2016年陕西省西安市高考数学三模试卷(文科)含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年陕西省西安市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1集合 A=x| 1 x 2， B=x|x 1，则 AB=（ ） A x|x 1 B x| 1 x 2 C x| 1 x 1 D x| 1 x 1 2若复数 （ b R， i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数 b 为（ ） A 2 B 2 C D 3市疾病控制中心今日对我校高二学生进行了某项健康调查，调查的方法是采取分层抽样的方法抽取样本我校高二学生共有 2000 人，抽取了一人 200 人的样本，样本中男生 103人，请问我校共有女生（ ） A 970 B 1030 C 997 D 206 4点 M 在矩形 运动，其中 ， ，则动点 M 到顶点 A 的距离 | 1的概率为（ ） A B C D 5向量 ， ，且 ，则 ） A B C D 6以下有关命题的说法错误的是（ ） A命题 “若 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为 “若 x 1，则 3x+2 0” B若 a R，则 “a=2”是 “（ a 1）（ a 2） =0”的充分且不必要条件 C对于命题 p： R，使得 0，则 p： x R，则 x2+x+1 0 D命题 “若 a b”的 逆命题是真命题 7已知 等差数列， 其前 n 项和，若 a2+6， ，则 ） A 240 B 264 C 270 D 320 8为了得到函数 y= 2x ）的图象，只需将函数 y=图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 9在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 10执行如图所示的程序框图设当箭头 a 指向 处时，输出的 S 的值为 m，当箭头 a 指向 处时，输出 S 的值为 n，则 m+n=（ ） A 13 B 14 C 15 D 16 11已知正三棱柱底面边长是 2，外接球的表面积是 16，则该三棱柱的体积为（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 12若双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 二、填空题 :本大题共 4 小题。每小题 5 分。 13已知函数 f（ x） = 则 f（ f（ ） = 14已知等比数列 足 ， a1+a3+1，则 a3+a5+ 15若实数 x， y 满足 ，则 z=x 2y 的最小值为 16已知函数 f（ x）（ x R）满足 f（ 1） =1，且 f（ x）的导数 f（ x） ，则不等式 f（ 的解集为 三、解答题：解答写出文字说明、证明或验算步骤 17在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已知 b=B+C） （ 1）若 ，求角 A； 第 3 页（共 20 页） （ 2）在 （ 1）的条件下，若 面积为 ，求 a 的值 18如图，直三棱柱 ， ， ， ， M 在线段 （ ）若 M 是 点，证明 平面 （ ）当 是多少时，三棱锥 体积是三棱柱 体积的 ？ 19针对当前市场的低迷，企业在不断开拓市场的同 时，也在不断的加强产品质量的管理我市某企业从生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间 55， 65）， 65， 75）， 75， 85内的频率之比为 4： 2： 1 （ 1）求这些产品质量指标值落在区间 75， 85内的频率； （ 2）用分层抽样的方法在区间 45， 75）内抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取 2 件产品，求这 2 件产品都在区间 45， 65）内的概率 20在平面直角坐标系 ，椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且椭圆经过点（ 2， 0） （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过原点的直线与椭圆 C 交于 A、 B 两点（ A， B 不是椭圆 C 的顶点），点 D 在椭圆 线 x 轴 y 轴分别交于 M， N 两点，设直线 率分别为明存在常数 使得 求出 的值 21已知函数 f（ x） =， g（ x） =8b+1，其中 a 0 （ ）设两曲线 y=f（ x）， y=g（ x）有公共点，且在该点处的切线相同，用 a 表示 b，并求b 的最大值； （ ）设 h（ x） =f（ x） +g（ x），证明：若 a 1，则对任意 （ 0， +）， 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， O 的切线 ， O 于点 E 第 4 页（共 20 页） （ ）若 D 为 中点，证明： O 的切线； （ ）若 大小 选修 4标系与参数方程 23已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的非负半轴重合，若曲线方程为 + ） +2 =0，曲线 参数方程 为 （ 为参数） （ 1）将 方程化为直角坐标方程； （ 2）若点 Q 为 的动点， P 为 的动点，求 |最小值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 1|+|x+a|，其中 a 为实常数 （ ）若函数 f（ x）的最小值为 2，求 a 的值； （ ）当 x 0， 1时，不等式 |x 2| f（ x）恒成立，求 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年陕西省西安市高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题， 每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1集合 A=x| 1 x 2， B=x|x 1，则 AB=（ ） A x|x 1 B x| 1 x 2 C x| 1 x 1 D x| 1 x 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 利用交集和数轴即可求出 AB 【解答】 解： AB=x| 1 x 2x|x 1=x| 1 x 2，且 x 1=x| 1 x 1 故选 D 2若复数 （ b R， i 为虚 数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数 b 为（ ） A 2 B 2 C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部和虚部互为相反数列式求解 【解答】 解： = 的实部和虚部互为相反数， 2 2b=4+b，得 b= 故选： D 3市疾病控制中心今日对我校高二学生进行了某项健康调查，调查的方法是采取分层抽样的方法抽取样本我校高二学生共有 2000 人，抽取了一人 200 人的样本，样本中男生 103人，请问我校共有女生（ ） A 970 B 1030 C 997 D 206 【考点】 分层抽样方法 【分析】 求出样本容量中女生的人数，再计算总体中女生数为多少 【解答】 解： 样本容量为 200，女生为 200 103=97， 且分层抽样的抽取比例为 = ， 总体中女生数为 97 10=970 人 故选： A 4点 M 在矩形 运动，其中 ， ，则动点 M 到顶点 A 的距离 | 1的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 第 6 页（共 20 页） 【分析 】 根据已知条件，求出满足条件的矩形 面积，以及动点 M 到顶点 A 的距离| 1 对应的平面区域面积，代入几何概型计算公式加以计算，可得所求概率 【解答】 解：矩形 面积为 2 1=2 动点 M 到顶点 A 的距离 | 1 的平面区域，是以 A 为圆心半径等于 1 的 圆，其面积为 动点 M 到顶点 A 的距离 | 1 的概率 P= 故选： B 5向量 ， ，且 ，则 ） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 根据向量平行的条件建立关于 的等式，利用同角三角函数的基本关系算出，再由二倍角的余弦公式加以计算，可得 值 【解答】 解： ， ，且 ， ， 即 ，化简得 ， 2 = 故选： D 6以下有关命题的说法错误的是（ ） A命题 “若 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为 “若 x 1，则 3x+2 0” B若 a R，则 “a=2”是 “（ a 1）（ a 2） =0”的充分且不必要条件 C对于命题 p： R，使得 0，则 p： x R，则 x2+x+1 0 D命题 “若 a b”的逆命题是真命题 【考点】 四种命题 【分析】 A 根据命题与它的逆否命题之间的关系即可判断命题正确； B 判断充分性与必要性是否成立即可； C 根据特称命题的否定是全称命题，即可判断是否正确； D 写出该命题的逆命题，再判断真假性 【解答】 解：对于 A，命题 “若 3x+2=0，则 x=1”的逆否命题为 “若 x 1，则 3x+20”，正确； 对于 B， a=2 时 ，（ a 1）（ a 2） =0，充分性成立， （ a 1）（ a 2） =0 时， a=1 或 a=2，必要性不成立，是充分且不必要条件，正确； 对于 C，命题 p： R，使得 0， 第 7 页（共 20 页） 则 p： x R，则 x2+x+1 0，命题正确； 对于 D，命题 “若 a b”的逆命题是 命题 “若 a b，则 是假命题，因为 m=0 时不成立，所以错误 故选： D 7已知 等差数列， 其前 n 项和，若 a2+6， ，则 ） A 240 B 264 C 270 D 320 【考点】 等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式 【分析】 利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， a2+6， ， ， 解得 ， d=1 则 0 4+ 1=270 故选： C 8为了得到函数 y= 2x ）的图象，只需将函数 y=图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为 同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位 【解答】 解： y=2x+ ） = （ x+ ） y= 2x ） = （ x ） = （ x+ ） ， 只需把函数 y=图象向右平移 个长度单位，得到函数 y= 2x ）的图象 故选： D 9在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ） 第 8 页（共 20 页） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图 【 分析】 由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图 【解答】 解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体， 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成， 侧视图是一个中间有分界线的三角形， 故选 D 10执行如图所示的程序框图设当箭头 a 指向 处时，输出的 S 的值为 m，当箭头 a 指向 处时，输出 S 的值为 n，则 m+n=（ ） A 13 B 14 C 15 D 16 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序框图的运行过程，得出当箭头指向 时，计算 S 和 i 的值，求出 m；当箭头指向 时，计算 S 和 i 的值，求出 n 的值，计算 m+n 【解答】 解：当箭头指向 时，计算 S 和 i 如下： i=1， S=0， S=1； i=2， S=0， S=2； i=3， S=0， S=3； i=4， S=0， S=4； i=5，结束 S=m=4 当箭头指向 时，计算 S 和 i 如下： i=1， S=0， S=1； i=2， S=3； i=3， S=6； i=4， S=10； i=5，结束 S=n=10 m+n=14， 故选： B 第 9 页（共 20 页） 11已知正三棱柱底面边长是 2，外接球的表面积是 16，则该三棱柱的体积为（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 【考点】 球内接多面体 【分析】 根据三棱柱外接球的表面积是 16，求出该球的半径 R=2， 根据正三棱柱底面边长是 2，可得底面三角形的外接圆半径，从而可求三棱柱的侧棱长，即可求出该三棱柱的体积 【解答】 解： 该三棱柱外接球的表面积是 16， 46， 该球的半径 R=2， 又正三棱柱底面边长是 2， 底面三角形的外接圆半径 r= = ， 该三棱柱的侧棱长是 2 = 该 三棱柱的体积为 =4 ， 故选： C 第 10 页（共 20 页） 12若双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设双曲线的一个焦点为（ c， 0），一条渐近线方程为 y= x，即 ，运用点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：设双曲线的一个焦点为（ c， 0）， 一条渐近线方程为 y= x，即 ， 由题意可得 =b= 2c， 即有 c=2b，由 c2=a2+得 c2= 即有 c= a， 可得 e= = 故选： D 二、填空题 :本大题共 4 小题。每小题 5 分。 13已知函数 f（ x） = 则 f（ f（ ） = 1 【考点】 函数的值 【分析】 利用分段函数的性质先计算 f（ ），再求出 f（ f（ ） 【解答】 解： f（ x） = ， f（ ） =2+ =4， f（ f（ ） =f（ 4） = =2 1=1 故答案为： 1 14已知等比数列 足 ， a1+a3+1，则 a3+a5+42 【考点】 等比数列的通项公式 第 11 页（共 20 页） 【分析】 根据等比数列的通项公式，结合题意，即可求出对应的结果 【解答】 解：等比 数列 ， ， a1+a3+a5=a1+（ 1+q2+=21， 即 1+q2+， 解得 或 3（不合题意，舍去）； 所以 a3+a5+a7=1+q2+=3 2 7=42 故答案为： 42 15若实数 x， y 满足 ，则 z=x 2y 的最小值为 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何 意义，进行求解即可 【解答】 解：由 z=x 2y 得 y= ， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线 y= ， 由图象可知当直线 y= ，过点 A 时，直线 y= 的截距最大，此时 z 最小， 由 ，解得 ，即 A（ ， ） 代入目标函数 z=x 2y， 得 z= = 3= 目标函数 z=x 2y 的最小值是 故答案为： 第 12 页（共 20 页） 16已知函数 f（ x）（ x R）满足 f（ 1） =1，且 f（ x）的导数 f（ x） ，则不等式 f（ 的解集为 （ ， 1） （ 1， +） 【考点】 导数的运算；其他不等式的解法 【分析】 设 F（ x） =f（ x） x，根据题意可得函数 F（ x）在 R 上单调递减，然后根据 f（ 可得 f（ f（ 1） ，最后根据单调性可求出 x 的取值范围 【解答】 解：设 F（ x） =f（ x） x，则 F（ x） =f（ x） f（ x） ， F（ x） =f（ x） 0 即函数 F（ x）在 R 上单调递减 而 f（ 即 f（ f（ 1） F（ F（ 1）而函数 F（ x）在 R 上单调递减 1 即 x （ ， 1） （ 1， +） 故答案为：（ ， 1） （ 1， +） 三、解答题：解答写出文字说明、证明或验算步骤 17在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已知 b=B+C） （ 1）若 ，求角 A； （ 2）在（ 1）的条件下，若 面积为 ，求 a 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）过 B 作 b=合条件可得 3出 （ 2）根据面积公式和 计算 b， c，再利用余弦定理得出 a 【解答】 解：（ 1）在 ，过 B 作 b=D= b=B+C） = 3 =3， ， A= （ 2） S = ， ， c= ， b=2， c=2 由余弦定理得 a2=b2+2+12 12=4 a=2 第 13 页（共 20 页） 18如图，直三棱柱 ， ， ， ， M 在线段 （ ）若 M 是 点，证明 平面 （ ）当 是多少时，三棱锥 体积是三棱柱 体积的 ？ 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）取 点 N，连结 由 得平面平面 而 平面 （ V = = V 可知 S ，于是 【 解答】 （ I）证明：取 点 N，连结 四边形 矩形， 四边形 平行四边形， 面 平面 平面 同理可证： 平面 又 平面 平面 1N=N， 平面 平面 平面 平面 （ ： ， ， =5 V = V ， V = V V = V S S 第 14 页（共 20 页） = 19针对当前市场的低迷，企业在不断开拓市场的同时，也在不断的加强产品质量的管理我市某企业从生产 的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间 55， 65）， 65， 75）， 75， 85内的频率之比为 4： 2： 1 （ 1）求这些产品质量指标值落在区间 75， 85内的频率； （ 2）用分层抽样的方法在区间 45， 75）内抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取 2 件产品，求这 2 件产品都在区间 45， 65）内的概率 【考点】 频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发 生的概率 【分析】 （ 1）设这些产品质量指标值落在区间 75， 85内的频率为 x，由题意得（ 10+4x+2x+x=1，由此能求出这些产品质量指标值落在区间75， 85内的频率 （ 2）由频率分布直方图得区间 45， 55）内有 30 件，区间 55， 65）内有 20 件，区间 65，75）内有 10 件，用分层抽样的方法在区间 45， 75）内抽取一个容量为 6 的样本，区间 45，55）内抽取 3 件，区间 55， 65）内抽取 2 件，区间 65， 75）内抽取 1 件，由此能求出这 2件 产品都在区间 45， 65）内的概率 【解答】 解：（ 1）设这些产品质量指标值落在区间 75， 85内的频率为 x， 由题意得（ 10+4x+2x+x=1， 解得 x= （ 2）由频率分布直方图得区间 45， 55）内有 10 100=30 件， 区间 55， 65）内有 100=20 件， 区间 65， 75）内有 100=10 件， 用分层抽样的方法在区间 45， 75）内抽取一个容量为 6 的样本， 则区间 45， 55）内抽取 6 =3 件， 区间 55， 65）内抽取 6 =2 件， 区间 65， 75）内抽取 6 =1 件， 将该样本看成一个总体，从中任意抽取 2 件产品，基本事件总数 n= =15， 第 15 页（共 20 页） 这 2 件产品都在区间 45， 65）内包含的基本事件个数 m= =10， 这 2 件产品都在区间 45， 65）内的概率 p= = = 20在平面直角坐标系 ，椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且椭圆经过点（ 2， 0） （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过原点的直线与椭 圆 C 交于 A、 B 两点（ A， B 不是椭圆 C 的顶点），点 D 在椭圆 线 x 轴 y 轴分别交于 M， N 两点，设直线 率分别为明存在常数 使得 求出 的值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由椭圆离心率得到 a， b 的关系，由椭圆经过点（ 2， 0）， a 的值可求，进一步得到 b 的值，则椭圆方程可求； （ 2）设出 A， D 的坐标分别为（ 0），（ 用 A 的坐标表示 B 的坐标，把 斜率都用 A 的坐标表示，写出直线 方程，和椭圆方程联 立后利用根与系数关系得到 纵坐标的和，求出 点坐标，则 率可求，再写出 在直线方程，取 y=0 得到 M 点坐标，由两点求斜率得到 斜率，由两直线斜率的关系得到 的值 【解答】 解：（ 1）由题意知， e= = ， b2= 则 由椭圆经过点（ 2， 0），可得 a=2， 解得 b=1 故椭圆 C 的方程为 +； 证明 ：（ 2）设 A（ 0）， D（ 则 B（ 直线 斜率 ， 又 则直线 斜率 ， 设 程为 y=kx+m， 由题意知 k 0， m 0 联立 ，得（ 1+44=0 即有 x1+ ， 第 16 页（共 20 页） 因此 y1+y2=k（ x1+2m= ， 由题意可得 = = 可得直线 方程为 y+（ x+ 令 y=0，得 x=3 M（ 30） 可得 则 = 因此存在常数 = ，使得结论成立 21已知函数 f（ x） =， g（ x） =8b+1，其中 a 0 （ ）设两曲线 y=f（ x）， y=g（ x）有公共点，且在该点处的切线相同，用 a 表示 b，并求b 的最大值； （ ）设 h（ x） =f（ x） +g（ x），证明：若 a 1，则对任意 （ 0， +）， 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）设 f（ x）与 g（ x）的图象交于点 P（ 0），则有 f（ =g（ 求出导数，由斜率相等，求得切点的横坐标，可得 b 的解析式，求出导数，单调区间，可得最大值； （ ）不妨设 （ 0， +）， 不等式变形得 h（ 14h（ 14造函数 T（ x） =h（ x） 14x，求出导数，判断单调性 ，即可得到结论同理可证，当 ，命题也成立 【解答】 解：（ ）设 f（ x）与 g（ x）的图象交于点 P（ 0）， 则有 f（ =g（ 即 （ 1） 又由题意知 f（ =g（ 即 （ 2）， 由（ 2）解得 x0=a 或 4a（舍去）， 将 x0=a 代入（ 1）整理得 ， 令 ，则 K（ a） =a（ 3 8 当 时， K（ a）单调递增，当 时 K（ a）单调递减， 第 17 页（共 20 页） 所以 K（ a） ，即 b ， b 的最大值为 ； （ ）证明：不妨设 （ 0， +）， ， 变形得 h（ 14h（ 14 令 T（ x） =h（ x） 14x， ， a 1， ， 则 T（ x）在（ 0， +）上单调递增， T（ T（ 即 成立， 同理可证，当 ，命题也成立 综上，对任意 （ 0， +）， 不等式 成立 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， O 的切线， O 于点 E （ ）若 D 为 中点，证明： O 的切线； （ ）若 大小 【考点】 圆的切线的判定定理的证明 【分析】 （ ）连接 三角形和圆的知识易得 0，可得 O 的切线； （ ）设 ， AE=x，由射影定理可得关于 x 的