2016年南平市浦城县高考数学模拟试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年福建省南平市浦城县高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 A=x| 3 x 4，集合 B=x|x 1，则 A B 等于（ ） A（ 3， 1） B 4， 1） C（ ， 4） D（ 1， 4） 2已知复数 z= 的实部为 1，则实数 a 等于（ ） A 2 B 2 C 1 D 1 3已知向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 7），则下列结论正确的是（ ） A B C （ + ） D （ ） 4已知 ，则 于（ ） A B C D 5已知 ， 是平面， m， n 是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（ ） （ 1 ）若 m ， m，则 （ 2 ）若 m， n， m ， n ，则 （ 3 ）如果 m， n， m， n 是异面直线，那么 n 与 相交 （ 4 ）若 =m， n m，且 n， n，则 n 且 n A 1 B 2 C 3 D 4 6某单位从包括甲、乙在内的 5 名应聘者中招聘 2 人，如果这 5 名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有 1 人被录用的概率是（ ） A B C D 7已知双曲线 的实轴长为 4，则双曲线的渐近线方程为（ ） A y= B y= x C y= 2x D y= 8若函数 f（ x） =x2+x 2 1， e上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， 1 C（ 1， D 1， +） 9已知函数 f（ x） =2x+3）是奇函数，其中 （ 0， ），则函数 g（ x） =2x ）的图象（ ） A关于点（ ， 0）对称 B可由 函数 f（ x）的图象向右平移 个单位得到 C可由函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到 D可由函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到 第 2 页（共 21 页） 10执行如图所示的程序框图，则 “3 m 5”是 “输出 i 的值为 5”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 11某几何体的三视图如图所示，记 A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ） A 3 A B 5 A C 2 A D 4 A 12已知函数 f（ x） = ，且函数 g（ x） =x2+x+2）（ a 0，且 a 1）在 ，1上的最大值为 2，若对任意 1， 2，存在 0， 3，使得 f（ g（ 则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， C ， +） D ， + 二、填空题 :本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13在 ， A= ， 面积为 14已知函数 f（ x） = ，若不等式 f（ x） a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 15如果实数 x， y 满足条件 ，则 z= 的最小值为 第 3 页（共 21 页） 16已知椭圆 C； + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 c， 0）， c， 0），P 是椭圆 C 上一点，且 |直线 圆 x2+相切，则椭圆的离心率为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17在等差数列 ， ，其前 n 项和为 比数列 各项均为正数， ，3=21， 2 （ 1）求 （ 2）设数列 前 n 项和为 使不等式 4立的最小正整数 n 的值 18如图，在四棱锥 P ， 底面 面 梯形， C=， ，点 E 在棱 ，且 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 19某中学进行教学改革试点，推行 “高效课堂 ”的教学法，为了比较教 学效果，某化学老师分别用原传统教学和 “高效课堂 ”两种不同的教学方式，在甲乙两个平行班进行教学实验，为了了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下：记成绩不低于 70 分者为 “成绩优良 ” （ 1）分别计算甲乙两班 20 各样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳； （ 2）由以上统计数据填写下面的 2 2 列联表，并判断 “成绩优良 ”与教学方式是否有关？ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附： = 独立性检验临界值表 P（ k） k 4 页（共 21 页） 20已知圆 M 与圆 N：（ x ） 2+（ y+ ） 2=于直线 y=x 对称，且点 D（ ， ）在圆 M 上 （ 1）判断圆 M 与圆 N 的位置关系 （ 2）设 P 为圆 M 上任意一点， A（ 1， ） B（ 1， ）， 与 不共线， 交 G，求证 面积之比为定值 21已知函数 f（ x） = m 0） （ 1）当 m=2 时，求函数 y=f（ x）的单调递增区间； （ 2）若函数 f（ x）既有极大值，又有极小值，且当 0 x 4m 时， f（ x） m3x+ 恒成立，求 m 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 的直径， C 为圆周上一点，过 C 作圆 O 的切线 l，过 A 作直线 l 的垂线 D 为垂足， 圆 O 交于点 E （ 1）求证： E=E； （ 2）若 ， ，求线段 长 选修 4标系与参数方程 23已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，圆 C 的极坐标方程是=线 l 的参数方程是 （ t 为参数） （ 1）若 a=2，直线 l 与 x 轴的交点是 M， N 是圆 C 上一动点，求 |最大值； （ 2）直线 l 被圆 C 截得的弦长等于圆 C 的半径的 倍，求 a 的值 选修 4等式选讲 第 5 页（共 21 页） 24已知实数 a、 b 满足： a 0， b 0 （ 1）若 x R，求证： |x+a|+|x b| 2 （ 2）若 a+b=1，求证： + + 12 第 6 页（共 21 页） 2016 年福建省南平市浦城县高考数学模拟试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 A=x| 3 x 4，集合 B=x|x 1，则 A B 等于（ ） A（ 3， 1） B 4， 1） C（ ， 4） D（ 1， 4） 【考点】 并集及其运算 【分析】 结合集合并集的定义，可得答案 【解答】 解：集合 A=x| 3 x 4=（ 3， 4），集合 B=x|x 1=（ ， 1）， 则 A B=（ ， 4）， 故选： C 2已知复数 z= 的实部为 1，则实数 a 等于（ ） A 2 B 2 C 1 D 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由复数代数形式的除法运算化简，然后由实部等于 1 求解 【解答】 解：复数 z= = = ， 复数 z= 的实部为 1， 6 a=5， 即 a=1， 故选： C 3已知向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 7），则下列结论正确的是（ ） A B C （ + ） D （ ） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 求出 + ，然 后通过向量的数量积求解即可 【解答】 解：向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 7）， + =（ 3， 6） （ + ） =6 6=0 （ + ） =0 故选： C 4已知 ，则 于（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 由已知利用两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值 【解答】 解： ， 第 7 页（共 21 页） x + ） =x ） = ， 故选： B 5已知 ， 是平面， m， n 是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（ ） （ 1 ）若 m ， m，则 （ 2 ）若 m， n， m ， n ，则 （ 3 ）如果 m， n， m， n 是异面直线，那么 n 与 相交 （ 4 ）若 =m， n m，且 n， n，则 n 且 n A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 利用面面平行和妈妈垂直的判定定理分别分析解答 【解答】 解：对于（ 1 ） ，若 m ， m，则满足面面垂直的判定定理，所以 正确； 对于（ 2 ），若 m， n， m ， n ，如果 m n，则 ， 可能相交，所以 错误； 对于（ 3 ），如果 m， n， m， n 是异面直线，那么 n 与 相交或者平行；故（ 3）错误； 对于（ 4 ），若 =m， n m，且 n， n，满足线面平行的判定定理，所以 n 且 n 正确 故选 B 6某单位从包括甲、乙在内的 5 名应聘者中招聘 2 人，如果这 5 名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有 1 人被录用的概率是（ ） A B C D 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 列举出所有可能的基本事件和符合条件的基本事件，使用古典概型的概率计算公式计算概率 【解答】 解：设剩余三名应聘者为 a， b， c，则从 5 人中录用两人的所有可能结果共有 10个，分别为（甲，乙），（甲， a），（甲， b），（甲， c）， （乙， a），（乙， b），（乙， c），（ a， b），（ a， c），（ b， c） 其中甲乙两人至少有 1 人被录用的基本事件有 7 个，分别是（甲，乙），（甲， a），（甲， b），（甲， c），（乙， a），（乙， b），（乙， c） 甲、乙两人中至少有 1 人被录用的概率 P= 故选： B 7已知双曲线 的实轴长为 4，则双曲线的渐近线方程为（ ） A y= B y= x C y= 2x D y= 第 8 页（共 21 页） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 将双曲线的方程化为标准方程，可得 a= ， b= ，由题意可得 2 =4，解得 k，即有双曲线的方程和渐近线方程 【解答】 解：双曲线 （ k 0）即为 =1， 可得 a= ， b= ， 由题意可得 2 =4， 解得 k= 2， 即有双曲线的方程为 =1， 即有渐近线方程为 y= x 故选： D 8若函数 f（ x） =x2+x 2 1， e上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， 1 C（ 1， D 1， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 由函数 f（ x）在 1， e上单调递增，可得 f（ x） 0 在 1， e上恒成立即 2x+1 0， x 1， ea 2x 1， e利用二次函数的单调性求出即可 【解答】 解：函数 f（ x） =x2+x 2 x 1， e）， f（ x） =2x+1 ， 函数 f（ x）在 1， e上单调递增， f（ x） 0 在 1， e上恒成立 2x+1 0， x 1， ea （ 2x2+x） x 1， e 令 g（ x） = （ 2x2+x），则 g（ x）在 1， e单调增函数 g（ x） g（ 1） = a 故选： A 9已知函数 f（ x） =2x+3）是奇函数，其中 （ 0， ），则函数 g（ x） =2x ）的图象（ ） 第 9 页（共 21 页） A关于点（ ， 0）对称 B可由函数 f（ x）的图象向右平移 个单位得到 C可由函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到 D可由函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到 【考点】 余弦函数的对称性 【分析】 由条件利用诱导公式，函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x+3）是 奇函数，其中 （ 0， ）， = ， f（ x） =2x+ ） =2x ） =x ）， 则函数 g（ x） =2x ） =2x ） =x ） 的图象可由函数 f（ x）的图象向左平移 个单位得到的， 故选： C 10执行如图所示的程序框图，则 “3 m 5”是 “输出 i 的值为 5”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 程序框图；必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据已知的程序框图可得，该程序的 功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，求出 m 的范围，结合充要条件的定义，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体后， S=2， i=2，应该不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后， S=6， i=3，应该不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后， S=13， i=4，应该不满足退出循环的条件； 第四次执行循环体后， S=23， i=5，应该满足退出循环的条件； 第 10 页（共 21 页） 故 ，解得： ， 故 “3 m 5”是 “输出 i 的值为 5”的必要不充分条件， 故选： B 11某几何体的三视图如图所示，记 A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（ ） A 3 A B 5 A C 2 A D 4 A 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体，由三视图求出几何元素的长度，判断出线面的位置关系，由勾 股定理求出几何体的棱长，即可得到答案 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥， 四边形 一个边长为 4 的正方形， 且 面 ， ， =4 ， B= =2 ， = =4 ， A 为此几何体所有棱的长度构成的集合， A=2， 4， 4 ， 4 ， 4 ， 故选： D 12已知函数 f（ x） = ，且函数 g（ x） =x2+x+2）（ a 0，且 a 1）在 ，1上的最大值为 2，若对任意 1， 2，存在 0， 3，使得 f（ g（ 则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， B（ ， C ， +） D ， + 【考点】 对数函数的图象与性质 第 11 页（共 21 页） 【分析】 由已知函数 g（ x） =x2+x+2）（ a 0，且 a 1）在 ， 1上的最大值为 2，先求出 a 值，进而求出两个函数在指定区间上的最小值，结合已知，分析两个最小值的关系，可得答案 【解答】 解： 函数 f（ x） = =31 x m， 当 1， 2时， f（ m， 9 m； t=x2+x+2 的图象是开口朝上，且以直线 x= 为对称轴的抛物线， 故 x ， 1时， t ， 4， 若函数 g（ x） =x2+x+2）（ a 0，且 a 1）在 ， 1上的最大值为 2， 则 a=2， 即 g（ x） =x2+x+2）， 当 0， 3时， g（ 1， 若对任意 1， 2，存在 0， 3，使得 f（ g（ 则 m 1， 解得 m （ ， ， 故选： A 二、填空题 :本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13在 ， A= ， 面积为 2 【考点】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理将角化边得到 ，代入面积公式即可求出 【解答】 解： b，即 S =2 故答案为： 2 14已知函数 f（ x） = ，若不等式 f（ x） a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 （ ， 1 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 求得 f（ x）的值域，运用二次函数和指数函数的单调性即可求得，再由不等式恒成立思想即可得到所求 a 的范围 【解答】 解：当 x 1 时， f（ x） =2 递减， 可得 f（ x） f（ 1） =1 2= 1； 第 12 页（共 21 页） 当 x 1 时， f（ x） =2x 1 递 增， 可得 f（ x） f（ 1） = 1= 综上可得， f（ x）的值域为（ 1， +） 由不等式 f（ x） a 恒成立， 即有 a 1 则 a 的范围是（ ， 1 故答案为：（ ， 1 15如果实数 x， y 满足条件 ，则 z= 的最小值为 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作平面区域，易知 z= 的几何意义是点 B（ x， y）与点 A（ 1， 0）连线的直线的斜率，从而解得 【解答】 解：由题意作平面区域如下， z= 的几何意义是点 B（ x， y）与点 A（ 1， 0）连线的直线的斜率， 故当 B（ 1， 1）时， z= 有最小值 ， z= = ； 第 13 页（共 21 页） 故答案为： 16已知椭圆 C； + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 c， 0）， c， 0），P 是椭圆 C 上一点，且 |直线 圆 x2+相切，则椭圆的离心率为 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由题意画出图形，求解三角形得到 在直线距离，进一步得到 O 到 合直线 圆 x2+相切列式求得椭圆的离心率 【解答】 解：如图， 设直线 圆 x2+相切于 G，连接 过 H， |2c， |2a |2a 2c，则 |a c， = | = 即 3a2= 2e 1=0，解得 e= （舍）或 e= 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17在等差数列 ， ，其前 n 项和为 比数列 各项均为正数， ，3=21， 2 （ 1）求 （ 2）设数列 前 n 项和为 使不等式 4立的最小正整数 n 的值 【考点】 数列与不等式的综合；等差数 列的通项公式 第 14 页（共 21 页） 【分析】 （ 1）通过设等差数列 公差为 d、等比数列 公比为 q（ q 0），利用 3=21、2 联立方程组计算可知 q=d=3，进而计算可得结论； （ 2）通过（ 1）及等比、等差数列的求和公式计算可知 、 60，代入化简即得结论 【解答】 解：（ 1）设等差数列 公差为 d，等比数列 公比为 q（ q 0）， 则： 3=a2=q+3（ 3+d） =21， +（ 3+d）， 整理得： ，解得： 或 （舍）， 数列 首项、公差均为 3 的等差数列，数列 首项为 1、公比为 3 的等比数列， n， n 1； （ 2）由（ 1）可知 = ， =360， 不等式 4立等价于 4 360，即 3n 181， 34=81 181 35=243， 满足条件的最小正整数 n=5 18如图，在四棱锥 P ， 底面 面 梯形， C=， ，点 E 在棱 ，且 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 【考点】 平面与 平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）连结 于点 O，连结 导出 而 = ，进而 ，推导出 此能证明 平面 （ 2）取 点 F，连结 导出 而 平面 此能证明平面 平面 【解答】 证明：（ 1）连结 于点 O，连 结 底面 梯形， C=， ， 第 15 页（共 21 页） = ， 点 E 在棱 ，且 ， 面 面 平面 （ 2）取 点 F，连结 在四棱锥 P ， 底面 面 梯形， B=A=1， ， 边形 正方形， F= D=A， 平面 面 平面 平面 19某中学进行教学改革试点，推行 “高效课堂 ”的教学法，为了比较教学效果，某化学老师分别用原传统教学和 “高效课堂 ”两种不同的教学方式，在甲乙两个平行班进行教学实验，为了了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩 进行统计，作出的茎叶图如下：记成绩不低于 70 分者为 “成绩优良 ” （ 1）分别计算甲乙两班 20 各样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳； （ 2）由以上统计数据填写下面的 2 2 列联表，并判断 “成绩优良 ”与教学方式是否有关？ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附： = 独立性检验临界值表 P（ k） k 16 页（共 21 页） 【考点】 独立性检验的应用；茎叶图 【分析】 （ 1）根据茎叶图计算甲、乙两班数学成绩前 10 名学生的平均分即可； （ 2）填写列联表，计算 照数表即可得出结论 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1）甲班数学成绩前 10 名学生的平均分为 = （ 72+74+74+79+79+80+81+85+89+96） = 乙 班数学成绩前 10 名学生的平均分为 = （ 78+80+81+85+86+93+96+97+99+99） = = 由此判断使用 “高效教学法 ”的乙班教学效果更佳； 5 分 （ 2）根据茎叶图中的数据，列出列联表，如下； 甲班 乙班（ B 方式） 总计 成绩优良 10 16 26 成绩不优良 10 4 14 总计 20 20 40 计算 能在犯错误的概率不超过 前提下认为 “成绩优良 ”与数学方式有关 12 分 20已知圆 M 与圆 N：（ x ） 2+（ y+ ） 2=于直线 y=x 对称，且点 D（ ， ）在圆 M 上 （ 1）判断圆 M 与圆 N 的位置关系 （ 2）设 P 为圆 M 上任意一点， A（ 1， ） B（ 1， ）， 与 不共线， 交 G，求证 面积之比为定值 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）先求得点 N 关于 直线 y=x 对称点 M 的坐标，可得圆 M 的方程，再根据圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆相离 （ 2）设 ，则 ，可得 = = 设点P（ x， y），求得 值，可得 的值 第 17 页（共 21 页） 【解答】 解：（ 1）由于点 N（ ， ）关于直线 y=x 对称点 M（ ， ）， 故圆 M 的方程为：（ x+ ） 2+（ y ） 2= 把点 D（ ， ）在圆 M 上，可得 ，故圆 M 的方程为：（ x+ ） 2+（ y ） 2= 可得圆 N：（ x ） 2+（ y+ ） 2= ， N（ ， ）， 根据 | = ，故两圆相离 （ 2）设 ，则 ， = = 设点 P（ x， y），则（ x+ ） 2+（ y ） 2= x+1） 2+（ y ） 2=（ x+1） 2+ （ x+ ） 2= x； x 1） 2+（ y ） 2=（ x 1） 2+ （ x+ ） 2= x； =4， =2，即 =2 21已知函数 f（ x） = m 0） （ 1）当 m=2 时，求函数 y=f（ x）的单调递增区间； （ 2）若函数 f（ x）既有极大值，又有极小值，且当 0 x 4m 时， f（ x） m3x+ 恒成立，求 m 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1） m=2 时，可求出 f（ x），然后求导数，解 f（ x） 0 即可得出 y=f（ x）的单调递增区间； （ 2）求导数 ，根据题意可知一元二次方程 f（ x） =0 有两个不同实数根，从而可得出 ，构造函数 ，根据导数在 0，4m上的符号情况即可求出函数 g（ x）在 0， 4m上的最大值为 ，然后解不等式即可得出 m 的取值范围 第 18 页（共 21 页） 【解答】 解：（ 1） m=2 时， ， f（ x） =4x+3； 解 f（ x） 0 得， x 1，或 x 3； 函数 f（ x）的单调递增区间是（ ， 1， 3， +）； （ 2） ； f（ x）既有极大值又有极小值； 方程 f（ x） =0 有两个不同实数根； =46m 0， m 0； ； 令 = ， g（ x） =4 解 g（ x） =0 得， x=m 或 x=3m，且 m ； x 0， m）时， g（ x） 0， x （ m， 3m）时， g（ x） 0， x （ 3m， 4m时， g（ x） 0； x=m 时， g（ x）有极大值 ， x=3m 时， g（ x）有极小值 0，且 g（ 0） =0， g（ 4m） = ； g（ x）的最大值为 ，则 恒成立； m 2； ； m 的取值范围为 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 的 直径， C 为圆周上一点，过 C 作圆 O 的切线 l，过 A 作直线 l 的垂线 D 为垂足， 圆 O 交于点 E （ 1）求证： E=E； （ 2）若 ， ，求线段 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析