广东省江门市2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年广东省江门市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若 A=x| 1 x 2， B=x|1 x 3，则 AB=（ ） A x|1 x 2 B x| 1 x 3 C x|1 x 3 D x| 1 x 2 2复数 2 3i（ i 为虚数单位）的虚部是（ ） A 2 B 2 C 3i D 3 3设某大学的女生体重 y（单位： 身高 x（单位： 有线性相关关系，根 据一组样本数据（ i=1， 2， ， n），用最小二乘法建立的回归方程为 =下列结论中不正确的是（ ） A身高 x 为解释变量，体重 y 为预报变量 B y 与 x 具有正的线性相关关系 C回归直线过样本点的中心（ ， ） D若该大学某女生身高为 170她的体重必为 阅读如图所示的程序框图，若输入 的 k=4，则输出的 S=（ ） A 15 B 16 C 31 D 32 5平面直角坐标系中，与直线 x 2y+3=0 平行的一个向量是（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 1） 6一个棱长为 2 的正方体，它的顶点都在球面上，这个球的体积是（ ） A 3 B 2 C 4 D 12 7给出下面三个类比 推理： 实数 m、 n，有（ m+n） 2=mn+比向量有（ + ） 2= 2+2 + 2 实数 m、 n，若 m2+，则 m=n=0；类比复数 ，则 z1= 向量 ，有 | |2= 2；类比复数 z，有 |z|2=比所得到的命题中，真命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 8小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时， 第 2 页（共 17 页） 小赵说：我没去过； 小钱说：小李去过； 小孙说；小钱去过； 小李说：我没去过 假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（ ） A小赵 B小李 C小孙 D小钱 9已知 f（ x） = f（ x）的导数 f（ =1，则 ） A 2e B 0经过点 P（ 2， 1）且斜率为 k 的直线 l 与抛物线 x 只有一个公共点，则 k 的取值范围为（ ） A 0， 1 B 0， C 1， D 1， 0， 11 f（ x）是奇函数 f（ x）（ x R）的导函数， f（ 1） =0，当 x 0 时， x） f（ x），则使得 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（ ， 1） （ 0， 1） B（ 1， 0） （ 1， +） C（ ， 1） （ 1，0） D（ 0， 1） （ 1， +） 12以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的 “杨辉三角性 ” 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其 “肩上 ”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ） A 2017 22015 B 2017 22014 C 2016 22015 D 2016 22014 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 x、 y R， i 是虚数单位，若（ x+y 3） +（ x 4） i=0，则 y= 14若样本点为（ 21， （ 23， （ 25， （ 27， （ 29， 则样本点的中心为 15已知 f（ x） = = 16在等差数列 ，若 ，则有等式 a1+an=a1+n（ n 9， n N*）成立类比上述性质：在等比数列 ，若 ，则有等式 成立 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 复平面内的平行四边形， A、 B、 C 三点对应的复数分别是 1+3i、 i、 2+i （ ）求点 D 对应的复数； （ ）求 边 的高 18为考察某药物预防疾病的效果，用小白鼠进行动物试验，得到如表的列联表： 患病 未患病 总计 服用药 21 30 51 没服用药 8 26 34 第 3 页（共 17 页） 总计 29 56 85 （ ）根据上表数据，能否以 90%的把握认为药物有效？ （ ）用分层抽样方法从 “服用药 ”和 “没服用药 ”两类小白鼠中随机抽取一个容量为 5 的样本，再从该样本中任取 2 只，求其中恰有 1 只小白鼠服用药物的概率 19已知 A+B= ，且 A、 B （ k Z） （ ）求证：（ 1+ 1+=2； （ ）求 的值 20如图，椭圆 + =1（ a b 0）与 x 轴、 y 轴的正半轴相交于 A、 B，过椭圆上一点P 作 x 轴的垂线，垂足恰为左焦点 （ ）求椭圆的离心率； （ ）线段 垂直平分线与 y 轴相交于 C，若 = ，求 21已知 f（ x） =x3+x2+a R 是常数 （ ） a= 1 时，求函数 f（ x）在区间（ 0， 1）上的值域； （ ）若曲线 y=f（ x）有且仅有一条平行于直线 y=x 的切线，求 a 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答题请写清题号 选修 4何证明选讲 22如图，圆 M 与圆 N 交于 A、 B 两点，以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M、圆 N 于 C、D 两点，延长 别交圆 M、圆 N 于 E、 F 已知 0、 （ ）求 长； （ ）求证： E 选修 4标系与参数方程 第 4 页（共 17 页） 23已知曲线 C 的极坐标方程是 =4极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直 l 的参数方程是 （ t 是参数） （ 1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点，且 | ，求直线的倾斜角 的值 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|2x+1| |x 4| （ 1）解不等式 f（ x） 0； （ 2）若 f（ x） +3|x 4| m 对一切实数 x 均成立，求 m 的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2015年广东省江门市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若 A=x| 1 x 2， B=x|1 x 3，则 AB=（ ） A x|1 x 2 B x| 1 x 3 C x|1 x 3 D x| 1 x 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 利用交集性质和不等式性质求解 【解答】 解： A=x| 1 x 2， B=x|1 x 3， AB=x|1 x 2 故选： A 2复数 2 3i（ i 为虚数单位）的虚部是（ ） A 2 B 2 C 3i D 3 【考点】 复数的基本概念 【分析】 利用复数的基本概念写出结果即可 【解答】 解：复数 2 3i（ i 为虚数单位）的虚部是： 3 故选： D 3设某大学的女生体 重 y（单位： 身高 x（单位： 有线性相关关系，根据一组样本数据（ i=1， 2， ， n），用最小二乘法建立的回归方程为 =下列结论中不正确的是（ ） A身高 x 为解释变量，体重 y 为预报变量 B y 与 x 具有正的线性相关关系 C回归直线过样本点的中心（ ， ） D若该大学某女生身高为 170她 的体重必为 考点】 回归分析 【分析】 根据回归方程 =意义，对选项中的命题进行分析，判断正误即可 【解答】 解：对于 A，回归方程中，身高 x 为解释变量，体重 y 为预报变量，命题正确； 对于 B，回归方程中， =0， y 与 x 具有正的线性相关关系，命题正确； 对于 C，回归直线过样本点的中心（ ， ），命题正确； 对于 D，当 x=170 时， =170 是预测值，不可断定其体重为 以原命题错误 故选： D 第 6 页（共 17 页） 4阅读如图所示的程序框图，若输入的 k=4，则输出的 S=（ ） A 15 B 16 C 31 D 32 【考点】 程序框图 【分析】 根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行输出的 结果 【解答】 解：模拟程序框图的运行过程，如下； S=0， i=1， k=4， 执行循环体， S=1+2 0=1， i=2， 不满足条件 i k，执行循环体， S=1+2 1=3， i=3， 不满足条件 i k，执行循环体， S=1+2 3=7， i=4， 不满足条件 i k，执行循环体， S=1+2 7=15， i=5， 满足条件 i k，退出循环，输出 S=15 故选： A 5平面直角坐标系中，与直线 x 2y+3=0 平行的一个向量是（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 1） 【考点】 直线的 斜率；平面向量的坐标运算 【分析】 求出直线 x 2y+3=0 的斜率，求出向量所在直线的斜率，判断即可 【解答】 解：直线 x 2y+3=0 的斜率是： ， 设点（ 2， 1）为 P， 则 的坐标（ 2， 1），直线 斜率 ， 故选： B 6一个棱长为 2 的正方体，它的顶点都在球面上，这个球的体积是（ ） A 3 B 2 C 4 D 12 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 求出正方体的对角线的长度，就是外接球的直径，利用球的体积公式求解即可 【解答】 解：因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 2， 所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度： 2 第 7 页（共 17 页） 所以球的半径为： 所求球的体积为： =4 故选： C 7给出下面三个类比推理： 实数 m、 n，有（ m+n） 2=mn+比向量有（ + ） 2= 2+2 + 2 实数 m、 n，若 m2+，则 m=n=0；类比复数 ，则 z1= 向量 ，有 | |2= 2；类比复数 z，有 |z|2=比所得到的命题中，真命题的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 类比推理 【分析】 要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反 例，要想得到本题的正确答案，可对 3 个结论逐一进行分析，不难解答 【解答】 解： 实数 m、 n，有（ m+n） 2=mn+比向量有（ + ） 2= 2+2 + 2，正确； 实数 m、 n，若 m2+，则 m=n=0；类比复数 ，则 z1=，不正确， 12+，不满足 z1=； 向量 ，有 | |2= 2；类比复数 z，有 |z|2=正确，比如 z=i 故选： B 8小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时， 小赵说：我没去过； 小钱说：小李去过； 小孙说； 小钱去过； 小李说：我没去过 假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（ ） A小赵 B小李 C小孙 D小钱 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 利用 3 人说真话， 1 人说假话，验证即可 【解答】 解：如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意； 如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙，小李说真话，满足题意； 故选： D 9已知 f（ x） = f（ x）的导数 f（ =1，则 ） A 2e B 考点】 导数的运算 【分析】 根据函数的导数公式建立方程进行求解即可 【解答】 解： f（ x） = 函数的导数 f（ x） = ， 由 f（ =1，得 =1， 第 8 页（共 17 页） 即 = 故选： C 10经过点 P（ 2， 1）且斜率为 k 的直线 l 与抛物线 x 只有一个公共点，则 k 的取值范围为（ ） A 0， 1 B 0， C 1， D 1， 0， 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设直线方程为： y=k（ x+2） +1，代入抛物线方程得 4k 4） x+4k+1=0（ *），直线与抛物线只有一个公共点等价于（ *）只有一个根，由此能求出结果 【解答】 解：经过点 P（ 2， 1）且斜率为 k 的直线 l 为： y=k（ x+2） +1， 代入抛物线方程 x 整理可得 4k 4） x+4k+1=0（ *）， 直线与抛物线只有一个公共点等价于（ *）只有一个根， k=0 时， y=1 符合题意； k 0 时， =（ 4k 4） 2 44k+1） =0，整理，得 2k2+k 1=0， 解得 k= 或 k= 1 综上可得， k= 或 k= 1 或 k=0 时，直线 l 与抛物线只有一个公共点， 故 k 1， 0， ， 故选： D 11 f（ x）是奇函数 f（ x）（ x R）的导函数， f（ 1） =0，当 x 0 时， x） f（ x），则使得 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是（ ） A（ ， 1） （ 0， 1） B（ 1， 0） （ 1， +） C（ ， 1） （ 1，0） D（ 0， 1） （ 1， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 根据条件构造函数 h（ x） = ，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，进行求解即可 【解答】 解： 当 x 0 时 x） f（ x）， x） f（ x） 0， 设 h（ x） = ，则 h（ x） = 0， 即函数 h（ x）在（ 0， +）上为减函数， f（ x）是奇函数， h（ x） = 是偶函数， f（ 1） =0， f（ 1） = f（ 1） =0， 则 h（ 1） =h（ 1） =0， 当 x 0 时， f（ x） 0 等价为 h（ x） 0，即 h（ x） h（ 1）， 第 9 页（共 17 页） 此时 0 x 1， 当 x 0 时， f（ x） 0 等价为 h（ x） 0，即 h（ x） h（ 1）， 此时 x 1， 综上 f（ x） 0 成立的 x 的取值范围是（ ， 1） （ 0， 1）， 故选： A 12以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的 “杨辉三角性 ” 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其 “肩上 ”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ） A 2017 22015 B 2017 22014 C 2016 22015 D 2016 22014 【考点】 归纳推理 【分析】 数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为 1，第二行公差为 2，第三行公差为4， ，第 2015 行公差为 22014，第 2016 行只有 M，由此可得结论 【解答】 解：由题意，数表的每一行都是等差数列， 且第一行公差为 1，第二行公差为 2，第三行公差为 4， ，第 2015 行公差为 22014， 故第 1 行的第一个数为： 2 2 1， 第 2 行的第一个数为： 3 20， 第 3 行的第一个数为： 4 21， 第 n 行的第一个数为：（ n+1） 2n 2， 第 2016 行只有 M， 则 M=（ 1+2016） 22014=2017 22014 故选： B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 x、 y R， i 是虚数单位，若（ x+y 3） +（ x 4） i=0，则 y= 1 【考点】 复数相等的充要条件 【分析】 根据复数相等的条件建立方程关系进行求解即可 【解答】 解： （ x+y 3） +（ x 4） i=0， 得 ， 即 y= 1； 故答案为： 1 14若样本点为（ 21， （ 23， （ 25， （ 27， （ 29， 则样本点的中心为 （ 25， 【考点】 回归分析 第 10 页（共 17 页） 【分析】 根据样本点的数据，分别求出对应的平均数即可 【解答】 解：样本点为（ 21， （ 23， （ 25， （ 27， （ 29， = （ 21+23+25+27+29） =25 = （ = 所以样本点的中心为（ 25， 故答案为：（ 25， 15已知 f（ x） = = 4 【考点】 导数的运算 【分析】 先转化为 f（ x） ，再根据导数的运算法则求导，并带值计算即可 【解答】 解： f（ x） =， f（ x） = = ， = =4， 故答案为： 4 16在等差数列 ，若 ，则有等式 a1+an=a1+n（ n 9， n N*）成立类比上述性质：在等比数列 ，若 ，则有等式 b1b2bn=b1b2n（ n 11，且n N*） 成立 【考点】 类比推理 【分析】 根据等差数列与等比数列通项的性质，结合类比的方法，根据类比规律得出结论即可 【解答】 解：在等差数列 ，若 ， 则有等式 a1+an=a1+n（ n 9， n N*）成立， 利用的是等差数列的性质，若 m+n=10， n+an=a5+； 在等比数列中，若 ，则 n， 利用的是等比的性质，若 m+n=12，则 nbn=b6， 所以 b1b2bn=b1b2n（ n 11，且 n N*）成立 故答案为： b1b2bn=b1b2n（ n 11，且 n N*） 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 复平面内的平行四边形， A、 B、 C 三点对应的复数分别是 1+3i、 i、 2+i （ ）求点 D 对应的复数； （ ）求 边 的高 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义；点到直线的距离公式 第 11 页（共 17 页） 【分析】 （ ）求出复平面内 A、 B、 C 对应点的坐标分别为，设 D 的坐标为（ x， y），由列式解得 x， y 的值，得到 D 的坐标，求出 D 对应的复数； （ ）求出 线的方程为，由点到直线的距离公式求出 A 到 线的距离，则 上的高可求 【解答】 解：（ ）复平面内 A、 B、 C 对应点的坐标分别为（ 1， 3），（ 0， 1），（ 2， 1） ， 设 D 的坐标为（ x， y）， 由 ，得（ x 1， y 3） =（ 2， 2） ， x 1=2， y 3=2， 解得 x=3， y=5， 故 D（ 3， 5） ， 则点 D 对 应的复数为： 3+5i； （ ） B（ 0， 1）， C（ 2， 1）， 线的方程为： x y 1=0， A 到 线的距离 ， 故 上的高为 18为考察某药物预防疾病的效果，用小白鼠进行动物试验，得到如表的列联表： 患病 未患病 总计 服用药 21 30 51 没服用药 8 26 34 总计 29 56 85 （ ）根据上表数据，能否以 90%的把握认为药物有效？ （ ）用 分层抽样方法从 “服用药 ”和 “没服用药 ”两类小白鼠中随机抽取一个容量为 5 的样本，再从该样本中任取 2 只，求其中恰有 1 只小白鼠服用药物的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；独立性检验的应用 【分析】 （ ）求出 而得到能以 90%的把握认为药物有效 （ ）用分层抽样的方法在总体中抽取一个容量为 5 的样本，应抽取服用药的小白鼠数为 3只，应抽取没服用药的小白鼠数为 2 只，由此利用列举法能求出恰有 1 只小白鼠服用药物的概率 【解答】 解：（ ） 能以 90%的把握认为药物有效 （上式每个 “等号 ”各；判断 1 分） （ ）用分层抽样的方法在总体中抽取一个容量为 5 的样本， 则应抽取服用药的小白鼠数为 （只），设为 a， b， c， 应抽取没服用药的小白鼠数为 5 3=2（只），设为 m， n 从该样本中任取 2 只，基本事件为 数有10 个 第 12 页（共 17 页） 设其中恰有 1 只小白鼠服用药 物为事件 A， 则 A 包含的基本事件为 有 6 个 其中恰有 1 只小白鼠服用药物的概率 答：其中恰有 1 只小白鼠服用药物的概率为 19已知 A+B= ，且 A、 B （ k Z） （ ）求证：（ 1+ 1+=2； （ ）求 的值 【考点】 两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值 【分析】 （ ）由条件利用两角和差的正切公式，变形证得要证的等式 （ ）取 ，由（ ）求得 的值 【解答】 证明：（ ）依题意， ，即 ，故 （ 1+ 1+=1+ 成立 （ ）取 ，由（ ）得 ， ， 20如图，椭圆 + =1（ a b 0）与 x 轴、 y 轴的正半轴相交于 A、 B，过椭圆上一点P 作 x 轴的垂线，垂足恰为左焦点 （ ）求椭圆的离心率； （ ）线段 垂直平分线与 y 轴相交于 C，若 = ，求 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）依题意，设 P（ c， c 是椭圆的半焦距），代入椭圆方程得 由 ，代入化简，再利用 a2=b2+其离心率计算公式夹角得出 第 13 页（共 17 页） （ 用向量的坐标运算性质可得 C，再利用线段垂直平分线的性质、两点之间的距离公式即可得出 【解答】 解：（ ）依题意，设 P（ c， c 是椭圆的半焦距）， 代入椭圆方程 ，得 （负值舍去）， 由 ，代入化简得 b=c， ， （ ）由 得 C（ 0， b）， 由 |得 ， 由（ ）得 ，从而 ，即， 解得， 21已知 f（ x） =x3+x2+a R 是常数 （ ） a= 1 时，求函数 f（ x）在区间（ 0， 1）上的值域； （ ）若曲线 y=f（ x）有且仅有一条平行于直线 y=x 的切线，求 a 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域 【分析】 （ ）求得 f（ x）的导数，求得（ 0， 1）的单调区间和极值、最值，可得函数的值域； （ ） “曲线 y=f（ x）有且仅有一条平行于直线 y=x 的切线 ”，有两种情 况：曲线 y=f（ x）有且仅有一条斜率为 1 的切线，且这条切线不是直线 y=x；曲线 y=f（ x）有两条斜率为 1的切线，且其中一条为直线 y=x求出 f（ x）的导数，由判别式为 0，解得 a，求得切线的斜率；或设出切点，求得切线的斜率和方程，解方程可得切点坐标和 a 的值，即可得到所求值 【解答】 解：（ ） f（ x） =x3+x 的导数为 f（ x） =3x 1， 令 f（ x） =0，解得 ， f（ x）在（ 0， 1）的单调区间和极值情况如下表： x f（ x） 0 + f（ x） 极小值 可得 f（ 0） =0， f（ 1） =1， ， 所求值域为 ； 第 14 页（共 17 页） （ ） “曲线 y=f（ x）有且仅有一条平行于直线 y=x 的切线 ”，有两种情况： 其一，曲线 y=f（ x）有且仅有一条斜率为 1 的切线，且这条切线不是 直线 y=x； 其二，曲线 y=f（ x）有两条斜率为 1 的切线，且其中一条为直线 y=x 若 f（ x） =3x+a=1 仅有一个实根，则 22 3 4 （ a 1） =0，解得 ， 此时由 得 ，斜率为 1 的切线为 ，符合题意； 若 y=x 是曲线 y=f（ x）的一条切线，设切点为（ 则 ，解得 或 ， 当 a=1 时， f（ x） =x3+x2+x，曲线 y=f（ x）的斜率为 1 的切线是 y=x 与 ，符合题意； 当 时， ，曲线 y=f（ x）的斜率为 1 的切线是 y=x 与 ，符合题意 综上所述， ，即为 a 的取值范围为 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答题请写清题号 选修 4何证明选讲 22如图，圆 M 与圆 N 交于 A、 B 两点，以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M、圆 N 于 C、D 两点，延长 别交圆 M、圆 N 于 E、 F已知 0、 （ ）求 长； （ ）求证： E 【考点】 相似三角形的判定；相似三角形的性质；与圆有关的比例线段 【分析】 （ ）根据弦切角定理，推导出 此能求出 长 （ ）根据切割线定理，推导出 到得 ，由此能求出 【解答】 解：（ ）根据弦切角定理， 则 ， 第 15 页（共 17 页） 故 C0， 证明：（ ）根据切割线定