湖北省黄冈市2015-2016年高二下期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2015年湖北省黄冈市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1已知 A=y|y=x 1， B=y|y=（ ） x， x 1，则 AB=（ ） A B（ 0， 1） C D 2如表是某厂 1 4 月份用水量 （单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 = ，则 =（ ） 月份 x 1 2 3 4 用水量 y 3 A 若（ 3） n 的展开式 中含有常数项，则正整数 n 取得最小值时常数项为（ ） A B 135 C D 135 4若 f（ =2，则 等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 5已知随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2），其正态分布密度曲线为函数 f（ x）的图象，且 f（ x） ，则 P（ x 4） =（ ） A B C D 6设点 P 是曲线 y=x+ 上的任意一点， P 点处的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ） A ） B 0， ） （ ） C 0， ） ， ）D ， ） 7已知 f（ n） = + + ，则 f（ k+1） f（ k）等于（ ） A B C + + D 8若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为 “伞数 ”现从 1， 2，3， 4， 5， 6 这六个数字中任取 3 个数，组成无重复数字的三位数，其中 “伞数 ”有（ ） 第 2 页（共 20 页） A 120 个 B 80 个 C 40 个 D 20 个 9下列判断错误的是（ ） A若随机变量 服从正态分布 N（ 1， 2） ， P（ 4） = P（ 2） =若 n 组数据（ （ 散点都在 y= 2x+1 上，则相关系数 r= 1 C若随机变量 服从二项分布： B（ 5， ），则 D “ “a b”的必要不充分条件 10春节期间， “厉行节约，反对浪费 ”之风悄然吹开，某市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否能做到 “光盘 ”行动，得到如下的列联表： 做不到 “光盘 ” 能做到 “光盘 ” 男 45 10 女 30 15 P（ k） k ： 参照附表，得到的正确结论是（ ） A在犯错误的概率不超过 l%的前提下，认为 “该市居民能否做到 光盘 与性别有关 ” B在犯错误的概率不超过 l%的前提下，认为 “该市居民能否做到 光盘 与性别无关 ” C有 90%以上的把握认为 “该市居民能否做到 光盘 与性别有关 ” D有 90%以上的把握认为 “该市居民能否做到 光盘 与性别无关 ” 11给出下列四个 命题： f（ x） =3增函数，无极值 f（ x） =3（ ， 2）上没有最大值 由曲线 y=x， y=围成图形的面积是 函数 f（ x） =在与直线 2x y=0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是（ ， 2） 其中正确命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 12定义在区间 0， a上的函数 f（ x）的图象如图所示，记以 A（ 0， f（ 0）， B（ a， f（ a），C（ x， f（ x）为顶点的三角形的面积为 S（ x） ，则函数 S（ x）的导函数 S（ x）的图象大致是（ ） 第 3 页（共 20 页） A B C D 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13下面是关于复数 z= 的四个命题： |z|=2， i， z 的共轭复数为 1+i，z 的虚部为 1 其中的真命题为 14某校开设 9 门课程供学生选修，其中 A， B， 课由于上课时间相同，至多选 1 门，若学校规定每位学生选修 4 门，则不同选修方案共有 种 15二维空间中圆的一维测度（周长） l=2r，二维测度（面积） S=维空间中球的二维测度（表面积） S=4维测度（体积） V= 维空间中 “超球 ”的三维测度 V=8猜想其四维测度 W= 16已知 f（ x） = x3+x， x R，若至少存在一个实数 x 使得 f（ a x） +f（ 1） 0 成立， a 的范围为 三、解答题（本大题共 5 小题， 70 分） 17已知：全集 U=R，函数 的定义域为集合 A，集合 B=x|a 0 （ 1）求 （ 2）若 A B=A，求实数 a 的范围 18已知函数 f（ x） = （ a、 b 为常数），且 f（ 1） = ， f（ 0） =0 （ ）求函数 f（ x）的解析式； （ ）判断函数 f（ x）在定义域上的奇偶性，并证明； （ ）对于任意的 x 0， 2， f（ x）（ 2x+1） m4x 恒成立，求实数 m 的取值范围 19甲、乙两位小学生各有 2008 年奥运吉祥物 “福娃 ”5 个（其中 “贝贝 ”、 “晶晶 ”、 “欢欢 ”、“迎迎 ”和 “妮妮各一个 ”），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃， 规定掷骰子的次数达 9 次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止记游戏终止时投掷骰子的次数为 （ 1）求掷骰子的次数为 7 的概率； （ 2）求 的分布列及数学期望 20一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为 1 万元，每生产 1 万件需要再投入 2万元，设该公司一个月内生产该小型产品 x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为 4 每万件国家给予补助 2e 万元（ e 为自然对数的底数， e 是一个常数 ） 第 4 页（共 20 页） （ ）写出月利润 f（ x）（万元）关于月产量 x（万件）的函数解析式 （ ）当月产量在 1， 2e万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）（注：月利润 =月销售收入 +月国家补助月总成本） 21已知函数 （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）证明：若 a 5，则对任意 ，有 四、选考题 （本题满分 10 分）（请在以下甲、乙、丙三个选考题中任选一个作答，多答则以第一个计分） 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， O 的切线， O 于点 E （ ）若 D 为 中点，证明： O 的切线； （ ）若 大小 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 C 的参数方程是 （ 为参数），直线 l 的参数方程为（ t 为参数）， （ 1）求曲线 C 与直线 l 的普通方程； （ 2）若直线 l 与曲线 C 相交于 P， Q 两点，且 | ，求实数 m 的值 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|x 1|+|x a| （ 1）若 a= 1，解不等式 f（ x） 3 （ 2）如果 x R， f（ x） 2，求 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2015年湖北省黄冈市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考 答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1已知 A=y|y=x 1， B=y|y=（ ） x， x 1，则 AB=（ ） A B（ 0， 1） C D 【考点】 交集及其运算 【分析】 由题设条件知 A=y|y 0， B=y|0 y ，由此能够得到 AB 的值 【解答】 解： ， = 故选 A 2如表是某厂 1 4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 = ，则 =（ ） 月份 x 1 2 3 4 用水量 y 3 A 考点】 线性回归方程 【分析】 计算样本中心，代入回归方程得出 【解答】 解： = ， = ，解得 = 故选 C 3若（ 3） n 的展开式中含有常数项，则正整数 n 取得最小值时常数项为（ ） A B 135 C D 135 【考点】 二项式定理的应用 第 6 页（共 20 页） 【分析】 通过二项展开式的通项公式 ，令 x 的次数为 0 即可求得正整数 n 取得最小值时常数项 【解答】 解： = ， 2n 5r=0，又 n N*， r 0， n=5， r=2 时满足题意，此时常数项为： ； 故选 C 4若 f（ =2，则 等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 【考点】 极限及其运算 【分析】 首先应该紧扣函数在一点导数的概念，由概念的应用直接列出等式，与式子对比求解 【解答】 解析：因为 f（ =2，由导数的定义 即 =2 = 1 所以答案选择 A 5已知随 机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2），其正态分布密度曲线为函数 f（ x）的图象，且 f（ x） ，则 P（ x 4） =（ ） A B C D 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线 所表示的意义 【分析】 随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2），所以 =2，即函数 f（ x）的图象关于直线x=2 对称，因为 f（ x） ，所以 P（ 0 X 2） = ，利用图象的对称性，即可得出结论 【解答】 解：因为随机变量 X 服从正态分布 N（ 2， 2），所以 =2，即函数 f（ x）的图象关于直线 x=2 对称， 因为 f（ x） ，所以 P（ 0 X 2） = ， 所以 P（ 2 X 4） = ， 第 7 页（共 20 页） 所以 P（ X 4） = = ， 故选： A 6设点 P 是曲线 y=x+ 上的任意一点， P 点处的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ） A ） B 0， ） （ ） C 0， ） ， ）D ， ） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求函数的导数，利用导数的几何意义结合三角函数的图象和性质进行求解即可 【解答】 解：函数的导数 f（ x） = ， 即切线的斜率满足 k= ， 则 0， ） （ ）， 故选： B 7已知 f（ n） = + + ，则 f（ k+1） f（ k）等于（ ） A B C + + D 【考点】 函数的值 【分析】 先分别求出 f（ k+1）， f（ k），由此能求出 f（ k+1） f（ k） 【解答】 解： f（ n） = + + ， f（ k+1） = + + + + f（ k） = f（ k+1） f（ k） = + 故选： C 8若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为 “伞数 ”现从 1， 2，3， 4， 5， 6 这六个数字中任取 3 个数，组成无重复数字的三位数，其中 “伞数 ”有（ ） A 120 个 B 80 个 C 40 个 D 20 个 【考点】 排列、组合的实际应用 第 8 页（共 20 页） 【分析】 根据题意，因十位上的数最大，则其只能为 3、 4、 5、 6，进而分四种情形处理，即当十位数字分别为 3、 4、 5、 6 时，计 算每种情况下百位、个位的数字的情况数目，由分类计数原理，计算可得答案 【解答】 解：根据题意，十位上的数最大，只能为 3、 4、 5、 6， 分四种情形处理，当十位数字为 3 时，百位、个位的数字为 1、 2，有 选法， 当十位数字为 4 时，百位、个位的数字为 1、 2、 3，有 选法， 当十位数字为 5 时，百位、个位的数字为 1、 2、 3、 4，有 选法， 当十位数字为 6 时，百位、个位的数字为 1、 2、 3、 4、 5，有 选法， 则伞数的个数为 32+52=40； 故选 C 9下列判断错误的是（ ） A若随机变量 服从正态分布 N（ 1， 2）， P（ 4） = P（ 2） =若 n 组数据（ （ 散点都在 y= 2x+1 上，则相关系数 r= 1 C若随机变量 服从二项分布： B（ 5， ），则 D “ “a b”的必要不充分条件 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；命题的真假判断与应用 【分析】 根据正态分布的对称性，可判断 A；根据相关系数的定义，可判断 B；根据服从二项分布的变量的期望值公式，可判断 C；根据不等式的基本性质，可判断 D； 【解答】 解： P（ 4） = P（ 4） =1 又 随机变量 服从正态分布 N（ 1， 2）， P（ 2） =（ 4） = A 正确； 若 n 组数据（ （ 散点都在 y= 2x+1 上， 则 x， y 成负相关，且相关关系最强， 此时相关系数 r= 1，故 B 正确； 若随机变量 服从二项分布： B（ 5， ）， 则 =1 “， 0，故 “a b”， “a b， m=0”时， “成立， 故 “ “a b”的充分不必要条件，故 D 错误； 故选： D 10春节期间， “厉行节约，反对浪费 ”之风悄然吹开，某市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否能做到 “光盘 ”行动，得到如下的列联表： 做不到 “光盘 ” 能做到 “光盘 ” 男 45 10 女 30 15 P（ k） k 9 页（共 20 页） 附： 参照附表，得到的正确结论是（ ） A在犯错误的概率不超过 l%的前提下，认为 “该市居民能否做到 光盘 与性别有关 ” B在犯错误的概率不超过 l%的前提下，认为 “该市居民能否做到 光盘 与性别无关 ” C有 90%以上的把握认为 “该市居民能否做到 光盘 与性别有关 ” D有 90%以上的把握认为 “该市居民能否做到 光盘 与性别无关 ” 【考点】 独立性检验 【分析】 通过图表读取数据，代入观测值公式计算，然后参照临界值表即可得到正确结论 【 解答】 解：由 2 2 列联表得到 a=45， b=10， c=30， d=15 则 a+b=55， c+d=45， a+c=75， b+d=25， 75， 00， n=100 代入 ， 得 观测值 k= 因为 所以有 90%以上的把握认为 “该市居民能否做到 光盘 与性别有关 ” 故选 C 11给出下列四个命题： f（ x） =3增函数，无极值 f（ x） =3（ ， 2）上没有最大值 由曲线 y=x， y=围成图形的面积是 函数 f（ x） =在与直线 2x y=0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是（ ， 2） 其中正确命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 求导数 f（ x），利用导数判定 f（ x）的增减性和极值； 结合 ，利用导数判定 f（ x）的增减性、求极（最）值； 利用定积分求出曲线 y=x， y=围成图形的 面积 S； 利用导数求出 f（ x）的切线的斜率为 2 时 a 的取值范围，去掉重和的切线 【解答】 解：对于 ， f（ x） =36x=3x（ x 2）， 当 x 0 时， f（ x） 0， f（ x）是增函数， 当 0 x 2 时， f（ x） 0， f（ x）是减函数， 当 x 2 时， f（ x） 0， f（ x）是增函数； x=0 时 f（ x）有极大值， x=2 时 f（ x）有极小值， 错误 对于 ，由 知，当 x 0 时， f（ x） 0， f（ x）是增函数， 当 0 x 2 时， f（ x） 0， f（ x）是减函数； x=0 时 f（ x）有极大值 f（ 0） ，也是最大值， 错误 第 10 页（共 20 页） 对于 ， ，解得 ，或 ； 由曲线 y=x， y=围成图形的面积 S= （ x = = ， 正确 对于 ， f（ x） = +a=2（ x 0）， a=2 0； a 的取值范围是（ ， 2）， 又当 a=2 时， f（ x）的一条切线方程为 2x y=0， 错误 综上，以上正确的命题为 故选： A 12定义在区间 0， a上的函数 f（ x）的图象如图所示，记以 A（ 0， f（ 0）， B（ a， f（ a），C（ x， f（ x）为顶点的三角形的面积为 S（ x），则函数 S（ x）的导函数 S（ x）的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的单调性与导数的关系 【分析】 先分析出函数 S（ x）的表达式为 |h，其中 h 为点 C 到直线 距离且 |定值，再利用 h 在区间 0， a上的变化情况，得出函数 S（ x）的增减变化，即可得到其导函数 S（ x）的图象 【解答】 解：连接 底， C 到 距离为高 h让 C 从 A 运动到 B，明显 h 是一个平滑的变化，这样 S（ x）也是平滑的变化 因为函数 S（ x） = |h，其中 h 为点 C 到直线 距离 |定值 当点 C 在（ 0， ， h 越来越大， s 也越来越大，即原函数递增，故导函数为正； 当点 C 在 ， h 越来越小， s 也越来越小，即原函数递减，故导函数为负；变化率的绝对值由小边大； 当点 C 在（ ， h 越来越大， s 也越来越大，即原函数递增，故导函数为正；变化率由大变小； 当点 C 在 a）时， h 越来越小， s 也越来越小，即原函数递减，故导函数为负 第 11 页（共 20 页） 故选 D 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13下面是关于复数 z= 的四个命题： |z|=2， i， z 的共轭复数为 1+i，z 的虚部为 1 其中的真命题为 【考点】 复数代数形式的乘除运算；命题的真假判断与应用 【分析】 根据复数的除法运算法则先化简复数为 a+a、 b R 形式，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解 【解答】 解：解： 复数 z= = = = 1 i |Z|= ， 正确； 1） 2+i=2i， i，正确； = 1+i， z 的共轭复数为 1+i，不正确； Z= 1 i， 虚部为 1 z 的虚部为 1 正确 故答案为： 4 某校开设 9 门课程供学生选修，其中 A， B， 课由于上课时间相同，至多选 1 门，若学校规定每位学生选修 4 门，则不同选修方案共有 75 种 【考点】 计数原理的应用 【分析】 由题意分两类，可以从 A、 B、 C 三门选一门，再从其它 6 门选 3 门，也可以从其他六门中选 4 门，根据分类计数加法得到结果 【解答】 解：由题意知本题需要分类来解， 第一类，若从 A、 B、 C 三门选一门，再从其它 6 门选 3 门，有 63=60， 第二类，若从其他六门中选 4 门有 5， 根据分类计数加法得到共有 60+15=75 种不同的方法 故答案为： 75 15二维空间中圆的一维测度（周长） l=2r，二维测度（面积） S=维空间中球的二维测度（表面积） S=4维测度（体积） V= 维空间中 “超球 ”的三维测度 V=8猜想其四维测度 W= 2 【考点】 类比推理 【分析】 根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到 W=V，从而求出所求 【解答】 解： 二维空间中圆的一维测度（周长） l=2r，二维测度（面积） S=察发现 S=l 第 12 页（共 20 页） 三维空间中球的二维测度（表面积） S=4维测度（体积） V= 察发现 V=S 四维空间中 “超球 ”的三维测度 V=8想其四维测度 W，则 W=V=8 W=2 故答案为： 26已知 f（ x） = x3+x， x R，若至少存在一个实数 x 使得 f（ a x） +f（ 1） 0 成立， a 的范围为 （ ， ） 【考点】 特称命题 【分析】 根据 f（ x） = x3+x， x R 为奇函数，且在 R 上单调递增，由题意可得 x+a 1 0 有解分类讨论，求得 a 的范围 【解答】 解： f（ x） = x3+x， x R 为奇函数，且在 R 上单调递增， 至少存在一个实数 x 使得 f（ a x） +f（ 1） 0 成立， 即不等式 f（ a x） f（ 1） =f（ 1 解， a x 1 解，即 x+a 1 0 有解 显然， a=0 满足条件 当 a 0 时，由 =1 4a（ a 1） 0，即 44a 1 0， 求得 a ， 0 a 当 a 0 时，不等式 x+a 1 0 一定有解 故答案为：（ ， ） 三、解答题（本大题共 5 小题， 70 分） 17已知：全 集 U=R，函数 的定义域为集合 A，集合 B=x|a 0 （ 1）求 （ 2）若 A B=A，求实数 a 的范围 【考点】 并集及其运算；补集及其运算 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的定义域，确定出 A，由全集 U=R，求出 A 的补集即可； （ 2）根据 A 与 B 的并集为 A 得到 B 为 A 的子集，分 a 小于等于 0 与 a 大于 0 两种情况考虑，即可确定出 a 的范围 【解答】 解：（ 1） ， 2 x 3，即 A=（ 2， 3）， 全集 U=R， ， 2 3， +）； （ 2）当 a 0 时， B=，满足 A B=A； 第 13 页（共 20 页） 当 a 0 时， B=（ ， ）， A B=A， B A， ， 0 a 4， 综上所述：实数 a 的范围是 a 4 18已知函数 f（ x） = （ a、 b 为常数），且 f（ 1） = ， f（ 0） =0 （ ）求函数 f（ x）的解析式； （ ）判断函数 f（ x）在定义域上的奇偶性，并证明； （ ）对于任意的 x 0， 2， f（ x）（ 2x+1） m4x 恒成立，求实数 m 的取值范围 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 （ ）运用代入法，得到 a， b 的方程，解得 a， b，可得 f（ x）的解析式； （ ） 函数 f（ x）为奇函数运用奇函数的定义，即可得证； （ ） f（ x）（ 2x+1） m4x 恒成立，即为 2x 1 m4x，运用参数分离和换元法，结合指数函数和二次函数 的值域，可得右边的最大值，即可得到 m 的范围 【解答】 解：（ ）由已知可得 ， ， 解得 a=1， b= 1， 所以 ； （ ） 函数 f（ x）为奇函数 证明如下： f（ x）的定义域为 R， ， 函数 f（ x）为奇函数； （ ） ， ， 2x 1 m4x =g（ x）， 故对于任意的 x 0， 2， f（ x）（ 2x+1） m4x 恒成立等价于 m g（ x） ，则 y=t 则当 时 ， 第 14 页（共 20 页） 故 ， 即 m 的取值范围为 19甲、乙两位小学生各有 2008 年奥运吉祥物 “福娃 ”5 个（其中 “贝贝 ”、 “晶晶 ”、 “欢欢 ”、“迎迎 ”和 “妮妮各一个 ”），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达 9 次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止记游戏终止时投掷骰子的次数为 （ 1）求掷骰子的次数为 7 的概率； （ 2）求 的分布列及数学期望 【考点】 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 对于（ 1）求掷骰子的次数为 7 的概率首先可以分析得到甲赢或乙赢的概率均为 ，若第 7 次甲赢意味着 “第七次甲赢，前 6 次赢 5 次，但根据规则，前 5 次中必输 1 次 ”若乙赢同样故可根据二项分布列出式子求解即可 对于（ 2）求 的分布列及数学期望 可以设奇数出现的次数为 m，偶数出现的次数为n然后根据题意列出关系式，求出可能的 m n 的值又 =m+n，求出 的可能取值，然后分别求出概率即可得到 的分布列，再根据期望公式求得 可 【解答】 解：（ 1）当 =7 时，若甲赢意味着 “第七次甲赢，前 6 次赢 5 次， 但根据规则，前 5 次中必输 1 次 ”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为 ， 因此 P（ =7） = （ 2）设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为 m， 向上的点数是偶数出现的次数为 n， 则由 ，可 得： 当 m=5， n=0 或 m=0， n=5 时， =5； 当 m=6n=1 或 m=1， n=6 时， =7 当 m=7， n=2 或 m=2， n=7 时， =9 因此 的可能取值是 5、 7、 9 每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是第 15 页（共 20 页） 所以 的分布列是：故 20一家公司计划生 产某种小型产品的月固定成本为 1 万元，每生产 1 万件需要再投入 2万元，设该公司一个月内生产该小型产品 x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为 4 每万件国家给予补助 2e 万元（ e 为自然对数的底数， e 是一个常数） （ ）写出月利润 f（ x）（万元）关于月产量 x（万件）的函数解析式 （ ）当月产量在 1， 2e万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件 ）（注：月利润 =月销售收入 +月国家补助月总成本） 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ ）由月利润 =月销售收入 +月国家补助月总成本，即可列出函数关系式； （ 2）利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最大值 【解答】 解：（ ）由于：月利润 =月销售收入 +月国家补助月总成本，可得 （ ） f（ x） = （ e+1） x 22 的定义域为 1， 2e， 且 列表如下 ： x （ 1， e） e （ e， 2e f（ x） + 0 f（ x） 增 极大值 f（ e） 减 由上表得： f（ x） = （ e+1） x 22 在定义域 1， 2e上的最大值为 f（ e） 且 f（ e） =2即：月生产量在 1， 2e万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为 f（ e） =2，此时的月生产量值为 e（万件） 21已知函数 （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）证明：若 a 5，则对任 意 ，有 【考点】 利用导数研究函数的单调性 第 16 页（共 20 页） 【分析】 （ ）由 ，得当 a 1 1 时，即 a 2 时， f（ x）的单调增区间为（ 0， 1），（ a 1， +）；单调减区间为（ 1，a 1）当 a 1=1 时，即 a=2 时， f（ x）的单调增区间为（ 0， +） （ ）要证：对任意 ，有 即证f（ +f（ + ， x 0，即证 g（ x）在（ 0， +）单调递增由 ，由 g（ x）在（ 0， +）单调递增，从而原题得证 【解答】 解：（ ） f（ x）的定义域为（ 0， +）， ， a 1 1 当 a 1 1 时，即 a 2 时， f（ x）的单调增区间为（ 0， 1），（ a 1， +）； 单调减区间为（ 1， a 1） 当 a 1=1 时，即 a=2 时， f（ x）的单调增区间为（ 0， +） （ ）要证：对任意 ， 有 不防设 即证 f（ f（ （ 即证 f（ +f（ + ， x 0 即证当 ， g（ g（ 即证 g（ x）在（ 0， +）单调递增 而 =（ a 1） 2 4（ a 1） =（ a 1）（ a 5） 又 2 a 5， 0， a 1） x+（ a 1） 0 恒成立， 对 x （ 0， +）恒成立， 第 17 页（共 20 页） g（ x）在（ 0， +）单调递增 原题得证 四、选考题（本题满分 10 分）（请在以下甲、乙、丙三个选考题中任选一个作答，多答则以第一个计分） 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直