2016年福建省漳州市高考文科数学模拟试卷(5月)含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2016 年福建省漳州市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1已知集合 P=2， 3， 4， 5， 6， Q=3， 5， 7，若 M=PQ，则 M 的子集个数为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 2已知复数（ 1+i） z=3+i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 所对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3设命题 p：函数 f（ x） = R 上为增函数；命题 q：函数 f（ x） =奇函数，则下列命题中真命题是（ ） A p q B（ p） q C（ p） （ q） D p （ q） 4两向量 ，则 在 方向上的投影为（ ） A（ 1， 15） B（ 20， 36） C D 5已知函数 f（ x） =2 2x R，则函数 f（ x）的单调递增区间是（ ） A ， ， k Z B ， ， k Z C 2， 2， k Z D 2， 2， k Z 6已知函数 f（ x）满足 f（ 2x） =x，则 f（ 3） =（ ） A 执行如图的程序框图，若输入 n=4，则输出的结果是（ ） 第 2 页（共 23 页） A 30 B 62 C 126 D 254 8定长为 6 的线 段 两端点在抛物线 x 上移动，设点 P 为线段 中点，则 P到 y 轴距离的最小值为（ ） A 6 B 5 C 3 D 2 9三棱锥 S ， 平面 ， 边长为 的正三角形，则该三棱锥 S 外接球的表面积为（ ） A 3 B 5 C 9 D 12 10若实数 x， y 满足 ，则 x2+最小值为 （ ） A B C D 5 11一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（ ） 第 3 页（共 23 页） A + B + C + D 2 +3 12已知函数 f （ x） =x|x a| 3a， a 3若函数 f （ x）恰有两个不同的零点 x1， | |的取值范围是（ ） A（ 1， +） B（ ， +） C（ ， 1 D（ ， 二、填空题：本大题共 4 小题。每小题 5 分 . 13已知等比数列 ， 0， ， 2，则 14已知双曲线 （ m 0）的离心率为 ，则 m 的值为 15为推广漳州 “三宝 ”，某商场推出 “砸金蛋 ”促销活动，单笔购满 50 元可以玩一次 “砸金蛋 ”游戏，每次游戏可以砸两个金蛋，每砸一个金蛋可以等可能地得到 “水仙花卡片 ”， “片仔癀卡片 ”和 “八宝印泥卡片 ”中的一张，如果一次游戏中可以得到相同的卡片，那么该商场赠送一份奖品，则玩一次该游戏可以获赠一份奖品的概率是 16已知数列 ， 1，且 n（ =2 （ n N*），现给出下列 4 个结论： 数列 递增数列； 数列 递减数列； 存在 n N*，使得（ 2 +（ 2 +（ 2 2016； 存在 n N*，使得（ 2 2+（ 2 2+（ 2 2 2016； 其中正确的结论的序号是 （请写出所有正确结论的序号） 三、解答题 :解答写出文字说明、证明或验算步骤 17已知 三个内角为 A， B， C，向量 =（ =（ 满足 = （ 1）求证： 直角三角形； （ 2）若 ， ， P 是 的一点，且 20，设 ，求 第 4 页（共 23 页） 18某高校进行自主招生测试，报考学生有 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，为了研究学生的成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们测试的分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成 4 组： 70， 90），90， 110）， 110， 130）， 130， 150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 （ ）根据频率分布直方图可以估计女生测试成绩的平均值为 你估计男生 测试成绩的平均值，由此推断男、女生测试成绩的平均水平的高低； （ ）若规定分数不小于 110 分的学生为 “优秀生 ”，请你根据已知条件完成 2 2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为 “优秀生与性别有关 ”？ 优秀生 非优秀生 合计 男生 女生 合计 参考公式： 参考数据： P（ K2 9四棱锥 P ，平面 平面 边长为 的等边三角形， ，点 F 在线段 （ ）求证： 平面 第 5 页（共 23 页） （ ）若 平面 等边三角形，求点 F 到平面 距离 20已知定点 A（ 1， 0），动点 P 在圆 B：（ x+1） 2+6 上，线段 中垂线为直线 l，直线 l 交直线 点 Q，动点 Q 的轨迹为曲线 E （ ）求曲线 E 的方程； （ ）若点 P 在第二象限，且相应 的直线 l 与曲线 E 和抛物线 C： y= 相切，求点P 的坐标 21已知函数 f（ x） = ，函数 f（ x）的图象在点（ 2， f（ 2）处的切线与直线 y=x+e 垂直，其中实数 a 是常数， e 是自然对数的底数 （ ）求实数 a 的值； （ ）若关于 x 的不等式 f（ ） t 有解，求实数 t 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做 ，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图， O 的一条切线，切点为 B， 是 O 的割线， B （ 1）证明： D （ 2）证明： 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，圆 C 的参数方程为 （其中 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 = 和 = （ 0 ）与圆C 分别异于极点 O 的 A， B 两点 （ 1）求圆 C 的极坐标方程； （ 2）求 |最大值 选修 4等式选讲 第 6 页（共 23 页） 24已知函数 f（ x） =|2x+a| |2x 3|， a R （ 1）若 a=2，求不等式 f（ x） 3 的解集； （ 2）若存在实数 x 使得 f（ x） 2a 成立，求实数 a 的取值范围 第 7 页（共 23 页） 2016 年福建省漳州市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份） 参考答案与试题解析 一、选 择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1已知集合 P=2， 3， 4， 5， 6， Q=3， 5， 7，若 M=PQ，则 M 的子集个数为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 P 与 Q 的交集确定出 M，即可求出 M 子集的个数 【解答】 解： P=2， 3， 4， 5， 6， Q=3， 5， 7， M=PQ=3， 5， 则 M 的子集个数为 22=4 故选： B 2已知复数（ 1+i） z=3+i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 所 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求得 z 的坐标得答案 【解答】 解：由（ 1+i） z=3+i，得 ， 复数 z 所对应的点的坐标为（ 2， 1），在第四象限 故选： D 3设命题 p：函数 f（ x） = R 上为增函数；命题 q：函数 f（ x） =奇函数，则下列命题中真命题是（ ） A p q B（ p） q C（ p） （ q） D p （ q） 【考点】 复合命题的真假 【分析】 先判定命题 p， q 的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出 【解答】 解：命题 p：函数 f（ x） = R 上为增函数，是真命题； 命题 q：函数 f（ x） =偶函数，因此是假命题， q 是真命题 则下列命题中真命题是 p q 故选： D 4两向量 ，则 在 方向上的投影为（ ） A（ 1， 15） B（ 20， 36） C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 利用平面向量的数量积、向量的投影定义即可得出 【解答】 解： ， 第 8 页（共 23 页） =4 （ 5） +（ 3） （ 12） =16， = =13， 在 方向上的投影为 = ， 故选： C 5已知函数 f（ x） =2 2x R，则函数 f（ x）的单调递增区间是（ ） A ， ， k Z B ， ， k Z C 2， 2， k Z D 2， 2， k Z 【考点】 正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论 【解答】 解： 函数 f（ x） =2 22 =22x ） 1， x R， 令 2 2x 2，求得 x ，可得函数 f（ x）的单调递增区间为 ， ， k Z， 故选： B 6已知函数 f（ x）满足 f（ 2x） =x，则 f（ 3） =（ ） A 考点】 函数的值 【分析】 用换元法，设 2x=t，则 x=出解析式 f（ t），计算 f（ 3）的值即可 【解答】 解：设 2x=t， x= f（ t） = 即 f（ x） = f（ 3） = 故选： A 7执行如图的程序框图，若输入 n=4，则输出的结果是（ ） 第 9 页（共 23 页） A 30 B 62 C 126 D 254 【考点】 程序框图 【分析】 由程序框图知：算法的功能是求 S=2+22+23+2i 的值，根据条件确定跳出循环的 而计算输出的 S 值 【解答】 解：由程序框图知：算法的功能是求 S=2+22+23+2i 的值， 当输入 n=4 时，跳出循环的 i 值为 5， 输出 S=2+22+23+24+25=62 故选： B 8定长为 6 的线段 两端点在抛物线 x 上移动，设点 P 为线段 中点，则 P到 y 轴距离的最小值为（ ） A 6 B 5 C 3 D 2 【考点】 抛物线的简单性 质 【分析】 先设出 M， N 的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出 M 到 据抛物线的定义结合两边之和大于第三边且 A， B， F 三点共线时取等号判断出的最小值即可 【解答】 解：设 M（ N（ 抛物线的 x 准线 x= 1， P 到 y 轴距离 S= = 1 1=3 1=2， 当且仅当 M， N 过 F 点时取等号， 故选： D 第 10 页（共 23 页） 9三棱锥 S ， 平面 ， 边长为 的正三角形，则该三棱锥 S 外接球的表面积为（ ） A 3 B 5 C 9 D 12 【考点】 球内接多面体；球的体积和表面积 【分析】 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以 B 为高的正三棱柱的外接球，分别求 出棱锥底面半径 r，和球心距 d，得球的半径 R，然后求解表面积 【解答】 解：根据已知中 平面 ， 边长为 的正三角形， 可得此三棱锥外接球，即为以 底面以 高的正三棱柱的外接球， 边长为 的正三角形， 外接圆半径 r= =1，球心到 外接圆圆心的距离 d= ， 故球的半径 R= = 三棱锥 S 接球的表面积为： 4 =9 故选： C 10若实数 x， y 满足 ，则 x2+最小值为（ ） A B C D 5 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的距离公式进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域， x2+几何意义是区域内的点到原点的距离的平方， 由图象知 O 到直线 x+y 3=0 的距离最小， 此时 d= = ， 则 x2+最小 （ ） 2= ， 故选： B 第 11 页（共 23 页） 11一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则余下部分的几何体的体积为（ ） A + B + C + D 2 +3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图求出圆锥的高和底面半径，再求出截去的底面弧的圆心角，由扇形面积公式求出底面剩余部分的面积，代入锥体体积公式 计算可得答案 【解答】 解：由三视图得，圆锥底面半径为 r= = ， 圆锥的高 h= = ， 由俯视图和侧视图可得： 截去的底面弧的圆心角 =2 = ， 底面剩余部分的面积 S= =1+ ， 所以几何体的体积为： V= （ 1+ ） = ， 故选： A 第 12 页（共 23 页） 12已知函数 f （ x） =x|x a| 3a， a 3 若函数 f （ x）恰有两个不同的零点 x1， | |的取值范围是（ ） A（ 1， +） B（ ， +） C（ ， 1 D（ ， 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【分 析】 当 a 3 的取值范围结合函数 f（ x）有两个零点，利用韦达定理写出 x1+x1合一元二次函数的性质进行求解即可 【解答】 解： f （ x） =x|x a| 3a= ， a 3， 当 x a 3，令 f（ x） =0， 3a=0， x=3，不满足， x a 时，函数 f （ x）恰有两个不同的零点 令 f（ x） =0，则可得 方程 23a=0 的两个根， 则： x1+， x1 ， | |= = = = （ ， 1， 故答案选： C 二、填空题：本大题共 4 小题。每小题 5 分 . 13已知等比数列 ， 0， ， 2，则 6 【考点】 等比数列的性质 【分析】 直接利用等比数列的性质求解即可 【解答】 解：等比数列 ， 0， ， 2， 可得 = =6 故答案为： 6 14已知双曲线 （ m 0）的离心率为 ，则 m 的值为 3 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的几何量，通过离心率求解即可 【解答】 解：双曲线 （ m 0）的离心率为 ， 可得： = ，解得 m=3 故答案为： 3 15为推广漳州 “三宝 ”，某商场推出 “砸金蛋 ”促销活动，单笔购满 50 元可以玩一次 “砸金蛋 ”游戏，每次游戏可以砸两个金蛋，每砸一个金蛋可以等可能地得到 “水仙花卡片 ”， “片仔癀第 13 页（共 23 页） 卡片 ”和 “八宝印泥卡片 ”中的一张，如果一次游戏中可以得到相同的卡片，那么该商场赠送一份奖品，则玩一次该游戏可以获赠一份奖品的概率是 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 “水仙花卡片 ”， “片仔癀卡片 ”和 “八宝印泥卡片 ”分别用 a， b， c 表示，列 举出所有的基本事件，再根据概率公式计算即可 【解答】 解： “水仙花卡片 ”， “片仔癀卡片 ”和 “八宝印泥卡片 ”分别用 a， b， c 表示， 一次游戏中，得到的卡片的基本事件有 9 种， 其中以得到相同的卡片有 3 种， 故玩一次该游戏可以获赠一份奖品的概率是 = ， 故答案为： 16已 知数列 ， 1，且 n（ =2 （ n N*），现给出下列 4 个结论： 数列 递增数列； 数列 递减数列； 存在 n N*，使得（ 2 +（ 2 +（ 2 2016； 存在 n N*，使得（ 2 2+（ 2 2+（ 2 2 2016； 其中正确的结论的序号是 （请写出所有正确结论的序号） 【考点】 数列递推式 【分析】 对于 ：由 n（ =2 （ n N*），变形为（ n+1） ，利用 等差数列的通项公式可得： ，即可判断出正误 对于 ：（ 2 +（ 2 +（ 2 =3 ，由于 n+时， 1+ +，即可判断出正误； 对于 ：（ 2 2= =9 ，（ n 2）时，利用 “裂项求和 ”即可判断出正误 【解答】 解：对于 ： n（ =2 （ n N*）， （ n+1） ， 数列 等差数列，首项为 1，公差为 2 1+2（ n 1） =2n 3， 解得 ， 数列 单调递增数列， 因此 不正确， 正确 对于 ：（ 2 +（ 2 +（ 2 =2n=3 ， 第 14 页（共 23 页） 由于 n+时， 1+ + +，因此存在 n N*，使得（ 2 +（ 2 +（ 2 2016，正确 对于 ：（ 2 2= =9 ，（ n 2）时， n 2 时，（ 2 2+（ 2 2+（ 2 2 9+9 +=9+9 18， 因此不存在 n N*，使得（ 2 2+（ 2 2+（ 2 2 2016 综上可得：只有 正确 故答案为： 三、解答题 :解答写出文字说明、证明或验算步骤 17已知 三个内角为 A， B， C，向量 =（ =（ 满足 = （ 1）求证： 直角三角形； （ 2）若 ， ， P 是 的一点，且 20，设 ，求 【考点】 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ 1）根据 =， B， C 之间的关系，使用两角和的余弦公式即可得出 ； （ 2）用 表示出 别在 使用正弦定理得出 可列出关于 的方程，得出 【解答】 解：（ 1） = A+B） = ， 0 C ， C= 直角三角形 （ 2） 20， 0 ， 0 0+， 0 0 第 15 页（共 23 页） 在 ，由正弦定理得 ，即 ， 在 ，由正弦定理得 ，即 ， 30 ） 30 ） = 3 4 18某高校进行自主招生测试，报考学生有 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，为了研究学生的成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们测试的分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成 4 组： 70， 90），90， 110）， 110， 130）， 130， 150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 （ ）根据频率分布直方图可以估计女生测试成绩的平均值为 你估计男生测试成绩的平均值，由此推断男、女生测试成绩的平均水平的高低； （ ）若规定分数不小于 110 分的学生为 “优秀生 ”，请你根据已知条件完成 2 2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为 “优秀生与性别有关 ”？ 优秀生 非优秀生 合计 男生 女生 合计 参考公式： 参考数据： P（ K2 考点】 独 立性检验 第 16 页（共 23 页） 【分析】 （ ）利用同一组数据用该区间中点值作代表，计算男生的成绩平均数，即可得出结论； （ ）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到结论 【解答】 解：（ ）由频率分布直方图可以估计男生测试的成绩的平均值为 =80 20+100 20+120 20+140 20=100 分， 因为 100， 所以由此可以判断，女生测试成绩的平均水平略高于男生 （ ）由频数分布表可知：在抽取的 100 学生中，男生有 100 =60（人），测试成绩优秀的男生有 60 （ 20=15 人， 女生有 100 =40（人），测试成绩优秀的女生有 40 （ 20=15 人， 据此可得 2 2 列联表如下： 优秀生 非优秀生 合计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计 30 70 100 可得 = 为 以没有 90%的把握认为 “数学成绩与性别有关 ” 19四棱锥 P ，平面 平面 边长为 的等边三角形， ，点 F 在线段 （ ）求证： 平面 （ ）若 平面 等边三角形，求点 F 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）根据面面垂直的性质定理证明平面 平面 可证明 平面 （ ）根据点到平面的距离的定义作出点 F 到平面的距离，结合三角形的边角关系进行求解即可 【解答】 解：（ ） ， ， ， = ， 第 17 页（共 23 页） 则 0， 等边三角形， 0， 0，即 平面 平面 面 面 D， 平面 平面 （ ） 在平面 过 B 作 G， 面 平面 则 平面 由（ 1）得 连接 平面 面 G=B， 平面 平面 平面 别交平面 ， 则直角三角形 ， ， 0， ， = = ， 在平面 过 F 作 H， 平面 面 D=D， 平面 H， 则 点 F 到平面 距离 过 A 作 M， 边长为 2 的等边三角形， = ， = = ， ， 即点 F 到平面 距离是 第 18 页（共 23 页） 20已知定点 A（ 1， 0），动点 P 在圆 B：（ x+1） 2+6 上，线段 中垂线为直线 l，直线 l 交直线 点 Q，动点 Q 的轨迹为曲线 E （ ）求曲线 E 的方程； （ ）若点 P 在第二象限，且相应的直线 l 与曲 线 E 和抛物线 C： y= 相切，求点P 的坐标 【考点】 抛物线的简单性质；直线与圆相交的性质 【分析】 （ ）利用垂直平分线的性质可得 |由 |4，可得|4，利用椭圆的定义可得点 Q 的轨迹是一个椭圆； （ ）设 l： y=kx+m 代入椭圆、抛物线的方程，利用判别式等于 0， A 与 P 关于直线 l 对称，即可求点 P 的坐标 【解答】 解：（ ）由条件知： | |4， |4， |2 4， 所以点 Q 的轨迹是以 B， A 为焦点的椭圆， 2a=4， 2c=2， ， 曲线 E 的方程是 =1； （ ）由题意，设 l： y=kx+m，代入 =1 得（ 4） （ 3） =0， 1=（ 8 4（ 4） 4（ 3） =0， 4=0 把 代入： y= ： x2+kx+m=0， 由 2= =0，得 m=8 由 解得 k= ， m=2 设 P（ 则 0， 0 A 与 P 关于直线 l 对称， 0， 第 19 页（共 23 页） k 0， k= ， l： y= x+2，则 ， 1， ， 经检验 P（ 1， 4）在圆 C 上 故所求点 P 的坐标为 P（ 1， 4） 21已知函数 f（ x） = ，函数 f（ x）的图象在点（ 2， f（ 2）处的切线与直线 y=x+e 垂直，其中实数 a 是常数， e 是自然对数的底数 （ ）求实数 a 的值； （ ）若关于 x 的不等式 f（ ） t 有解，求实数 t 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析 】 （ ）求导数，利用函数 f（ x）的图象在点（ 2， f（ 2）处的切线与直线 y= x+实数 a 的值； （ ）由于 1，关于 x 的不等式 f（ ） t 有解，等价于 1，使得 f（ x） t，即 t，即 tx+t e 0 成立分类讨论，利用导数确定函数的单调性，即可求实数 t 的取值范围 【解答】 解：（ ） f（ x） = ， f（ x） = ， 函数 f（ x）的图象在点（ 2， f（ 2）处的切线与直线 y= x+e 垂直， f（ 2） =e， f（ 2） =a， a=e； （ ）由（ ）可知 f（ x） = ， 1， 关于 x 的不等式 f（ ） t 有解，等价于 1，使得 f（ x） t，即 t， 即 tx+t e 0 成立 第 20 页（共 23 页） 令 g（ x） =tx+t e，则 g（ x） =t t e，则 x 1 时， g（ x） =t e t 0， g（ x）在 1， +）上是增函数， x 1 时， g（ x） g（ 1） =0， tx+t e 0 不成立； t e，则由 g（ x） =t=0 得 x=1， x （ 1， ， g（ x） 0， g（ x）在 1， 是减函数， x （ 1， ， g（ x） g（ 1） =0， tx+t e 0 成立 综上所述，实数 t 的取值范围是（ e， +） 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多