2016年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷(理科)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1平行直线 3x+4y 12=0 与 6x+8y 15=0 之间的距离为（ ） A B C D 2命题 “ a 0， +）， a”的否定形式是（ ） A a 0， +）， a B a 0， +）， a C a （ ， 0）， a D a （ ， 0）， a 3某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积等于（ ） A 4+ B 4+ C 6+ D 6+ 4若直线 l 交抛物线 C： p 0）于两不同点 A， B，且 |3p，则线段 点M 到 y 轴距离的最小值为（ ） A B p C D 2p 5已知 是实数， f（ x） =x+ ），则 “ ”是 “函数 f（ x）向左平移 个单位后关于 y 轴对称 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6如图，将四边形 着 折到 翻折过程中线段 点 ） A椭圆的一段 B抛物线的一段 C一段圆弧 D双曲线的一段 第 2 页（共 19 页） 7已知双曲线 C： =1（ a， b 0）虚轴上的端点 B（ 0， b），右焦点 F，若以 B 为圆心的圆与 C 的一条渐近线相切于点 P，且 ，则该双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D 8已知非零正实数 次构成公差不为零 的等差数列，设函数 f（ x） = 1， ， 2， 3，并记 M= 1， ， 2， 3下列说法正确的是（ ） A存在 M，使得 f（ f（ f（ 次成等差数列 B存在 M，使得 f（ f（ f（ 次成等比数列 C当 =2 时，存在正数 ，使得 f（ f（ f（ 依次成等差数列 D任意 M，都存在正数 1，使得 f（ f（ ， f（ 次成等比数列 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 9设集合 A=x N| N， B=x|y=x l），则 A= ， B= ，A（ = 10设函数 f（ x） =2x+），其中角 的终边经过点 P（ l， 1），且 0 ， f（ ）= 2，则 = ， A= ， f（ x）在 ， 上的单调减区间为 11设 a 0 且 a l，函数 f（ x） = 为奇函数，则 a= ， g（ f（ 2） = 12如图，在直三棱柱 ， C=， ， M 是 中点，则异面直线 成角的余弦值为 13设实数 x， y 满足 x+y 2，则 |x 2y|的最小值为 14已知非零平面向量 ， ， 满足 = =3， | |=| |=2，则向量 在向量 方向上的投影为 ， 的最小值为 15设 f（ x） =4x+1+a2x+b（ a， b R），若对于 x 0， 1， |f（ x） | 都成立，则b= 第 3 页（共 19 页） 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 2A B） =a b （ ）求边 c； （ ）若 面积为 1，且 ，求 a+b 的值 17在几何体 ，矩 形 边 ， B=1， 0，直线 平面 P 是线段 的点，且 M 为线段 中点 （ ）证明： 平面 （ ）求二面角 A P 的余弦值 18设函数 f（ x） =b，其中 a， b 是实数 （ ）若 0，且函数 ff（ x） 的最小值为 2，求 b 的取值范围； （ ）求实数 a， b 满足的条件，使得对任意满足 xy=l 的实数 x， y，都有 f（ x） +f（ y） f（ x） f（ y）成立 19已 知椭圆 L： =1（ a， b 0）离心率为 ，过点（ 1， ），与 x 轴不重合的直线，过定点 T（ m， 0）（ m 为大于 a 的常数），且与椭圆 L 交于两点 A， B（可以重合），点 C 为点 A 关于 x 轴的对称点 （ ）求椭圆 L 的方程； （ ）（ i）求证：直线 定点 M，并求出定点 M 的坐标； （ 积的最大值 20设数列 足： ， =（ c 为正实数， n N*），记数列 前 n 项和为 （ ）证明：当 c=2 时， 2n+1 2 3n l（ n N*）； （ ）求实数 c 的取值范围，使得数列 单调递减数列 第 4 页（共 19 页） 2016 年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1平行直线 3x+4y 12=0 与 6x+8y 15=0 之间的距离为（ ） A B C D 【考点】 两条平行直线间的距离 【分析】 直接利用平行线之间的距离公式求解即可 【解答】 解：平行直线 3x+4y 12=0 与 6x+8y 15=0 之间的距离为： = 故选： B 2命题 “ a 0， +）， a”的否定形式是（ ） A a 0， +）， a B a 0， +）， a C a （ ， 0）， a D a （ ， 0）， a 【考点】 命题的否定 【分析】 利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 “ a 0， +）， a”的否定形式是 a 0， +）， a， 故选： A 3某 几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积等于（ ） A 4+ B 4+ C 6+ D 6+ 【考点】 由三视图求面积、体积 第 5 页（共 19 页） 【分析】 由三视图还原原图形，得到原几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，然 后利用柱体体积公式求得答案 【解答】 解：由三视图还原原几何体如图， 是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体， 半圆柱的底面半径为 1，高为 3；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为 2），高为 3 V= 故选： D 4若直线 l 交抛物线 C： p 0）于两不同点 A， B，且 |3p，则线段 点M 到 y 轴距离的最小值为（ ） A B p C D 2p 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 l： x= ，分别过 A， B， M 作 l， l， l，垂足分别为 C， D， H，要求 M 到 y 轴的最小距离，只要先由抛物线的定义求 M 到抛物线的准线的最小距离 d，然后用 d ，即可求解 【解答】 解：由题意可得抛物线的准线 l： x= 分别过 A， B， M 作 l， l， l，垂足分别为 C， D， H 在直角梯形 ， （ D）， 由抛物线的定义可知 F， F（ F 为抛物线的焦点） （ F） p 即 中点 M 到抛物线的准线的最小距离为 p， 线段 点 M 到 y 轴距离的最小值为 p =p， 故选： B 第 6 页（共 19 页） 5已知 是实数， f（ x） =x+ ），则 “ ”是 “函数 f（ x）向左平移 个单位后关于 y 轴对称 ”的（ ） A充分不必 要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 将 f（ x）转换为 f（ x） = 2x+ ） + ，根据三角函数的性质结合充分必要条件的定义判断即可 【解答】 解： f（ x） =x+ ） = = （ 1+ 2x+ ） + ， 故 “ ”是 “函数 f（ x）向左平移 个单位后关于 y 轴对称 ”的充分不必要条件， 故选： A 6如图，将四边形 着 折到 翻折过程中线段 点 ） A椭圆的一段 B抛物线的一段 C一段圆弧 D双曲线的一段 【考点】 轨迹方程 【分析】 过 B 作 垂线 D 作 垂线 接 后证明在翻折过程中， 点到 中点的距离为定值得答案 【解答】 解：如图，过 B 作 垂线 D 作 垂线 接 第 7 页（共 19 页） 取 点为 O，则在 ， 中位线，则 ， 当 着 折到 ， 折到 ， ， 而翻折过程中， 1E， 翻折过程中线段 点 M 的轨迹是以 O 为圆心，以 为半径的一段圆弧 故选： C 7已知双曲线 C： =1（ a， b 0）虚轴上的端点 B（ 0， b），右焦点 F，若以 B 为圆心的圆与 C 的一条渐近线相切于点 P，且 ，则该双曲线的离心率为（ ） A B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意 直于双曲线的渐近线 y= x，求出 a， c 的关系，即可求出该双曲线的离心率 【解答】 解：由题意 直于双曲线的渐近线 y= x， ， = 1， ， ， e 1=0， e 1， e= 故选： D 8已知非零正实数 次构成公差不为零的等差数列，设函数 f（ x） = 1， ， 2， 3， 并记 M= 1， ， 2， 3下列说法正确的是（ ） 第 8 页（共 19 页） A存在 M，使得 f（ f（ f（ 次成等差数列 B存在 M，使得 f（ f（ f（ 次成等比数列 C当 =2 时，存在正数 ，使得 f（ f（ f（ 依次成等差数列 D任意 M，都存在正数 1，使得 f（ f（ f（ 次成等比数列 【考点】 等比关系的确定 【分析】 由等差数列得 ，假设各结论成立，将 代入结论推导结果看是否与条件一致进行判断 【解答】 解： 次构成公差不为零的等差数列， ，且 （ 1） 当 M 时， f（ x）的变化率随 x 的变化而变化， f（ f（ f（ 可能成等差数列，故 A 错误； （ 2）若 f（ f（ f（ 等比数列，则 ） 2， ）2， 整理得（ 2=0， x1= 次构成公差不为零的等差数列相矛盾，故B 错误 （ 3）当 =2 时，假设 f（ f（ f（ 依次成等差数列， 则 =2（ ） 2， = 0故 C 正确； （ 4）假设 f（ f（ f（ 次成等比数列， 则 ） 2， = ， = 1，当且仅当 x1=等号 当 0 时， 1，当 0 时， 1故 D 错误 故选： C 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每 题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 9设集合 A=x N| N， B=x|y=x l），则 A= 0， 1， 2， 5 ， B= x|x 1 ， A（ = 0， 1 【考点】 对数函数的定义域；交、并、补集的混合运算 【分析】 根据 x N， N，确定出 A，求出 B 中 x 的范围确定出 B，找出 A 与 B 补集的交集即可 【解答】 解：由 x N， N，得到 x=0， 1， 2， 5，即 A=0， 1， 2， 5， 由 B 中 y=x 1），得到 x 1 0，即 x 1， B=x|x 1， x|x 1， 则 A（ =0， 1， 故答案为： 0， 1， 2， 5； x|x 1； 0， 1 第 9 页（共 19 页） 10设函数 f（ x） =2x+），其中角 的终边经过点 P（ l， 1），且 0 ， f（ ）= 2，则 = ， A= 2 ， f（ x）在 ， 上的单调减区间为 ， 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由条件利用任意角的三角函数的定义，正弦函数的图象，正弦函数的单调性，得出结论 【解答】 解：函数 f（ x） =2x+），其中角 的终边经过点 P（ l， 1）， 且 0 ，则 = 1， = 再根据 f（ ） =+ ） = A= 2， A=2 f（ x） =2 2x+ ） 令 2 2x+ 2，求得 x ， k Z 结合 x ， ，可得减区间为 ， ， 故答案为： ； 2 ； ， 11设 a 0 且 a l，函数 f（ x） = 为奇函数，则 a= 2 ， g（ f（ 2） = 2 【考点】 分段函数的应用；函数奇偶性的性质；函数的值 【分析】 利用函数是奇函数 f（ 0） =0 求出 a，然后求解函数值 【解答】 解： a 0 且 a l，函数 f（ x） = 为奇函数， 可知 f（ 0） =0，可得 a 2=0，解得 a=2 则函数 f（ x） = ， g（ f（ 2） =g（ 2） =2 故答案为： 2， 2 12如图，在直三棱柱 ， C=， ， M 是 中点，则异面直线 成角的余弦值为 第 10 页（共 19 页） 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 以 M 为原点， x 轴， y 轴，过 M 作 垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 成角的余弦值 【解答】 解：在直三棱柱 ， C=， ， M 是 中点， =1， 以 M 为原点， x 轴， y 轴，过 M 作 垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， C（ ， 0， 0）， 0， 1， 2）， ， 0， 2）， M（ 0， 0， 0）， =（ ）， =（ ， 0， 2）， 设异面直线 成角为 ， 则 = = 异面直线 成角的余弦值为 故答案为： 13设实数 x， y 满足 x+y 2，则 |x 2y|的最小值为 2 1 【考点】 不等式的证明 【分析】 作出曲线（ x 1）（ y 1） = 1 的图象，由题意可得 |x 2y|即为曲线上任一点到直线 x 2y=0 的距离的 倍的最小值 第 11 页（共 19 页） 可得与曲线相切，且与直线 x 2y=0 平行的直线距离的 倍，求出函数的导数，求出切线的斜率，求得切点，代入即可得到所求最小值 【解答】 解：实数 x， y 满足 x+y 2， 即为（ x 1）（ y 1） 1， 作出曲线（ x 1）（ y 1） = 1 的图象， 由题意可得 |x 2y|即为 曲线上任一点到直线 x 2y=0 的距离的 倍的最小值 可得与曲线相切，且与直线 x 2y=0 平行的直线距离的 倍 设切点为（ m， n），由 y=1 的导数为 y= ， 即有切线的斜率为 = ， 解得 m=1+ （负的舍去）， 切点为（ 1+ ， 1 ）， 则 |x 2y|的最小值为 |1+ 2（ 1 ） |=2 1 故答案为： 2 1 14已知非零平面向量 ， ， 满足 = =3， | |=| |=2，则向量 在向量 方向上的投影为 ， 的最小值为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据条件容易求出向量 在 方向上的投影为 ，并且根据条件可得到，从而可设 ，可设 ，由 便可得出 x= ，从而 ，这便可得到，配方便可求出 的最小值 【解答】 解：向量 在向量 方向上的投影为： ； 第 12 页（共 19 页） 由 得， ； ； ； 设 ，设 ，则 ； ； ； ； ； 的最小值为 故答案为： 15设 f（ x） =4x+1+a2x+b（ a， b R），若对于 x 0， 1， |f（ x） | 都成立，则 b= 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 根据指数函数的性质，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次不等式恒成立问题转化一元二次函数的最值进行求解即可 【解答】 解： f（ x） =4x+1+a2x+b=4（ 2x） 2+a2x+b， 设 t=2x， x 0， 1， t 1， 2， 则函数等价 y=4t2+at+b， t 1， 2， 若于 x 0， 1， |f（ x） | 都 成立， 即于 t 1， 2， |4t2+at+b| 都成立， 即 4t2+at+b 恒成立， 设 g（ t） =4t2+at+b，要使 a R，不等式恒成立， 则函数 g（ t）的对称轴 t= ，即 = ，即 a= 12， 此时 g（ t） =412t+b， 则抛物线开口向上， 要使 4t2+at+b 恒成立， 第 13 页（共 19 页） 则函数 g（ t） 且 g（ t） ， 当 t=1 或 2 时， g（ t） g（ 1） =4 12+b=b 8 ，即 b ， 当 t= 时， g（ t） g（ ） =b 9 ，即 b ， 即 b= ， 故答案为： 三、解答题：本 大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 2A B） =a b （ ）求边 c； （ ）若 面积为 1，且 ，求 a+b 的值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ I）由 2A B） =a b可得 22a b利用正弦定理及其余弦定理即可得出 （ 于 =2，且 ，解得 于 S =1，可解得 余弦定理可得： = 即可得出 a+b 的值 【解答】 解：（ I）在 ， 2A B） =a b 22a b 利用正弦定理可得： 22a b 由余弦定理可得： 2b =为： c=2 （ =2，且 ，解得 ， S =1，解得 由余弦定理可得： = = ， a2+， （ a+b） 2=a2+2 ， 解得 a+b= =1 17在几何体 ，矩形 边 ， B=1， 0，直线 平面 P 是线段 的点，且 M 为线段 中点 （ ）证明： 平面 第 14 页（共 19 页） （ ）求二面角 A P 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）连结 E=F， P=N，连结 点 Q，连结 导出 此能证明 平面 （ ）以 B 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A P 的余弦值 【解答】 证明：（ ）连结 E=F， P=N，连结 矩形 F 为 点， 平面 平面 图，在直角 ，取 点 Q，连结 M 是 中点， 由 D， N， 又 平面 面 平面 解：（ ）如图，以 B 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（ 0， 0， 0）， A（ 1， 0， 0）， C（ 0， 1， 0）， E（ 0， 0， 2）， P（ ）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， =（ 1， 1， 0）， =（ 1， 0， 2）， ，取 z=1，得 =（ 2， 2， 1）， 设平面 法向量 =（ a， b， c）， =（ ）， =（ ）， ，取 c=1，得 =（ 2， 2， 1）， = = ， 二面角 A P 的余弦值为 第 15 页（共 19 页） 18设函数 f（ x） =b，其中 a， b 是实数 （ ）若 0，且函数 ff（ x） 的最小值为 2，求 b 的取值范围； （ ）求实数 a， b 满足的条件，使得对任意满足 xy=l 的实数 x， y，都有 f（ x） +f（ y） f（ x） f（ y）成立 【考点】 抽象函数及其应用；二次函数的性质 【分析】 （ ）若 0，求函数 ff（ x） 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质建立方程关系进行求解即可； （ ）由 xy=l 得 y= ，代回不等式，将不等式进行转化，利用换元法结合基本不等式的性质进行求解即可 【解答】 解：（ ） f（ x） =b， ff（ x） =b， 设 t= 当 0，且二次函数 y=b 的对称轴 t= 0， 当 a 0 时，不满足条件 a 0， b 0， 当 t=0 时，函数 ff（ x） 取得最小值，即 b=2， 从而 0，得 0 b 2， 即 b 的取值范围是（ 0， 2）； （ ） xy=l， y= ， 则由 f（ x） +f（ y） f（ x） f（ y）得 f（ x） +f（ ） f（ x） f（ ）， 第 16 页（共 19 页） 即 a（ ） +2b ） +a2+ 令 t=，则 t 2， 则 a（ 1 b） t a2+2b 恒成立， 需要 a（ 1 b） 0， 此时 y=a（ 1 b） t 在 2， +）上为增函数， 2a（ 1 b） a2+2b， 即（ a+b） 2 2（ a+b） 0，得 0 a+b 2， 则实数 a， b 满足的条件为 19已知椭圆 L： =1（ a， b 0）离心率为 ，过点（ 1， ），与 x 轴不重合的直线，过定点 T（ m， 0）（ m 为大于 a 的常数），且与椭圆 L 交于两点 A， B（可以重合），点 C 为点 A 关于 x 轴的对称点 （ ）求椭圆 L 的方程； （ ）（ i）求证：直线 定点 M，并求出定点 M 的坐标； （ 积的最大值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得 a， b，进而得到椭圆方程； （ ）（ i）由对称性可得直线 定点，定点在 x 轴上，设直线 l 的方程为 x=ty+m， A（ x1， B（ C（ 代入椭圆方程，运用韦达定理，求得直线 方程，可令 y=0，求得 x，化简整理，代入韦达定理，可得定点 M； （ 面积为 S，则 S= |y2+代入韦达定理和定点坐标，讨论 m 的范围，结合对号函数的性质，即 可得到最大值 【解答】 解：（ ）由题意可得 e= = ， + =1， b2= 解得 a= ， b=1， 即有椭圆的方程为 +