2016年中考解析版试卷分类汇编(第2期)直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理 一、 选择题 1.（ 2016广西百色 3 分）如图， ， C=90， A=30， 2，则 ） A 6 B 6 C 6 D 12 【考点】 含 30 度角的直角三角形 【分析】 根据 30所对的直角边等于斜边的一半求解 【解答】 解： C=90， A=30， 2， 212 =6， 故答选 A 2.（ 2016贵州安顺 3 分）如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A， B， C 都在格点上，则 正切值是（ ） A 2B C D 【分析】 根据勾股定理，可得 长，根据正切函数的定 义，可得答案 【解答】 解：如图： ， 由勾股定理，得 ， ， ， 直角三角形， B= = ， 故选： D 【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义 ，先求出 长，再求正切函数 3 （ 2016山东省东营市 3 分 ） 在 ， 10， 2 10， 上的高 6，则另一边 于 ( ) A 10 B 8 C 6 或 10 D 8 或 10 【知识点】 勾股定理、分类讨论思想 【答案】 C. 【解析】 在图 中，由勾股定理，得 102 62 8;(2 10)2 62 2; 8 2 10. 在图 中，由勾股定理，得 102 62 8;(2 10)2 62 2; 82 6. 故选择 C. 第 9 题答案图 第 9 题答案图 D 【点拨】 本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出 而可求出 长 . 4（ 2016 广西南宁 3 分 ）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形） 钢架的跨度 0 米， B=36，则中柱 D 为底边中点）的长是（ ） A 5 B 5 C 5 D 10 【考点】解直角三角形的应用 【分析】根据等腰三角形的性质得到 D=5 米，在 ，利用 B 的正切进行计算即可得到 长度 【解答】解： C， 0 米， D=5 米， 在 ， B=36， ， 即 D5 米 ） 故选： C 【点评】本题考查了解直角三角形的应用解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题 5 （ 2016 海南 3 分） 如图， 中线， 5，把 着直线 折，点 C 落在点 E 的位置如果 ，那么线段 长度为（ ） A 6 B 6 C 2 D 3 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】根据折叠的性质判定 等腰直角三角形，然 后再求 【解答】解：根据折叠的性质知， D， 5， 0， D， ， D=3， 即 等腰直角三角形， 3=3 ， 故选 D 【点评】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个： 1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等； 2、等腰直角三角形的性质求解 6. （ 2016陕西 3 分 ） 如图，在 ， 0， ， 若 中位线，延长 外角 平分线于点 F，则线段 长为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考点】 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理 【分析】 根据三角形中位线定理求出 到 证明 F= 此即可解决问题 【解答】 解：在 ， 0， ， ， = =10， 中位线， ， F= ， E+5=8 故选 B 7. （ 2016四川眉山 3 分 ） 把边长为 3 的正方形 点 A 顺时针旋转 45得到正方形D，边 DC交于点 O，则四边形 周长是（ ） A B 6 C D 【分析】 由边长为 3 的正方形 点 A 顺时针旋转 45得到正方形 D，利用勾股定理的知识求出 长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求 从而可求四边形 周长 【解答】 解：连接 旋转角 45， 45， B 在对角线 ， BC=3， 在 BC中， =3 ， BC=3 3， 在等腰 ， C=3 3， 在直角三角形 ， （ 3 3） =6 3 ， 3 3 3， 四边形 周长是： 2D=6+3 3+3 3=6 故选： A 【点评】 本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质此题难度适中，注意连接 造等腰 解题的关键，注意旋转中的对应关系 8. （ 2016四川南充 ） 如图，在 ， A=30， ，点 D， E 分别是直角边 C 的中点，则 长为（ ） A 1 B 2 C D 1+ 【分析】由 “30 度角所对的直角边等于斜边的一半 ”求得 然后根据三角形中位线定理求得 【解答】解：如图， 在 ， C=90， A=30， 又 点 D、 E 分别是 中点， 中位线， 故选： A 【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 9 （ 2016四川内江 ） 已知等边三角形的边长为 3，点 P 为等边三角形内任意一点，则点 ) A 32B 332C 32D不能确定 答案 B 考点 勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。 解析 如图， 等边三角形， 3，点 P 是三角形内任意一点，过点 P 分别向三边垂线，垂足依次为 D， E， F，过点 A 作 则 32， 22H 332 连接 S S S S 12D 12E 12F 12H 332 故选 B 10 （ 2016四川宜宾） 如图，在 ， C=90， ， ，将 逆时针旋转，使点 C 落在线段 的点 E 处，点 B 落在点 D 处，则B、 D 两点间的距离为（ ） A B 2 C 3 D 2 【考点】 旋转的性质 【分析】 通过勾股定理计算出 度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出 B、 D 两点间的距离 【解答】 解： 在 A ， C=9 0， ， 3， ， 将 点 A 逆时针旋转，使点 C 落在线段 的点 E 处，点 B 落在点 D 处， ， 3， ， 在 ， = P B A D E F 答案图 C H 故选： A 11.（ 2016黑龙江龙东 3 分 ） 若点 O 是等腰 外心，且 0，底边 ，则 面积为（ ） A 2+ B C 2+ 或 2 D 4+2 或 2 【考点】 三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质 【分析 】 根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下 面积，本题得以解决 【解答】 解：由题意可得，如右图所示， 存在两种情况， 当 ，连接 点 O 是等腰 外心，且 0，底边 ， C， 等边三角形， C=， 点 D， ， ， =2 ， 当 ，连接 点 O 是等腰 外心，且 0，底边 ， C， 等 边三角形， C=， 点 D， ， ， S = =2+ ， 由上可得， 面积为 或 2+ ， 故选 C 12 （ 2016湖北荆门 3 分 ） 如图， ， C， 平分线已知 ，则 长为（ ） A 5 B 6 C 8 D 10 【考点】 勾股定理；等腰三角形的性质 【分析】 根据等腰三角形的性 质得到 D，根据勾股定理即可得到结论 【解答】 解： C， 平分线， D， ， ， =4， ， 故选 C 13 （ 2016湖北荆州 3 分 ） 如图，在 44 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点， 顶点都在格点上，则图中 余弦值是（ ） A 2 B C D 【分析】 先根据勾股定理的逆定理判断出 形状，再由锐 角三角函数的定义即可得出结论 【解答】 解： 由图可知， 2+42=20， 2+22=5， 2+42=25， 直角三角形，且 0， = 故选 D 【点评】 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 二、 填空题 1. （ 2016浙江省湖州市 4 分 ） 如图，在 ， 0， ， ，分别以点 A， B 为圆心，大于线段 度一半的长为半径作弧，相交于点 E， F，过点 E， F 作直线 点 D，连结 长是 5 【考点】 作图 基本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理 【分析】 首先说明 B，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题 【解答】 解：由题意 线段 垂直平分线， B， ， 0， ， ， = =10， B， 0， 故答案为 5 2. （ 2016湖北随州 3 分 ） 如图，在 ， 0， M、 N 分别是 中点，延长 点 D，使 接 ，则 3 【考点】 三角形 中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质 【分析】 连接 据三角形中位线定理得到 明四边形 到 M，根据直角三角形的性质得到 ，等量代换即可 【解答】 解：连接 M、 N 分别是 中点， D，又 四边形 平行四边形， M， 0， M 是 中点， ， ， 故答案为： 3 3. （ 2016湖北武汉 3 分 ） 如图，在四边形 ， 90， 3， 4， 10， 5，则 长为 _ 【考点】 相似三角形，勾股定理 【答案】 241【解析】 连接 点 D 作 上的高，交 长线于点 H在 ， 3，4， 5，又 10， 5，可知 直角三角形，且 90，易证 6， 8， 28 2 41（ 4+6 ） 4. （ 2016江西 3 分 ） 如图是一张长方形纸片 知 ， ， E 为 一点，现要剪下一张等腰三角形纸片（ 使点 P 落在长方形 某一条边上，则等腰三角形 底边长是 5或 4或 5 【考点】 矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理 【分析】 分情况讨论： 当 E=5 时，则 等腰直角三角形，得出底边 E=5 即可； 当 E=5 时，求出 勾股定理求出 由勾股定理求出等边 可； 当 E 时，底边 ；即可得出结论 【解答】 解：如图所示： 当 E=5 时， 0， 等腰直角三角形， 底边 ； 当 E=5 时， B 5=3， B=90， =4， 底边 = =4 ； 当 E 时，底边 ； 综上所述：等腰三角形 对边长为 5 或 4 或 5； 故答案为： 5 或 4 或 5 5. （ 2016四川内江 ） 如图 4，在菱形 ，对角线 交于点 O， 8，6， 足为点 E，则 _ 答案 125考点 菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式。 解析 菱 形的对角线互相垂直平分， 3， 4， 90 22C 5 S 12C，又 S 12E， C E，即 34 5 125 故答案为： 125 6 . （ 2016青海西宁 2 分 ） 如图， 分 5， 点 D，则 2 D O C E B A 图 4 【考点】 角平分线的性质；含 30 度角的直角三角形 【分析】 作 E，根据角平分线的性质可得 D，根据平行线的性质可得 0，由直角三角形中 30的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得 可求得 【解答】 解：作 E， D（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 5， 0， 0， 在 ， 4=2（在直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半）， E=2， 故答案是： 2 7 （ 2016四川宜宾） 在平面直角坐标系内，以点 P（ 1， 1）为圆心、 为半径作圆，则该圆与 y 轴的交点坐标是 （ 0， 3），（ 0， 1） 【考点】 坐标与图形性质 【分析】 在平面直角坐标系中，根据勾股定理先求出直角三角形的另外一个直角边，再根据点 P 的坐标即可得出答案 【解答】 解：以（ 1， 1）为圆心， 为半径画圆，与 y 轴相交，构成直角三角形， 用勾股定理计算得另一直角边的长为 2， 则与 y 轴交点坐标为（ 0， 3）或（ 0， 1） 故答案为：（ 0， 3），（ 0， 1） 3 （ 2016四川内江 ） 如图 12 所示，已知 点 C(1， 0)，直线 y x 7 与两坐标轴分别交于A， B 两点， D， E 分别是 的动点，则 长的最小值是 _ 答案 10 考点 勾股定理，对称问题。 解析 作点 C 关于 y 轴的对称点 1， 0)，点 C 关于 x 轴的对称点 接 ，交 点 D，则此时 周长最小，且最小值等于 长 7， 6， 45 直平分 90， 坐标为 (7， 6) 在 ， 2212C B C B 2286 10 即 长的最小值是 10 故答案为： 10 8.（ 2016湖北黄石 3分 ） 如图所示，正方形 ， C=2，将正方形绕 O 点顺时针旋转 60，在旋转过程中，正方形扫过的面积是 2+2 【分析】 如图，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形 面积 【解答】 解： C=2， C=D= ， ， S 阴影 = + =2+2， 故答案为： 2+2 【点评】 此题考查了扇形的面积公式和旋转的性质以及勾股定理，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积是解答此题的关键 三、 解答题 1. （ 2016湖北随州 10 分 ） 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了 “中垂三角形 ”，即两条中线互相垂直的三角形称为 “中垂三角形 ”如图（ 1）、图（ 2）、图x y O 答案图 C B A E D 2 （ 3）中， 中线， 点 P，像 样的三角形均为 “中垂三角形 ”设 BC=a， AC=b， AB=c 【特例探究】 （ 1）如图 1，当 ， c=4 时， a= 4 ， b= 4 ； 如图 2，当 0， c=2 时， a= ， b= ； 【归纳证明】 （ 2）请你观察（ 1）中的计算结果，猜想 者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你的结论 【拓展证明】 （ 3）如图 4， ， E、 F 分别是 三等分点，且 接 E， 交点 G， ， ，求 长 【考点】 四边形综合题 【分析】 （ 1） 首先证明 是等腰直角三角形，求出 利用勾股定理即可解决问题 连接 ，利用 30性质求出 利用勾股定理即可解决问题 （ 2）结论 a2+ MP=x， NP=y，则 x， y，利用勾股定理分别求出 b2、可解决问题 （ 3）取 点 H，连接 且延长交 延长线于 P 点，首先证明 中垂三角形，利用（ 2）中结论列出方程即可解决问题 【解答】 （ 1）解：如图 1 中， E， F， ， ， 5， E=2， A=4， F= =2 b= ， a= 故答案为 4 ， 4 如图 2 中，连接 ， E， F， ， 0， ， ， 在 ， 0， ， ， = ， = ， a=， b=， 故答案分别为 ， （ 2）结论 a2+ 证明：如图 3 中，连接 中线， = = ， 设 FP=x， EP=y，则 x， y， （ =46 （ =46 a2+00（ 4=5 （ 3）解：如图 4 中，在 ， ， G，取 点 H，连接 且延长交 延长线于 P 点， 同理可证 F， F=2 即 F， 四边形 平行四边形， 中垂三角形， 由 （ 2） 可知 ， ， 9+（ ） 2， 2. （ 2016四川南充 ） 如图，在 ， 0， 平分线交 点 O，以点 O 为圆心 半径作半圆 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）如果 ，求 值 【分析】（ 1）如图作 M，根据角平分线性质定理，可以证明 C，由此即可证明 （ 2）设 BM=x， OB=y，列方程组即可解决问题 【解答】解：（ 1）如图作 M， 分 M， O 的切线， （ 2）设 BM=x， OB=y，则 ， = ， = ， x=y2+y ， 由 可以得到 ： y=3x 1， （ 3x 1） 2 ， x= ， y= ， = 【点评】本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线，学会设未知数列方程组解决问题，属于中考常考题型 3 （ 2016四川内江 ） (10 分 )如图 9，在 ， 90， 垂直平分线分别与 延长线相交于点 D， E， F O 是 外接圆， 平分线交 点 G，交 O 于 点 H，连接 (1)试判断 O 的位置关系，并说明理由； (2)当 1 时，求 O 的面积； (3)在 (2)的条件下，求 B 的值 考点 切线的性质与判定定理，三角形的全等，直角三角形斜边上中线定理、勾股定理。 (1)直线 O 相切理由如下： 如图，连接 边上的中线， C C 90， 90 O 相切； 3 分 (2)连接 1， 2 D G H O C E F B A 答案图 D G H O C E F B A 图 9 直平分 2 1 2 4 分 C 90， 90， 又 90， 1 2 5 分 12 (1 2 )2 4 2 2 6 分 S O 14222 7 分 ( 3) 90， 45 C 8 分 H 90 分 45 1， 1 2 9 分 2 G 2 (1 2 ) 2 2 10 分 4.（ 2016黑龙江龙东 6 分 ） 如图，在平面直角坐标系中，点 A、 B、 C 的坐标分别为（ 1，3）、（ 4， 1）（ 2， 1），先将 一确定方向平移得到 1的坐标是（ 1， 2），再将 原点 O 顺时针旋转 90得到 对应点为点 （ 1）画出 （ 2）画出 （ 3）求出在这两次变换过程中，点 A 经过点 达 路径总长 【考点】 作图 图 【分析】 （ 1）由 B 点坐标和 坐标得到 右平移 5 个单位，再向上平移 1 个单位得到 根据点平移的规律写出 坐标，然后描点即可得到 （ 2）利用网格特点和旋转的性质画出点 对应点为点 对应点为点 对应点为点 而得到 （ 3）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以 半径，圆心角为 90的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点 A 经过点 达 路径总长 【解答】 解：（ 1）如图， 所作； （ 2）如图， 2所作； （ 3） =4 ， 点 A 经过点 达 路径总长 = + = +2 5 （ 2016湖北黄石 12 分 ） 在 ， C， （ 1）如图 1，若点 D 关于直线 对称点为 F，求证： （ 2）如图 2，在（ 1）的条件下，若 =45，求证： （ 3）如图 3，若 =45，点 E 在 延长线上，则等式 能成立吗？请说明理由 【分析】 （ 1）根据轴对称的性质可得 F，再求出 后根据两边对应成 比例，夹角相等两三角形相似证明； （ 2）根据轴对称的性质可得 E， D，再求出 后利用 “边角边 ”证明 等，根据全等三角形对应边相等可得 D，全等三角形对应角相等可得 B，然后求出 0，最后利用勾股定理证明即可； （ 3）作点 D 关于 对称点 F，连接 据轴对称的性质可得 E， D，再根据同角的余角相等求出 后利用 “边角边 ”证明 等，根据全等三角形对应边相等可得 D， 全等三角形对应角相等可得 B，然后求出 0，最后利用勾股定理证明即可 【解答】 证明：（ 1） 点 D 关于直线 对称点为 F， F， 又 C， = ， （ 2） 点 D 关于直线 对称点为 F， E， D， =45， 0 5+45 0 在 ， ， D， B， C， ， =45， 等腰直角三角形， B= 5， 5+45=90， 在 ，由勾股定理得， 所以， （ 3） 能成立 理由如下：作点 D 关于 对称点 F，连接 由轴对称的性质得， E， D， =45， 0 5+45 0 在 ， ， D， B， C， ， =45， 等腰直角三角形， B= 5， 5+45=90， 在 ，由勾股定理得， 所以， 【点评】 本题是相似形综合题 ，主要利用了轴对称的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此类题目，小题间的思路相同是解题的关键 6 （ 2016湖北荆州 8 分 ） 如图，将一张直角三角形 片沿斜边 的中线 开，得到 将 向平移到 ACD的位置，若平移开始后点 D未到达点 B 时， AC交 E， DC交 ，连接 四边形 为菱形时，试探究 A判断 A 否全等？请说明理由 【分析】 当四边形 为菱形时， AA 先证明A=到 AC即可得到 = 此即可判断的形状由 出 ， ADC= A根据AD=F 即可证明 【解答】 解：当四边形 为菱形时， AA 理由： 直角三角形， 0， B， A= AC = A， = A 四边形 菱形 ， E= ， ， CD， A ADC= 在 A ， ， A 【点评】 本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型 7 （ 2016湖北荆州 10 分 ） 如图， A、 F、 B、 C 是半圆 O 上的四个点，四边形 平行四边形， 5，连接 点 E，过点 C 作 平行线交 延长线于点 D，延长 直线 点 H （ 1）求证： 半圆 O 的切线； （ 2）若 3 ，求 半径 长 【分析】 （ 1）连接 据已知条件得到 等边三角形，得到 0，根据圆周角定理得到 0，根据平行线的性质得到 切线的判定定理即可得到结论； （ 2）根据平行线的性质 得到 0，解直角三角形得到 出 据相似三角形的性质得到 ，求