江西省上饶市2016年高考数学二模试卷（理科）含答案解析

江西省上饶市 2016 年高考数学二模试卷（理科） （解析版） 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1设 U=R，已知集合 A=x|x 1， B=x|x a，且（ B=R，则 a 的范围是（ ） A（ ， 1） B（ 1， +） C（ ， 1 D 1， +） 2（ 5 分）（ 2016 广州模拟）已知 a， b R， i 是虚数单位，若 a i 与 2+为共轭复数，则（ a+2=（ ） A 3+4i B 5+4i C 3 4i D 5 4i 3设随机变量 服从正态分布 N（ 3， 4），若 p（ 2a 1） =p（ a+2），则 a=（ ） A B C D 2 4已知数列 足 +an=n，若 ，则 ） A 4 B 3 C 2 D 1 5双曲线 的右顶点到该双曲线一 条渐近线的距离为（ ） A B C D 1 6某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 3 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ） A B C 9 D 27 7已知函数 f（ x） =4 x+2x 与 g（ x） =4x+2 x m 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则 ） A（ ， B（ 2， +） C ， +） D 4， +） 8（ 5 分）（ 2016 洛阳二模）若如图所示的程序框图输出的 S 是 126，则条 件 可以为（ ） A n 5 B n 6 C n 7 D n 8 9在平面直角坐标系 ，抛物线 C： p 0）的焦点为 F， M 是抛物线 C 上一点，若 外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆面积为 9，则 p=（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 10若（ x a） 2（ 1） 4 的展开式中常数项为 15，则 a 的值为（ ） A 1 B 8 C 1 或 9 D 1 或 9 11已知四 棱锥 P 五个顶点都在球 O 的球面上，底面 矩形，平面 ， D=2， 20， ，则球 O 的表面积等于（ ） A 16 B 20 C 32 D 36 12设定义在 D 上的函数 y=h（ x）在点 P（ h（ 的切线方程为 l： y=g（ x），当 x ，若 0 在 D 内恒成立，则称 P 为函数 y=h（ x）的 “类对称点 ”，则 f（ x） =x 的 “类对称点 ”的横坐标是（ ） A e B C D 二、填空题：（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13已知向量 =（ m， 3）， =（ 1， 2），且 ，则实数 m 的值为 14已知变量 x， y 满足 ，则 的最小值为 15已知函数 f（ x） = ，若 f（ 2 a） f（ 2a），求 a 的取值范围为 16已知数列 前 n 项和为 任意 n N*， 1） +2n 6 且（ p）（ p） 0 恒成立，则实数 p 的取值范围是 三、简答题 (本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18（ 12 分）（ 2016 上饶二模）如图，在 ， B=30， ， D 是边 一点 （ 1）求 积的最大值； （ 2）若 ， 面积为 2， 锐角，求 长 19（ 12 分）（ 2016 上饶二模）如图所示，该几何体是 由一个直三棱柱 一个正四棱锥 P 合而成， D=2 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）求正四棱锥 P 高 h，使得二面角 C P 的余弦值是 20（ 12 分）（ 2016 上饶二模）汽车 4S 店是一种以 “四位一体 ”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等某品汽车 4S 店为了了解 A、 B、 C 三种类型汽车质量问题，对 售出的三种类型汽车各取 100 辆进行跟踪服务，发现各车型一年内需要维修的车辆如下表所示 1： 车型 A 型 B 型 C 型 频数 20 20 40 表 1 （ 1）某公司一次性从 4S 店购买该品牌 A、 B、 C 型汽车各一辆，记 表示这三辆车的一年内需要维修的车辆数，求 的分布列及数学期望（各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率）； （ 2）该品牌汽车 4S 店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按使事先拟定的各种价格进行试销相等时间，得到数据如表 2 单价 x（元） 800 820 840 850 880 900 销 量 y（件） 90 84 83 80 75 68 表 2 预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从 =bx+a（ b=a= b ）的关系，且该产品的成本是 500 元 /件，为使 4S 店获得最大利润（利润 =销售收入成本），该产品的单价应定位多少元 21（ 12 分）（ 2016 上饶二模）已知圆 E：（ x+1） 2+6，点 F（ 1， 0）， P 是圆 E 上任意 一点，线段 垂直平分线和半径 交于 Q （ 1）求动点 Q 的轨迹 的方程； （ 2）若直线 y=k（ x 1）与（ 1）中的轨迹 交于 R， S 两点，问是否在 x 轴上存在一点 T，使得当 k 变动时，总有 明理由 22（ 12 分）（ 2016 上饶二模）设函数 f（ x） =（ x+a） g（ x） = 已知曲线 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线过点（ 2， 3） （ 1）求实数 a 的值； （ 2）是否存在自然数 k，使得方程 f（ x） =g（ x）在（ k， k+1）内存在唯 一的根？如果存在，求出 k，如果不存在，请说明理由； （ 3）设函数 m（ x） =f（ x）， g（ x） （ p， q）表示 p， q 中的较小值），求 m（ x）的最大值 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 23（ 10 分）（ 2009 辽宁）选修 4 1：几何证明讲 已知 ， C， D 是 接圆劣弧 上的点（不与点 A， C 重合），延长 E （ 1）求证： 延长线平分 （ 2）若 0， 上的高为 2+ ，求 接圆的面积 选修 4标系与参数方程 25（ 2016 上饶二模）在直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ 为参数）， M 是 的动点，点 P 满足 =2 ，点 P 的轨迹为曲线 （ 1）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 极坐标方程； （ 2）在（ 1）的极坐标系中，射线 = 与 于极点的交点为 A，与 于极点的交点为 B，求 |选修 4等式选讲 27（ 2016 上饶二模）设 f（ x） =|x a|， a R （ ）当 1 x 3 时， f（ x） 3，求 a 的取值范围； （ ）若对任意 x R， f（ x a） +f（ x+a） 1 2a 恒成立，求实数 a 的最小值 2016 年江西省上饶市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1设 U=R，已知集合 A=x|x 1， B=x|x a，且（ B=R，则 a 的范围是（ ） A C（ ， 1 D 1， +） 【分析】 先求出 根据（ B=R，求出 a 【解答】 解：集合 A=x|x 1， x|x 1， B=x|x a，若（ B=R，则 a 1，即 a （ ， 1 故选 C 【点评】 本题考查集合的基本运算，属于基础题 2（ 5 分）（ 2016 广州模拟）已知 a， b R， i 是虚数单位，若 a i 与 2+为共轭复数，则（ a+2=（ ） A 3+4i B 5+4i C 3 4i D 5 4i 【分析】 由 a i 与 2+为共轭复数，可求出 a， b 的值，代入（ a+2 进一步化简求值，则答案可求 【解答】 解： a i 与 2+为共轭复数， a=2， b=1 则（ a+2=（ 2+i） 2=3+4i 故选： A 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运 算，是基础题 3设随机变量 服从正态分布 N（ 3， 4），若 p（ 2a 1） =p（ a+2），则 a=（ ） A B C D 2 【分析】 根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于 x=3 对称，得到两个概率相等的区间关于 x=3 对称，得到关于 a 的方程，解方程即可 【解答】 解： 随机变量 服从正态分布 N（ 3， 4）， P（ 2a 1） =P（ a+2）， 2a 1 与 a+2 关于 x=3 对称， 2a 1+a+2=6， 3a=5， a= ， 故选： C 【点评】 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于 x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题 4已知数列 足 +an=n，若 ，则 ） A 4 B 3 C 2 D 1 【分析】 由 +an=n 化简可得 ， ，从而解得 【 解答】 解： +an=n， a5+， a6+， a7+， a8+， ， ， ， 故选 C 【点评】 本题考查了学生的化简运算能力及整体思想的应用 5双曲线 的右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为（ ） A B C D 1 【分析】 求出双曲线的 a， b，可得右顶点和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 的 a=2， b=1， 可得右顶点为（ 2， 0），一条渐近线方程为 y= x， 即为 x 2y=0， 可得右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为 d= = 故选： A 【点评】 本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题 6某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 3 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ） A B C 9 D 27 【分析】 由三视图可知：该几何体是一个正方体挖去一个四棱锥所得的几何体，即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个正方体挖去一个四棱锥所得的几何体， 该几何体的体积 V=33 = 故选： A 【点评】 本题考查了三视图的有关计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7已知函数 f（ x） =4 x+2x 与 g（ x） =4x+2 x m 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则 ） A（ ， B（ 2， +） C ， +） D 4， +） 【分析】 根据对称性质得到 m=4 x+2x+4x+2 x，设 2x=t，则 t 0，则 m= +t+，利用基本不等式即可求出 【解答】 解：函数 f（ x） =4 x+2x 与 g（ x） =4x+2 x m 的图象上存在关于 x 轴对称的点， 则方程 4 x+2x=（ 4x+2 x m） m=4 x+2x+4x+2 x 有解， 设 2x=t，则 t 0， m= +t+ 2 +2 =2+2=4，当且仅当 t=1 时取等号， m 4， 故选： D 【点评】 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围以及基本不等式，属于中档题 8（ 5 分）（ 2016 洛阳二模）若如图所示的程序框图输出的 S 是 126，则条件 可以为（ ） A n 5 B n 6 C n 7 D n 8 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S=2+22+2n 的值，结合输出的 S 是 126，即可得到退出循环的条件 【解答】 解：分析程序中各 变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加并输出 S=2+22+2n 的值， 由于 S=2+22+26=126， 故 中应填 n 6 故选： B 【点评】 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有： 分支的条件 循环的条件 变量的赋值 变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误 9在平面直角坐标系 ，抛物线 C： p 0）的焦点 为 F， M 是抛物线 C 上一点，若 外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆面积为 9，则 p=（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【分析】 根据 外接圆与抛物线 C 的准线相切，可得 外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求 p 的值 【解答】 解： 外接圆与抛物线 C 的准线相切， 外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 圆面积为 9， 圆的半径为 3 又 圆心在 垂直平分线上， | ， p=4 故选： B 【点评】 本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题 10若（ x a） 2（ 1） 4 的展开式中常数项为 15，则 a 的值为（ ） A 1 B 8 C 1 或 9 D 1 或 9 【分析】 根据（ x a） 2（ 1） 4 的展开式，得出展开式中常数项算式，列出方程求出 【解答】 解： （ x a） 2（ 1） 4=（ 2ax+ x 4 x 3+ x 2 x 1+1）， 展开式中常数项为 +2a +5， 化简得 a 9=0， 解得 a= 9，或 a=1 故选： D 【点评】 本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项展开式的通项公式是解题的关键 11已知四棱锥 P 五个顶点都在球 O 的球面上，底面 矩形，平面 ， D=2， 20， ，则球 O 的表面积等于（ ） A 16 B 20 C 32 D 36 【分析】 求出 在圆的半径，利用勾股定理求出球 O 的半径 R，即可求出球 O 的表面积 【解答】 解：令 在圆的圆心为 因为 D=2， 20，所以 所以圆 半径 r= =2， 因为平面 底面 所以 ， 所以球 O 的半径 R= =2 所以球 O 的表面积 =42 故选： C 【点评】 本题考查球 O 的表面积，考查学生的 计算能力，求出球 O 的半径是关键，比较基础 12设定义在 D 上的函数 y=h（ x）在点 P（ h（ 的切线方程为 l： y=g（ x），当 x ，若 0 在 D 内恒成立，则称 P 为函数 y=h（ x）的 “类对称点 ”，则 f（ x） =x 的 “类对称点 ”的横坐标是（ ） A e B C D 【分析】 求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线分别，设 m（ x） =f（ x） g（ x），求函数的导数判断函数 m（ x）的单调性，建立不等式关系进行判断即可 【解答】 解：函数的导数 f（ x） = +4x 1，（ x 0）， 函数 y=f（ x）在其图象上一点 P（ f（ 处的切线斜率 k=f（ = +41， 则对应的方程为 y（ =（ +41）（ x 即 y=g（ x） =（ 4 1）（ x +2x0+ 设 m（ x） =f（ x） g（ x） =2x+ 4 1）（ x 2 则 m（ =0 m（ x） =4x+ 1（ 4 1） =4（ x +（ ） = （ x 4x ） =（ x x ）， 由 得 ， 若 ， m（ x）在（ ）上单调递减， 当 x （ ）时， m（ x） m（ =0，此时 0； 若 ， （ x）在（ ， 单调递减， 当 x （ ， ， m（ x） m（ =0，此时时 0； y=f（ x）在（ 0， ） （ ， +）上不存在 “类对称点 ” 若 ，则 m（ x） = （ x ） 2 0， m（ x）在（ 0， +）上是增函数， 当 x ， m（ x） m（ =0， 当 x ， m（ x） m（ =0，故 0 即此时点 P 是 y=f（ x）的 “类对称点 ” 综上， y=f（ x）存在 “类对称点 ”， 是一个 “类对称点 ”的横坐标 故选： B 【点评】 本题考查导数的综合应用，涉及函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的 参数的求法，探索函数是否存在 “类对称点 ”解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，综合性较强，难度较大 二、填空题：（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13已知向量 =（ m， 3）， =（ 1， 2），且 ，则实数 m 的值为 【分析】 根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程求出 m 的值 【解答】 解： 向量 =（ m， 3）， =（ 1， 2），且 ， 2m 3 1=0， 解得 m= 故答案为： 【点评】 本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题目 14已知变量 x， y 满足 ，则 的最小值为 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合 的几何意义求出最小值即可 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由 ，解得 A（ 1， 3）， 而求 的最小值即为求 的最大值， 的几何意义表示平面区域内的点与 B（ 0， 1）的直线的斜率， 而 =4，故 的最小值是： ， 故答案为： 【点评】 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题 15已知函数 f（ x） = ，若 f（ 2 a） f（ 2a），求 a 的取值范围为 （2， ） 【分析】 作出函数 f（ x）的图象，判断函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化进行求解即可 【解答】 解：作出函数 f（ x）的图象，则函数 f（ x）关于 y 轴对称，则函数 f（ x）是偶函数，且在 0， +）上为增函数， 则不等式 f（ 2 a） f（ 2a），等价为 f（ |2 a|） f（ |2a|）， 即 |2 a| |2a|， 平方得 4 4a+4 即 3a 4 0， 得 ， 故答案为：（ 2， ） 【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式作 出函数的图象判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键 16已知数列 前 n 项和为 任意 n N*， 1） +2n 6 且（ p）（ p） 0 恒成立，则实数 p 的取值范围是 【分析】 由 1） +2n 6，可得 4，解 得 n 2 时， n 1，化为： 1+（ 1） n+1 1） 1 +2对 n 分类讨论，利用数列的单调性、不等式的性质即可得出 【解答】 解： 1） +2n 6， 4，解得 当 n 2 时， n 1=（ 1） +2n 6， 化为： 1+（ 1） n+1 1） 1 +2 当 n=2k（ k N*）时， 1= 2+ ，即 1= 2+ ， = 2+ 当 n=2k 1 时，化为 2 1 +2， 2= 21+2 ， 2+2 =6 （ p）（ p） 0 恒成立， 当 n=2k（ k N*）时，（ p ）（ p 0， 2+ p 6 2+ p 6 ； 当 n=2k 1（ k N*）时，（ p p 1） 0， 2+ p 6 p ， 则实数 p 的取值范围是： 故答案为： 【点评】 本题考查了递推关系、分类讨论方法、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、简答题 (本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18（ 12 分）（ 2016 上饶二模）如图，在 ， B=30， ， D 是边 一点 （ 1）求 积的最大值； （ 2）若 ， 面积为 2， 锐角，求 长 【分析】 （ 1）由已知及余弦定理，基本不等式可得 ，利用三角形面积公式即可得解 面积的最大值 （ 2）设 ，利用三角形面积公式可解得 ，可求 ，由余弦定理得 即可解得 值，利用正弦定理可求 而利用正弦定理可求 值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ 1） ， 由余弦定理可得：（ 2 分） ， （ 4 分） ， 所以 面积的最大值为 （ 6 分） （ 2）设 ，在 ， ， ，解得： ， （ 7 分） 由余弦定理得： ， ， （ 9 分） ， ， ，此时 ， （ 12 分） 【点评】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 19（ 12 分）（ 2016 上饶二模）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 一个正四棱锥 P 合而成， D=2 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）求正四棱锥 P 高 h，使得二面角 C P 的余弦值是 【分析】 （ ）证明： 平面 可证明平面 平面 （ ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥 P 高 【解答】 （ ）证明：直三棱柱 ， 平面 所以： 所以： 平面 面 所以：平面 平面 （ 6 分） （ ） 平面 建立以 A 为坐标原点， 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： 设正四棱锥 P 高为 h， D=2， 则 A（ 0， 0， 0）， F（ 2， 2， 0）， C（ 2， 0， 2）， =（ 2， 2， 0）， =（ 2， 0， 2）， =（ 1， h， 1）， =（ x， y， z）是平面 法向量，则 ， 令 x=1，则 y=z= 1，即 =（ 1， 1， 1）， 设 =（ x， y， z）是平面 法向量， 则 ，令 x=1，则 y= 1， z= 1 h，即 =（ 1， 1， 1 h）， 二面角 C P 的余弦值是 ， = = = 得 h=1 或 h= （舍） 则正四棱锥 P 高 h=1 【点评】 本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角常用的方法 20（ 12 分）（ 2016 上饶二模）汽车 4S 店是一种以 “四位一体 ”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等某品汽车 4S 店为了了解 A、 B、 C 三种类型汽车质量问题，对售出的三种类型汽车各取 100 辆进行跟踪服务，发现各车型一年内需要维修的车 辆如下表所示 1： 车型 A 型 B 型 C 型 频数 20 20 40 表 1 （ 1）某公司一次性从 4S 店购买该品牌 A、 B、 C 型汽车各一辆，记 表示这三辆车的一年内需要维修的车辆数，求 的分布列及数学期望（各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率）； （ 2）该品牌汽车 4S 店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按使事先拟定的各种价格进行试销相等时间，得到数据如表 2 单价 x（元） 800 820 840 850 880 900 销量 y（件） 90 84 83 80 75 68 表 2 预计在今后的销售 中，销量与单价仍然服从 =bx+a（ b=a= b ）的关系，且该产品的成本是 500 元 /件，为使 4S 店获得最大利润（利润 =销售收入成本），该产品的单价应定位多少元 【分析】 解：（ 1）根据题意，计算 A、 B、 C 型车维修的概率，求出 的可能值与对应概率值，写出 的分布列与数学期望； （ 2）求出样本的中心点坐标，计算回归方程的系数，写出利润函数 w 的解析式，求出 W（ x）的最大值以及对应的 x 的值 【解答】 解：（ 1）根据表格， A 型车维修的概率为 ， B 型车维修的概率为 ， C 型车维修的概率为 ； 由题意， 的可能值为 0， 1， 2， 3， （ 1 分） 所以 ； ； ； 所以 的分布列为 0 1 2 3 p （ 5 分） 所以 ； （ 7 分） （ 2）设获得的利润为 w 元，根据计算可得， ， 代入回归方程得 ， （ 9 分） w=（ 50）（ x 500） = 50x 125000； （ 10 分） 此函数图象为开口向下，以 为对称轴的抛物线， 所以当 x=875 时， W（ x）取的最大值； 即为使 4S 店获得最大利润，该产品的单价应定为 875 元 （ 12 分） 【点评】 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是基础题目 21（ 12 分）（ 2016 上饶二模）已知圆 E：（ x+1） 2+6，点 F（ 1， 0）， P 是圆 E 上任意一点，线段 垂直平分线和半径 交于 Q （ 1）求动点 Q 的轨迹 的方程； （ 2）若直线 y=k（ x 1）与（ 1）中的轨迹 交于 R， S 两点，问是否在 x 轴上存在一点 T，使得当 k 变动时，总有 明理由 【分析】 （ 1）连结 用垂直平分线定理可得， |可得|4 |2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方 程； （ 2）假设存在 T（ t， 0）满足 R（ S（ 联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于 0，由直线的斜率之和为 0，化简整理，即可得到存在 T（ 4， 0） 【解答】 解：（ 1）连结 据题意， | 则 |4 |2， 故动点 Q 的轨迹 是以 E， F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆 设其方程为 ， 可知 a=2， c=1， ， 所以点 Q 的轨迹 的方程为 ； （ 2）假设存在 T（ t， 0）满足 设 R（ S（ 立 ， 得（ 3+4812=0， 由韦达定理有 ，其中 0 恒成立， 由 然 斜率存在）， 故 即 ， 由 R， S 两点在直线 y=k（ x 1）上， 故 y1=k（ 1）， y2=k（ 1）代入 得， 即有 2 t+1）（ x1+2t=0， 将 代入 ，即有： ， 要使得 与 k 的取值无关，当且仅当 “t=4“时成立， 综上所述存在 T（ 4， 0），使得当 k 变化时，总有 【点评】 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查 存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于 0，以及点满足直线方程，属于中档题 22（ 12 分）（ 2016 上饶二模）设函数 f（ x） =（ x+a） g（ x） = 已知曲线 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线过点（ 2， 3） （ 1）求实数 a 的值； （ 2）是否存在自然数 k，使得方程 f（ x） =g（ x）在（ k， k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出 k，如果不存在，请说明理由； （ 3）设函数 m（ x） =f（ x）， g（ x） （ p， q）表示 p， q 中的较小值），求 m（ x）的最大值 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的导数，求得切线的斜率和切点，求出切线的方程，代入（ 2， 3），可得 a 的值； （ 2） k=1 时，方程 f（ x） =g（ x）在（ 1， 2）内存在唯一的根设，运用零点存在定理，可得存在 （ 1， 2），使h（ =0求出 h（ x）的导数，运用单调性即可判断存在； （ 3）由（ 2）知，方程 f（ x） =g（ x）在（ 1， 2）内存在唯一的根 得 m（ x）的解析式 m（ x） = ，分段讨论，运用单调性，可得最大值 【解答】 解：（ 1） f（ x）的导数为 ， 可得 f（ 1） =1+a，又 f（ 1） =0， 所以曲线 y=f（ x）在点（ 1， 0）处的切线方程为 y=（ 1+a）（ x 1）， 把点（ 2， 3）代入得： 1+a=3， 解得 a=2； （ 2） k=1 时，方程 f（ x） =g（ x）在（ 1， 2）内存在唯一的根 理由：设 ， 当 x （ 0， 1时， h（ x） 0 又 ， 所以存在 （ 1， 2），使 h（ =0 因为 ， 所以当 x （ 1， 2）时， ， 当 x （ 2， +）时， h（ x） 0， 所以当 x （ 1， +）时， h（ x）单调递增 所以 k=1 时，方程 f（ x） =g（ x）在（ k， k+1）内存在唯一的根 （ 3）由（ 2）知，方程 f（ x） =g（ x）在（ 1， 2）内存在唯一的根 且 x （ 0， ， f（ x） g（ x）， x （ +）时， f（ x） g（ x）， 所以 m（ x） = 当 x （ 0， ，若 x （ 0， 1， m（ x） 0； 若 x （ 1， 由 ，知 m（ x）在（ 1， 增 所以 0 m（ x） m（ 当 x （ +）时，由 ， 可知 x （ 2）时， m（ x） 0， m（ x）单调递增； x （ 2， +）时， m（ x） 0， m（ x）单调递减； 所以 ，且 m（ m（ 2） 综上可得函数 m（ x）的最大值为 【点评】 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想的运用，以及分类讨论的思想方法，属于中档题 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 23（ 10 分）（ 2009 辽宁）选修 4 1：几何证明讲 已知 ， C， D 是 接圆劣弧 上的点（不与点 A， C 重合），延长 E （ 1）求证： 延长线平分 （ 2）若 0， 上的高为 2+ ，求 接圆的面积 【分析】 首先对于（ 1）要证明 延长线平分 证明 化为证明 根据 A， B， C， D 四 点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到 对于（ 2）求 接圆的面积只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接 据角之间的关系在三角形内即可求得圆