四川省雅安市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

四川省雅安市 2015年高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1在等差数列 ， a1+6，则 于（ ） A 8 B 4 C 4 D 8 2在 ，角 A、 B、 C 所对的边为 a， b， c，若 a=1， b= ， B=120，则 A 等于（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 3在正方体 ，平面 平面 成二面角为（ ） A B C D 4已知向量 =（ m+1， 1）， =（ m+2， 2），若（ + ） （ ），则实数 m=（ ） A 3 B 1 C 2 D 4 5等差数列 前 n 项和为 12， 8，则当 得最小值时， n 的值为（ ） A 6 B 7 C 6 或 7 D 8 6正实数 x、 y 满足 x+y=1，则 + 的最小值为（ ） A 3 B 4 C 2 D 3+2 7已知正方体 过点 A 与 成角均相等的直线有（ ） A 1 条 B 2 条 C 4 条 D无数条 8设 m， n 是两条不同直线， 、 是两个不同平面，有下列命题： 若 ， m ，则 m 不可能与 相交 若 m n， m ，则 n 不可能与 相交 若 m ， n ，则 m 与 n 一定平行 若 m ， n ，则 与 一定垂直 其中真命题的序号为（ ） A B C D 9等腰梯形 ， D=2， A=60，则 =（ ） A 6 B 6 C 3 D 2 10在 ， ， ， G 为 重心，若 则 面积为（ ） A B C D 11已知 f（ x） =x+则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 99）的值为（ ） A 5000 B 4950 C 99 D 则当 + 取12在 ，内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， 且 上的高为 得最大值时，内角 A=（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 .、共 20 分 . 13若变量 x、 y 满足约束条件： ，则 y 2x 的最大值为 14设等差数列 前 n 项和为 015，则数列 公差为 15把边长为 2 的正方形 对角线 起并连接 成三棱锥 C 正视图、俯视图均为等腰直角三角形（如图所示），则三棱锥 C 表面积为 16在锐角 ，内角 A、 B、 C 的所对的边分别为 a、 b、 c，若 2c=2b， 则 + 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17等比数列 前 n 项和为 若 ， ，求数列 公比与 18在 ，内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， a= （ ）求 值； （ ）若 ，求 b+c 的最大值 19如图，在四棱锥 P ，已知 平面 D=2（ ）求证：平面 平面 （ ）若 E 是 中点，求平面 四棱锥 P 成的上下两部分体积 比 20在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， A、 B、 C 三点满足 = + （ ）求证： A、 B、 C 三点共线； （ ）已知 A（ 1， B（ 1+ 0 x ）， 的最小值为 ，求实数 m 的值 21在三棱锥 ，底面 边长为 2 的正三角形，侧棱 底面 ， P、Q 分别是 的点，且 （ ）若平面 平面 交于直线 l，求证： l （ ）当平面 平面 ，确定点 P 的位置并说明理由 S 22设数列 前 n 项和为 任意的正整数 n，都有 成立，记 （ n N*） （ ）求数列 数列 通项公式； （ ）设数列 前 n 项和为 证：对任意的 n N*，都有 4n； （ ）记 cn=1（ n N*），设数列 前 n 项和为 证：对任意 n N*， 都有 2015年四川省雅安市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1在等差数列 ， a1+6，则 于（ ） A 8 B 4 C 4 D 8 【分析】 利用等差数列的性质 2a3=a1+据已知中等差数列 ， a1+6，代入即可得到 值【解答】 解： 数列 等差数列 2a3=a1+6， 故选 A 【点评】 本题考查的知识点是等差数列的性质，其中等差数列最重要的性质：当 m+n=p+q 时， am+an=ap+解答本题的关键 2在 ，角 A、 B、 C 所对的边为 a， b， c，若 a=1， b= ， B=120，则 A 等于（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 【分 析】 利用正弦定理列出 关系式，将 a， b， 值代入求出 值，即可确定出 A 的度数 【解答】 解：在 ， a=1， b= ， B=120， 由正弦定理 = 得： = = ， a b， A B， 则 A=30 故选： A 【点评】 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键 3在正方体 ，平面 平面 成二面角为（ ） A B C D 【分析】 由 到平面 平面 成二面角的平面角为 此能求出平面 平面 成二面角的大小 【解答】 解：在正方体 ， 平面 平面 平面 成二面角的平面角为 平面 平面 成二面角为 故选： C 【点评】 本题考查二面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 4已知向量 =（ m+1， 1）， =（ m+2， 2），若（ + ） （ ），则实数 m=（ ） A 3 B 1 C 2 D 4 【分析】 根据平面向量的坐标表示与运算，列出方程求出 m 的值 【解答】 解：向量 =（ m+1， 1）， =（ m+2， 2）， （ + ） =（ 2m+3， 3）， （ ） =（ 1， 1）； 又（ + ） （ ）， （ + ） （ ） =（ 2m+3） +3 （ 1） =0， 解得 m= 3 故选： A 【点评】 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题目 5等差数列 前 n 项和为 12， 8，则当 得最小值时， n 的值为（ ） A 6 B 7 C 6 或 7 D 8 【分析】 由等差数列前 n 项和公式，列出方程求出公差 d=2，由此能求出 利用配方法能求出当 n 的值 【解答】 解： 等差数列 前 n 项和为 12， 8， ， 解得 d=2， 12n+ =13n=（ n ） 2 ， 当 得最小值时， n=6 或 n=7 故选： C 【点评】 本题考查等差数列的前 n 项和取最小值时， n 的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 6正实数 x、 y 满足 x+y=1，则 + 的最小值为（ ） A 3 B 4 C 2 D 3+2 【分析】 运用乘 1 法，可得 + =（ x+y）（ + ） =3+ + ，再由基本不等式计算即可得到所求最小值及相应 x， y 的值 【解答】 解：正实数 x、 y 满足 x+y=1，可得： + =（ x+y）（ + ） =3+ + 3+2 =3+2 当且仅当 x= y=2 ，取得最小值 3+2 故选： D 【点评】 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘 1 法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题 7已知正方体 过点 A 与 成角均相等的直线有（ ） A 1 条 B 2 条 C 4 条 D无数条 【分析】 先确定直线和 成角相等的直线在对角面内，然后确定在对角面内的体对角线满足条件分别进行类比寻找即可 【解答】 解：若直线和 成角相等，得直线在对角面 或者和对角面平行，同时和成角相等，此时在对角面内只有体对角线 足条件此时过 A 的直线和 行即可， 同理体对角线 满足条件， 则过点 A 与 成角均相等的直线只要和四条体对角线平行即可， 共 有 4 条 故选： C 【点评】 本题主要考查异面直线所成角的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大8设 m， n 是两条不同直线， 、 是两个不同平面，有下列命题： 若 ， m ，则 m 不可能与 相交 若 m n， m ，则 n 不可能与 相交 若 m ， n ，则 m 与 n 一定平行 若 m ， n ，则 与 一定垂直 其中真命题的序号为（ ） A B C D 【分析】 利用直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断，分析 4 个选项，即可得出结论 【解答】 解： 若 ， m ，则 m 或 m，故 正确； 若 m n， m ，则 n 或 n，故 正确； 若 m ， n ，则 m 与 n 平行、相交或异面，故 不正确； 若 m ， n ，则 与 可以平行，故 不正确 故选： A 【点评】 本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题 9等腰梯形 ， D=2， A=60，则 =（ ） A 6 B 6 C 3 D 2 【分析】 可画出图形，根据条件即可得到 ，根据向量减法几何意义即可得到，从而由向量的数量积的运算即可得出 的值 【解答】 解：如 图，根据条件， ， ， D=120； ， = ； = = 8 2+4 = 6 故选 B 【点评】 考查等腰梯形的定义，向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，向量的数量积的运算及计算公式 10在 ， ， ， G 为 重心，若 ，则 面积为（ ） A B C D 【分析】 由 G 为重心，设 BE=x，可得 x，可求 余弦定理可得= ，代入可求 x 的值，进而可求 用余弦定理可求 据同角三角函数基本关系式可求 用三角形面积公式即可计算得解 【解答】 解：由： G 为 重心，设 BE=x， 可得 x（ E 为 点）， 由： ，可得 ， 由余弦定理可得： = ， 由于： ， ， 可得： = ，整理解得： x= 可得： = ， = = ， = ， S = 故选： D 【点评】 本题主要考查了三角形重心的性质，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题 11已知 f（ x） =x+则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 99）的值为（ ） A 5000 B 4950 C 99 D 【分析】 推导出 f（ x） +f（ 100 x） =100，由此能求出 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 99）的值 【解答】 解： f（ x） =x+ f（ x） +f（ 100 x） =x+100 x+100， f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f（ 99） =50f（ 1） +f（ 99） f（ 50） =50 100 50 =4950 故选： B 【点评】 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出 f（ x） +f（ 100 x）=100 12在 ，内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 上的高为 ，则当 + 取得最大值时，内角 A=（ ） A B C D 【分析】 运用三角形的面积公式和余弦定理，可得 + =2（ 再由两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，可得最大值及 A 的值 【解答】 解：由三角形的面积公式可得， a ， 即 由余弦定理可得， a2=b2+2 可得 b2+2 即有 + =2（ =2 （ =2 A+ ）， 当 A+ = ，即 A= 时， + 取得最大值 2 故选： D 【点评】 本题考查余弦定理和三角形的面积公式的运用，以及两角和的正弦公式及正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 个小 题，每小题 5 分 .、共 20 分 . 13若变量 x、 y 满足约束条件： ，则 y 2x 的最大值为 1 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论 【解答】 解：设 z=y 2x，得 y=2x+z， 作出不等式对应的可行域， 平移直线 y=2x+z， 由平移可知当直线 y=2x+z 经过点 B（ 0， 1）时， 直线 y=2x+z 的截距最大，此时 z 取得最大值， 代入 z=y 2x，得 z=1 0=1， 故答案为： 1 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法 14设等差数列 前 n 项和为 015，则数列 公差为 2 【分析】 利用等差数列的求和公式即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， 015， d 015，解得 d=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 15把边长为 2 的正方形 对角线 起并连接 成三棱锥 C 正视图、俯视图均为等腰直角三角形（如图所示），则三棱锥 C 表面积为 4+2 【分析】 结合直观图，根据正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，可得平面 平面 别求得 高，即为侧视图直角三角形的两直角边长，代入面积公式计算 【解答】 解：如图： 正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形， 平面 平面 又 O 为 中点， 平面 平面 三角形 式等边三角形，边长为 2，所以面积相等为 ， 又 积和为正方形的面积 4， 三棱锥 C 表面积为 2 +4； 故答案为： 4+2 【点评】 本题考查了由正视图、俯视图求几何体的表面积，判断几何体的特征及相关几何量的数据是关键16在锐角 ，内角 A、 B、 C 的所对的边分别为 a、 b、 c，若 2c=2b，则 （ ， 【分析】 锐角 ，利用余弦定理求出 及 A 的值，再求出 B 的取值范围，化简 即可求它的取值范围 【解答】 解：锐角 ， 2c=2b， 2a +c=2b， 即 a2+c2+ bc=b2+ = ， 得 A= ； B+C= ， B ， B+ ， 得 B+ ） 1； =B+ ） + ， 它的取值范围是（ ， 故答案为：（ ， 【点评】 本题考查了三角恒等变换以及余弦定理的应用问题，是综合性题 目 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17等比数列 前 n 项和为 ， ，求数列 公比与 【分析】 设等比数列 公比为 q， y 由 ， ，可得 a1+a2+（ 1+q+=9，解得 q，利用求和公式即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， ， ， a1+a2+（ 1+q+=9，化为： q2+q 2=0，解得 q=1 或 2 q=1 时， 0 q= 2 时， = 1023 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18在 ，内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， a= （ ）求 值； （ ）若 ，求 b+c 的最大值 【分析】 （ ）利用余弦定理求得 值 （ ）若 ，利用余弦定理以及基本不等式求得 b+c 的最大值 【解答】 解：（ ） ， b +c =a= ， （ ）若 ，则 A= ，由余弦定理可得 =b2+2 b+c） 2 3 （ b+c） 2=3+33+3 ， b+c 2 ，当且仅当 b=c 时，取等号，故 b+c 的最大值为 2 【点评】 本题主要考查余弦定理，基本不等式的应用，属于基础题 19如图，在四棱锥 P ，已知 平面 D=2（ ）求证：平面 平面 （ ）若 E 是 中点，求平面 四棱锥 P 成的上下两部分体积 比 【分析】 （ ）取 点 H，连接 B=明 平面 可证明求证：平面 平面 （ ）证明 B， C， E， F 四点共面，故平面 四棱锥 P 成的上部分为四棱锥 P 部分为多面体 知 直三棱柱， 平面 用体积公式，即可求平面四棱锥 P 成的上下两部分体积 比 【解答】 （ ）证明： 平面 平面 取 点 H，连接 B= 5， C=A， 平面 平面 平面 平面 （ ）解：取 点 E， 点 F，连接 B， C， E， F 四点共面 故平面 四棱锥 P 成的上部分为四棱锥 P 部分为多面体 易知 直三棱柱， 平面 C = + = = ， = =1， = ， = 【点评】 本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生付现金及微软的能力，正确运用公式是关键 20在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， A、 B、 C 三点满足 = + （ ）求证： A、 B、 C 三点共线； （ ）已知 A（ 1， B（ 1+ 0 x ）， f（ x） = （ 2m+ ） | |的最小值为 ，求实数 m 的值 【分析】 （ ）根据向量减法的几何意义，在 两边同减去 ，进行向量的数乘运算便可得出 ，这样便可得出三点 A， B， C 共线； （ ）根据上面容易求出点 C 的坐标，并求出向量 的坐标，从而得出 f（ x） =（ m） 2+1 样根据配方的式子，讨论 m 的取值： m 0， 0 m 1， m 1，这样即可求出 m 的值 【解答】 解：（ ）由已知得 ； 即 ； ，又 有公共点 A； A， B， C 三点共线； （ ） ； ； ； = =（ m） 2+1 ， 0， 1； 当 m 0，当且仅当 时， f（ x）取得最小值为 1（舍去） 当 0 m 1 时，当且仅当 m 时， f（ x）取得最小值为 1 （舍去） 当 m 1 时，当且仅当 时， f（ x）取得最小值 2 2m， 2 2m= ； 综上 m= 【点评】 考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及共线向量基本定理，根据点的坐 标求向量的坐标，以及配方求二次函数最值的方法 21在三棱锥 ，底面 边长为 2 的正三角形，侧棱 底面 ， P、Q 分别是 的点，且 （ ）若平面 平面 交于直线 l，求证： l （ ）当平面 平面 ，确定点 P 的位置并说明理由 S 【分析】 （ ）利用线面平行的性质证明 l （ ）作 中点 M， 中点 N，连接 利用线面垂直的判定证明 可平面 面 再利用余弦定理即可确定 P 点的位置 【解答】 解：