 （ 2）由 =（ 1， 1， t）， =（ 1， 1， 0），直线 成的角为 45，利用向量法能求出 【解答】 证明：（ 1） 在四棱锥 P ，平面 平面 边形 直角梯形， 0， D= ， D， E， F 分别为线段 中点， 平面 以 E 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， A（ 1， 0， 0）， E（ 0， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， C（ 1， 1， 0）， 设 P（ 0， 0， t），则 F（ ， ， ）， =（ 1， 0， t）， =（ ）， =（ 0， 1， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=t，得 =（ t， 0， 1）， =t t=0，且 面 直线 平面 解： =（ 1， 1， t）， =（ 1， 1， 0）， 直线 成的角为 45， = ， 解得 t= ，或 t= （舍）， PE=t= 第 13 页（共 17 页） 18设数列 足 ， =（ n N*） （ 1）证明： 3； （ 2）设数列 的前 n 项和为 明： 3 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）数列 足 ， =（ n N*）可得 0，变形 =1，利用基本不等式的性质即可证明； （ 2）由（ 1）可得 an 可得 可得当 n 2 时， =2 即可证明 【解答】 证明：（ 1） 数列 足 ， =（ n N*） 0， =+1 +1=3，当且仅当 时取等号， 3 （ 2）由（ 1）可得 an 第 14 页（共 17 页） 当 n 2 时， =2 2 =2 =3 1， 3 19设点 A， B 分别是 x， y 轴上的两个动 点， ，若 （ 1）求点 C 的轨迹 ； （ 2）已知直线 l： x+4y 2=0，过点 D（ 2， 2）作直线 m 交轨迹 于不同的两点 E， F，交直线 l 于点 K问 + 的值是否为定值，请说明理由 【考点】 轨迹方程 【分析】 （ 1）由题意可设出 A（ m， 0）， B（ 0， n），可得 m2+，再设 C（ x， y），由向量等式把 m， n 用含有 x， y 的代数式表示，代入 m2+ 可得点 C 的轨迹 ； （ 2）分别设出 E， F， K 的横坐标分别为： 直线 m 的方程： y 2=k（ x 2），与直线 l： x+4y 2=0 联立可得 立直线方程与椭圆 m 的方程，利用根与系数的关系得到 xE+得 + 的值为定值 2 得答案 【解答】 解：（ 1）设 A（ m， 0）， B（ 0， n），则 m2+， 设 C（ x， y），由 ，得（ m， n） =（ x m， y）， ，得 m= ， y= n， 代入 m2+，得 =1； （ 2）设 E， F， K 的横坐标分别为： 设直线 m 的方程： y 2=k（ x 2），与直线 l： x+4y 2=0 联立可得 ， 将直线 m 代入椭圆方程得：（ 1+4k（ 2k+2） x+1632k+12=0， xE+， ， + = + = =2 为定值 20设函数 f（ x） =（ x 1） |x a|（ a R） 第 15 页（共 17 页） （ 1）当 a=2 且 x 0 时，关于 x 的方程 f（ x） =有且仅有三个不同的实根 t=求实数 t 的取值范围 （ 2）当 a （ 1， ）时，若关于 x 的方程 f（ x）