2017届高三数学理科一轮复习试卷_第8单元立体几何与空间向量

高三单元滚动检测卷 数学 考生注意： 1 本试卷分第 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分，共 4 页 2 答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上 3 本次考试时间 120 分钟，满分 150 分 4 请在密封线内作答，保持试卷清洁完整 单元检测八 立体几何与空间向量 第 卷 一、选择题 (本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 ) 1 已知 、 是两个不同的平面 ， 给出下列四个条件 ： 存在一条直线 a， a ， a ； 存在一个平面 ， ， ； 存在两条平行直线 a、 b， a ， b ， a ， b ； 存在两条异面直线 a、 b， a ， b ， a ， b ， 可以推出 的是 ( ) A B C D 2 (2015江西六校联考 )某空间几何体的三视图如图所示 ， 则此几何体的体积 ( ) A 有最小值 2 B 有最大值 2 C 有最大值 6 D 有最大值 4 3 则下列命题正确的是 ( ) A D 4 设三棱柱的侧棱垂直于底面 ， 所有棱长都为 a， 顶点都在一个球面上 ， 则该球的表面积为( ) A B. 73 D 5 在正方体 E， F 分别是 给出下列说法 ： E， C， F 四点共面 ； 线共点 ； 5； 平面 平面 其中 ， 正确说法的个数是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 6 (2015郑州第二次质量预测 )设 ， ， 是三个互不重合的平面 ， m， n 是两条不重合的直线 ， 则下列命题中正确的是 ( ) A 若 ， ， 则 B 若 ， m ， 则 m C ， m， m ， 则 m D m ， n ， ， 则 m n 7 (2015天门模拟 )将正三棱柱截去三个角如图 1 所示 ， A、 B、 C 分别是 边的中点 ，得到几何体如图 2， 则该几何体按图 2 所示方向的侧视图为 ( ) 8 已知 1图 )， 那么原三角形的面积为 ( ) A. 32 B. 34 C. 62 D. 6 边长为 ，已知 A 转过程中的一个图形 ， 则下列命题中正确的是 ( ) 动点 A 在平面 F 上 ； 平面 A 三棱锥 A A B C D 10 (2015成都模拟 )如图 ， 在棱长为 4的正方体 A B C D中 ， E， F 分别是 A D 的中点 ， 长为 2 的线段 线段 运动 ， 另一个端点 N 在底面 A B C D 上运动 ，则线段 的轨迹 (曲面 )与二面角 A A D B 所围成的几何体的体积为 ( ) 1 连接球面上两点的线段称为球的弦 半径为 4 的球的两条弦 长度分别为 2 7、4 3， M、 N 分别为 中点 ， 每条弦的两端都在球面上运动 ， 有下列四个命题 ： 弦 能相交于点 M； 弦 能相交于点 N； ； ) A 1 B 2 C 3 D 4 12 如图所示 ， 四棱锥 P 底面 边长为 a 的正方形 ， 侧棱 a， 2a， 则它的 5 个面中 ， 互相垂直的面有 ( ) A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对 第 卷 二、填空题 (本大题共 4 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 20 分 把答案填在题中横线上 ) 13 (2015宁夏银川一中模拟 )已知直线 l， m， 平面 ， ， 且 l ， m ， 给出下列四个命题 ： 若 ， 则 l m； 若 l m， 则 ； 若 ， 则 l m； 若 l m， 则 . 其中为真命题的序号是 _ 14 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 43， 半径为 18 扇形 ， 则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 _ 15 (2015湖北七市联考 )某个几何体的三视图如图所示 ， 其中正视图的圆弧是半径为 2 的半圆 ， 则该几何体的表面积为 _ 16 (2015成都二诊 )已知单位向量 i， j， k 两两所成夹角均为 (0 ， 且 2)， 若空间向量 a zk(x， y， z R)， 则有序实数组 (x， y， z)称为向量 a 在 “ 仿射 ” 坐标系 O 为坐标原点 )下的 “ 仿射 ” 坐标 ， 记作 a (x， y， z) 已知 a (2,0， 1)， b (1,0,2)， 则 ab 0； 已知 a (x， y,0)3， b (0,0， z)3， 其中 0， 则当且仅当 x y 时 ， 向量 a， b 的夹角取得最小值 ； 已知 a (， b (， 则 a b (； 已知 (1,0,0)3， (0,1,0)3， (0,0,1)3， 则三棱锥 O 212 _(写出所有真命题的序号 ) 三、解答题 (本大题共 6 小题 ， 共 70 分 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ) 17 (10 分 )如图 ， 在平行六面体 E， M， 中点 ， 求证 ： (1) (2)平面 18.(12 分 )如图所示 ， 已知四棱锥 P 底面 等腰梯形 ，且 O 是 中点 ， 平面 124， M 是 中点 (1)证明 ： 平面 平面 (2)求平面 19 (12 分 )如图 ， 三棱柱 侧棱垂直于底面 ， 90， 12D 是棱 (1)证明 ： 平面 平面 (2)平面 求这两部分体积的比 20 (12 分 )(2015云南第二次统测 )如图 ， 在三棱锥 P 底面 边长为 4 的正三角形 ， 2 3， 侧面 底面M， N 分别为 (1)求证 ： (2)求二面角 N B 的余弦值 21.(12分 )(2015北京朝阳区期末 )如图 ， 在三棱锥 P 平面 B (1)求证 ： (2)设 O， D 分别为 中点 ， 点 G 为 一点 ， 且满足 13( )， 求证 ： 平面 (3)若 2， 4， 求二面角 A C 的余弦值 22 (12 分 )(2014安徽 )如图 ， 四棱柱 ， 梯形 ， 且 1， C， D 三点的平面记为 ， 的交点为 Q. (1)证明 ： Q 为 (2)求此四棱柱被平面 所分成上 、 下两部分的体积之比 ； (3)若 4， 2， 梯形 面积为 6， 求平面 与底面 答案解析 1 C C 中由已知可得面 A 面 点 A 在面 根据线面平行的判定定理可得 平面 A 当面 A 面 棱锥 A 10 D 连接 平面 A B C D ， 又 点 P 为 121， 即得点 P 的轨迹为以点 F 为球心，半径为 1 的球在二面角 A A D B 内的部分， 即为球的 14，其体积 V 14 43 13 3. 故应选 D. 11 C 设球的球心 O 到直线 距离分别为 d、 d，利用勾股定理可求出 d 3， d 2，所以 以经过 M，而 会经过 N，所以 正确， 不正确；又 d d 5， dd 1，所以 正确 故选 C. 12 C 底面 边长为 a 的正方形， 侧棱 a， 2a， 可得 底面 面 面 可得：平面 平面 面 平面 平面 得平面 平面 平面 得平面 平面 平面 得平面 平面 13 解析 正确，因为 l ， l ，又 m ，故 l m； 错，当两平面相交且交线为直线 m 时也满足题意； 错，各种位置关系均有可能； 正确， l ， l m m ，又 m，所以 ，综上可知命题 为真命题 析 设母线长为 l，底面半径为 r，则依题意易知 l 18 2代入数据即可得 r 12 此所求角的余弦值即为 1218 23. 15 92 14 解析 依题意，题中的几何体是在一个长方体的上表面放置了半个圆柱，其中长方形的长、宽、高分别是 4,5,4，圆柱的底面半径是 2、高是 5，因此该几何体的表面积等于 3 (4 5)2 (4 4) 22 12 (2 2) 5 92 14. 16 解析 对 ， a 2i k， b i 2k， 则 ab (2i k)(i 2k) 2 3ik 2 3， 当且仅当 2时， 3 0，故 错误； 如图所示在正方体中设 别为 x， y， 若 a (x， y,0)， b (0,0， z)， 则当且仅当在平面 存在点 D 使 平面 ， a， b 的夹角最小，此时， x y 0，故 错误； 由题意 a b 所以 a b ( (x2)i (y2)j (z2)k，故 正确； 如图所示，正方体的边长为 22 ，三棱锥 O 的正四面体， 其体积为 ( 22 )3 13 12 ( 22 )2 22 4 212， 故 正确 17 证明 (1) M， N 分别是 中点， 又 四边形 所以 又 而 (2)方法一 连接 1点，连接 四边形 O 点是 面 平面 以 平面方法二 取 点，连接 E， H 点分别为 1四边形 又 面 平面 平面 又 1H，则四边形 又 面 平面 平面 H， 平面 平面 而 平面 平面 18 (1)证明 因为 O， M 分别为 所以 又 面 平面 平面 为 12O 为 中点，所以 又因为 以四边形 平行四边形， 所以 又 面 平面 平面 因为 B， O， 所以平面 平面 (2)解 方法一 延长 ，连接 平面 平面 B以 等 过点 A 作 点 Q，连接 二面角定义可知， 所求角或其补角 易求得 8， 8， 4 2， 由等积法求得 2 7 所以 Q 28 28 642 2 7 2 7 170， 所以所求角为 以 17， 因此平面 成锐二面角的余弦值为 17. 方法二 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 则 P(0,0,4)， B( 4,0,0)， A(4,0,0)， C( 2， 2 3， 0)， D(2， 2 3， 0) 因为 ( 4,0， 4)， (2， 2 3， 0)， 所以易求得平面 ( 3， 1， 3) 又 (4,0， 4)， ( 2， 2 3， 0)， 所以易求得平面 一个法向量 ( 3， 1， 3) 设 为平面 成的锐二面角， 则 | 3 3 1 1 3 3|3 1 3 3 1 3 17， 所以平面 成锐二面角的余弦值为 17. 19 (1)证明 由题设知 C， 平面 又 平面 由题设知 45， 90，即 又 C， 平面 又 平面 平面 平面 (2)解 设棱锥 B 1， 1. 由题意得 13 1 22 1 1 12. 三棱柱 1， (V 1 1. 平面 1. 20 (1)证明 取 ，连接 又 平面 平面 平面 交线， 平面 平面 由已知得 A(2,0,0)， B(0,2 3， 0)， C( 2,0,0)， P(0,0,2 2)， M(1， 3， 0)， N(0， 3， 2) ( 4,0,0)， (0,2 3， 2 2)， P B 0， . (2)解 (3， 3， 0)， ( 1,0， 2)， 设 n (x， y， z)为平面 法向量，则 n 3x 3y 0，n x 2z 0，取 z 1，得 x 2， y 6. n ( 2， 6， 1)为平面 一个法向量 又 (0,0,2 2)为平面 一个法向量，设二面角 N B 的大小等于 ，由已知得二面角 N B 是锐角， | nn| 13. 二面角 N B 的余弦值等于 13. 21 (1)证明 因为 平面 平面 所以 又因为 A， 所以 平面 又因为 平面 所以 (2)证明 因为 平面 以 又因为 以以 A 为原点， 分别以 在直线为 x 轴， y 轴， 立如图所示的空间直角坐标系 C 2a， b， 2c，则 A(0,0,0)， B(0， b,0)，C(2a,0,0)， P(0,0,2c)， D(0,0， c)， O(a,0,0)， 又因为 13( )， 所以 G(0)， 于是 ( c)， (2a， b,0)， (0， b， 2c) 设平面 n ( 则有 n 0n 0，即 20，20. 不妨设 1，则有 2 所以 n (21) 因为 n (21)( c) ca21( c) 0， 所以 n ， 又因为 面 以 平面 (3)解 由 (2)可知平面 n (21) (2,2,1) 又因为 平面 所以面 一个法向量是 (2,0,0) 又 n， nn| 43 2 23， 由图可知，二面角 A C 为锐角， 所以二面角 A C 的余弦值为 23. 22 (1)证明 因为 B， A， 所以平面 平面 从而平面 这两个平面的交线相互平行， 即 故 于是 所以 12，即 Q 为 (2)解 如图 (1)，连接 h，梯形 高为 d，四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积分别为 V 上 和 V 下 ， a，则1)13122 ahd 13 13a 2d(12h) 14 所以 V 下 712 又 V 四棱柱 32 所以 V 上 V 四棱柱 V 下 3271